九年级数学培优教程整理篇(全)

#第1讲二次根式的性质和运算考点・方法・破译.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析;.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）经典・考题•赏板【例1】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）C..8C..8D...27【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子.B中含分母，C、D含开方数4、9,故选A.【变式题组】TOC\o"1-5"\h\z.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.\10 B..8 C」6 D.一2⑵①7a2―b2':②4X；③&_xy;④J27abe,最简二次根式是（ ）A.①，② B.③，④C.①，③D,①，④【例2】（黔东南）方程4x8Jxym0,当y>0时，m的取值范围是（ ）A.0<m<1B.m>2C.mv2 D.m<2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为 0的结论.由题意得4x-8=0,x-y-m=0.化为y=2-m,则2-m>0,故选C.【变式题组】.（宁波）若实数x、y满足JT_2（yJ3）20,则xy的值是.TOC\o"1-5"\h\z.（荆门）若Jx15x（xy）2,则x—y的值为（ ）A.-1 B.1 C.2 D.3x34.（鄂州）使代数式一■有意义的x的取值范围是（ ）x4A.x>3B.x>3C.x>4D.x>3且xw45.（怀化）a2Jb~_3（e4）20,则a—b—c=.【例3】下列二次根式中，与J24是同类二次根式的是（ ）

A.炳B.V30 C.748 D.庖【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样A. g8 3J2；B. J30 不能化简；C.J484，3； D. 544 3，6,而0 2J6 .故本题应选D.【变式题组】6.如果最简二次根式佟飞与6.如果最简二次根式佟飞与J172a是同类二次根式，则a=.在下列各组根式中，是同类二次根式的是(A.3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是(A.33和Jl8 B.33和C.Ja2b和aab D.JO 1和ja 1.已知最简二次根式 bK3b和J2b a2是同类二次根式,则 a=,b=.【例4】下列计算正确的是( )A.75Q无B.而V24c.而3向 d.(172)(172)1【解法指导】正确运用二次根式的性质①(jaya(a》0)；②4aaa(a>0)0(a0);a(a<0)ab7aJb(a>0,b>0)；.b—(b>0,a>0)ab7aJb(a>0,b>0)；.b—(b>0,a>0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D.(1 ..2)(1J2)1(',2)2 1.故本题应选C.【变式题组】TOC\o"1-5"\h\z.(聊城)下列计算正确的是( )A.2芯4五6匹B.a4五C.历33 3 D.7(3)2 3.计算：(7154)2007(4715)2007.(26372)2(2石3扬2.(济宁)已知a为实数，那么/"a2'=( )A.aB・A.aB・—aC.—1D.0」a、b.已知a>b>0,a+b=6Vab,则二a—芈的值为( )a.bTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 1A./B.2 C.J2 D.-［例5］已知xy>0,化简二次根式xj—巳的正确结果为( )-2- y~~y避d.xa.内b.nc.-2- y~~y避d.x【解法指导】先要判断出y<0,再根据xy>0知x<0.故原式【变式题组】.已知a、b.已知a、b、c为△ABC三边的长，则化简abcJ(0b^的结果是.观察下列分母有理化的计算:..322；3出规律，并利用这一规律计算:.2006 ,2005).2006 ,2005)(,2oo61)16.已知，则0vxv1,则j(x-1)24，(-1)24【例6】(辽宁)⑴先化简吗，再求值： -一b一，其中a立_J，b吏」abba(ab) 2 2⑵已知x省即,y省噌,那么代数式但(xy)值为 .,3 2 3 2 xy(xy)2xy、x+yxy、x+y的值，再代入求值.2【解】⑴原式:"a’"bab(ab)(ab)2

ab(ab)小当aaab.51时，ab=1,a+b=J5,原10110199 1100⑵由题忌得：xy=1,x+y=10,原式=—= 1100【变式题组】17.(威海)先化简，再求值： (a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中a2\3,b、32.44，，…一)的值为aa2a2(a.(黄石)已知a是4J3的小数部分，那么代数式(二 (aa4a4【例7】已知实数x、y满足(x般2008)(y《y22008)2008,则3x2—2y2+3x—3y—2007的值为A.—2008B.2008C.—1D.1a、a、b的关系，再代入求值解：(x收2008)(y忖2008)2008,•••(x、x22008)•••(x、x22008)2008y.y22008yJy22008,(y\y2008)2008x\x22008xJx22008,由以上两式可得x=y.•••(x7x22008)2008,解得x2=2008,所以3x2—2y2+3x—3y—2007=3x2—2x2+3x—3x—2007=x2—2007=1,故选D.【变式题组】.若a>0,b>0,且洞声质3向百5病,求2a3b型的值.ab%ab演练巩固•反馈提高TOC\o"1-5"\h\z01.若m屈4,则估计m的值所在的范围是（ ）A.1<m<2 B,2<m<3 C,3<m<4D,4<m<502.（绵阳）已知才2n是正整数,则实数n的最大值为（ ）A.12B.11C.8 D.303.（黄石）下列根式中，不是 最简二次根式的是（ ）A.77 B.6 C.J1 D.V204.（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.\2 B..6 C..8D.、1005.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.^/t2 B.&_3 C.杉 D.Va^b06.（常德）设a=20,b=（-3）2,c19,d（；）1,则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A.c<avdvb B.bvdvavcC.a<cvdvbD.bvcvavd07.（十堰）下列运算正确的是（ ）

A.垂显卡 B.73夜而C.（屈1）231 D.4535308.如果把式子（1a）J4根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A. 1\~a B.品~1 C.Ja1D. 71~a09.（徐州）如果式子J（x1）2|x2化简的Z果为2x—3,则x的取值范围是（）A.x<1B,x>2 C,1<x<2 D,x>0x.（怀化）函数y 中自变量的取值范围是.,x2.（湘西）对于任意不相等的两个数 a,b,定义一种运算aXb=Y312J5.那么12X4=32.（荆州）先化简，再求值： -2-a——-3^12,其中aJ3.2 3 2a2a1aa13.（广州）先化简，再求值： （a73）（a由）a（a6）,其中aJ5-.2培优升级•奥赛检测01.（凉山州）已知一个正数的平方根是 3x—2和5x+6,则这个数是.02.已知a、b是正整数，且满足2（J15J15）是整数，则这样的有序数对（a,b）共有 对.二, 54c32 八03.（全国竞赛）04.（全国竞赛）\51广―a2aaa203.（全国竞赛）04.（全国竞赛） ,贝U 3 2 aa1———，a是x的小数部分，b是x的小数部，则a3+b3+3ab=.2105.（重庆竞赛）已知x22x225x4 45x2,则x2+y2=06.（全国竞赛）已知a2266,a 662,那么a05.（重庆竞赛）已知x22x225x4 45x2,则x2+y2=06.（全国竞赛）已知a2266,a 662,那么a、b、c的大小关系是（ ）07.08.a<b<c（武汉联赛）（全国竞赛）B.已知b<avcc<b<aD.c<a<bJ4x（x,y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（已知非零实数C.a、.53b满足2a47(a3)b242a,则a+b等于(01209.（全国竞赛）2/32在01209.（全国竞赛）2/32在,1712户等于（54短B.4近1C.5D.110.已知x2My0(x0,y1一2C.11.已知ab2Va14Vb20),则3x^xyy的值为( )5x3、xy4y3D.—437^-c5,求a+b+c的值.212.已知9J13与9炳的小数部分分别是a和b,求ab-3a+4b+8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点・方法・破译TOC\o"1-5"\h\z.会灵活运用二次根式的运算性质化简求值 ..会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 ^.会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式 ^经典・考题•赏板【例1】（河北竞赛）已知彼~12,那么 x x 的值等于 'x x23x1'■x29x1

1【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 x—表示或化简变形.1 1 「一2 2 2斛：两边平方得，x—24,x—2，两边同乘以x得，x12x,x3x15x,x9xx x【变式题组】1.若a14(0vav1),则G

a1【变式题组】1.若a14(0vav1),则G

a1、.a1、aa,则4xx2的值为(b.-a

aC.D.不能确定【例2】(全国初中数学联赛)满足等式xyy、,x,2003xx2003y...2003xy=2003的正整数对(x,y)的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解解：可化为7xy(VxJy)j2003(VxJy)J2003(yxyJ2003)0,(,xy,2003)(,x,y,2003)0Jx亚720030, Txy720030,贝Uxy=2003,且2003是质数，，正整数对(x,y)的个数有2对，应选B.【变式题组】3.若a>0,b>0,且«(J?47b)3Vb(Va2而)，求2a3bm的值.ab-ab【例3】(四川)已知：&Ta-^(0a1),求代数式x2x6x3x2x24x岳 的值.xx2xx2；x24x【解法指导】视x-2,x2-4x为整体，把人八十平方，移项用含a的代数式表示x-2,x2-4x,注意0va<1的制约.TOC\o"1-5"\h\z「一、.一 1 1c 0 1解：平万得，xa- 2,x2a- ,x2 4x4a2— 2,a a a2 2x4xa，化简原式=(x3)(x2)x(x2)x2 gx2x24x4x【变式题组】4.（武汉）已知(a5.（五羊杯竞赛）已知A.I)2aB.5【例4】（全国竞赛）如图,占八、、△BCD都是等边三角形，则点a)(-a)

a2x4.2,n1..2,且(7m214mD.9x2)的值._2 _a)(3n6n3.3A、C都在函数y、一（x0）的图像上，点B、

xD的坐标为【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线,垂足分别为 E、F.设7）8,则a的值等于（D都在x轴上，且使得△OAB、OE=a,BF=b,则AE=V3a,CF=T3b,所以，点A、C的坐标为（a,J3a）、(2a+b,J3b),所以3a23n 刎/日,解得■,3b(2ab)3.3、,6 3因此，点D的坐标为（276,0）【变式题组】6.（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5 2 2一样的式子，其实我们还可以将其进.313.3步化简:5.353332331 .31.31以上这种化简的步骤叫做分母有理化,2 -^2-还可以用以下方法化简:31"AA_<31j⑪1,1於i；（四）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument",31 31 .31 ..31一一，、一一2（1）请你用不同的方法化简一2一；,5 .32①参照（二）试得：————=；（要有简化过程）,5 .32②参照（四）试得：L2_= ；（要有简化过程）\o"CurrentDocument"5 .3\o"CurrentDocument"，一1 1 1 1（2）化简：1——J 1-L^=1-.31 5；3.7,52n1,2n1［例5］（五羊杯竞赛）设a、b、c、d为正实数，avb,cvd,boad,有一个三角形的三边长分别为 Ja2c2,・、b2d2,,（ba）2（dc）2,求此三角形的面积.解：如图，作长方形ABCD,使AB=b-a,AD=c,延步„, 22 2 7.2 .2解：如图，作长方形ABCD,使AB=b-a,AD=c,延步„, 22 2 7.2 .2EF、FB、EB,贝UBF=Vac,EF=VbdBE=J(ba)2(dc)2,从而知△BEF就是题设的三角形，bcf+Saabe—Sadef=(b—a)c+—(d—c)(b—a)——bd=—(2 2 2【变式题组】7.(北京竞赛)已知a、b均为正数，且a+b=2,求U=演练巩固•反馈提高&DA至E,使DE=d,延长DC至F,使DF=b,连结' L b dD " MaH^ C” .0而 字BEF=S长万形ABCD+S^bc-ad)EJa24Jb21形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决 ^01.已知x石生y褥夜,那么代数式但xy值为 3 2 3 2 xyx2y202.设aj1,则3a312a26a12=( )A.24B.25C.4/10 D.4/712A.24B.25C.4/10 D.4/71203.(03.(天津)计算(#1)20012(731)20002(731)1999200104.（北京竞赛）若有理数04.（北京竞赛）若有理数x、v、z满足x，小Jz2；(xyz),则(xyz)205.（05.（北京竞赛）正数m、n满足m41/mn2Vm4"4n30,则后2而8,m2、n200206.（06.（河南竞赛）若x/1,则x3（2，3)x2(12j3)x335的值是(A.2 B.407.已知实数a满足2000aC.6D.8A.1999A.2 B.407.已知实数a满足2000aC.6D.8A.1999B.2000,a2001C.2001a,那么a20002的值是（D.200208.设a赤037997,bJ1WJ999,c2J1W,则a、b、c之间的大小关系是（ ）a<b<cc<b<ac<a<bavcvba<b<cc<b<ac<a<bavcvb09.已知1J(x1)2x,化简Jx21xF1x培优升级•培优升级•奥赛检测01.（信利杯竞赛）已知x1 1x24x202.已知Ja4Ja103.(江苏竞赛)已知(xJx22002)(yJy22002)2002,则x23xy4y26x6y5804.(全国联赛)J7x29x13，7x25x137x,则x=05.（T1杯联赛）已知x05.（T1杯联赛）已知x与半，那么也丹 3.2xy的值为TOC\o"1-5"\h\z06.(武汉选拔赛)如果ab JV2002 2,ab JV2002 2, b3 c3 b3 c3,那么 a3b3 c3的值为)A.2002^2002 B.2001 C.1 D.007.(绍兴竞赛)当x11002时,代数式(4x32005x2001)2003的值是( )02003—1 C.1 D. 208.（全国联赛）设02003—1 C.1 D. 208.（全国联赛）设a、b、c为有理数，且等式abJ2A.1999 B.2000 C.200109.计算:cV3J52屏成立，贝」2aD,不能确定999b1001c的值是(1),64,332(1)(.6)3)(.3.5)(2)，而,14.15.21(2)10 14,15 21(3)3 .35,33.517(3)3 .35,33.517、55.749,4747、.49(4) 32.2.52.6.72,12 .92、.20..112、30.132.42,152,56 .172.72

10.已知实数a、b满足条件b1，化简代数式（1-）J（ab1）2,将结果表示成不含b的形式10.已知实数a、b满足条件.已知X1—.已知X1——(a0),化简:a.（奥林匹克竞赛）已知自然数X、V、z满足等式Xx2J6向JZ0,求x+y+z的值.第3讲一元二次方程的解法考点・方法・破译.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；.会应用一元二次方程解实际应用题。经典・考题・赏析【例1】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A.（m-2）x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0C.3x2-x20 D.3x2-403 x【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为 0,不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.【变式题组】.（威海）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是-2,则另一个根是.【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足 m2-2 m=1 , n2-2 n=1,那么代数式2m2+4n2-4n+1998=.【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次 ^解：由题意，2m2=4m+2,4n2=8n+2,则原式=（4m+2）+（8n+2）-4n+1998=（4m+4n）+4+1998,又由根与系数关系得m+n=2,.•・原式=2010.【变式题组】.（南昌）若3a2-a-2=0,则5+2a-6a2=..（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A.2006B.2007 C.2008D.2009［例3］关于x的一元二次方程（m-3）x2+4x+m2-9=0有一个根为0,m的值为.【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0,则常数项为0.解：依题意m2-9=0,m=±3,根据方程是一元二次方程得 m*3,综合知m=-3.【变式题组】.（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0,则k=..（东营）若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于（）A.1 B,2C.1或2D.0【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.【解法指导】解：.4 4241（1） . 二〜、…,,「，解法一：:a=1,b=4,c=-1,x= .即x=-2±55.原方程的根为21x1 2 5,x2 2 5.解法二：配方，得（x+2）2=5,直接开平方，得x2 J5,・♦•原方程的根为4 2J5,x2 2J5.【变式题组】.（清远）方程x2=16的解是（）B.x=4C.x=-4D.x=16.请从以下一元1 …—x=2,配万得6.请从以下一元1 …—x=2,配万得6x2-1x+(-l)2=2+(-1)2,(x-!)2=289=(E)2,即xJ=±且6 121212 144 1212 123•・x1= ,x2=2.（南充）方程（x-3）（x+1）=x-3的解是（）A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0.（咸宁）方程3x（x+1）=3x+3的解为（）A.x=1B.x=-1C.xi=0,x2=-1 D.xi=1,x2=-1.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程 ^①x2-3x+1=0;②（x-1）2=3;③x2-3x=0;④x2-2x=4.【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系 数为1,解：方程两边都除以6,移项得x2-【变式题组】.（仙桃）解方程：x2+4x+2=0..（武汉）解方程：x2-3x-1=0..（山西）解方程：x2-2x-3=0.演练巩固•反馈提高01.（宁德）方程x2-4x=0的解是.02.（十堰）方程（x+2）（x-1）=0的解为.03.（大兴安岭）方程（x-5）（x-6）=x-5的解是（）A.x=5B.*=或x=6C.x=7D.x=5或x=704.（太原）用配方法解方程 x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）A.（x+1）2=6 B.（x-1）2=6C.（x+2）2=9 D.（x-2）2=905.（云南）一元二次方程 5x2-2x=0的解是（）X1 0,X2C.X10,x2X1 0,X2D.X1 X1 0,X2C.X10,x2X1 0,X2D.X1 0,X2522506.（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程X2+nX-1=0的两实数根，则式子--的值是（abA.n2+2B.-n2+2 C.n2-2D.-n2-207.（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为A.8人B.9人10人D.11人08.（台州）用配方法解一元二次方程A.（X+2）2=1 B.（X-2）2=109.（义乌）解方程X2-2x-2=0.X2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）C.（x+2）2=9 D.（x-2）2=910.（兰州）用配方法解一元二次方程： 2x2+1=3x.11.（新疆）解方程:11.（新疆）解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.12.（梧州）解方程:12.（梧州）解方程:(x-3)2+2x(x-3)=0.13.（长春）解方程:13.（长春）解方程:x2-6x+9=(5-2x)2.14.（上海）解方程:14.（上海）解方程:yx1①2x2xy20②培优升级•奥赛检测01.（鄂州）已知a、B为方程x2+4x+2=0的两个实根，则a3+143+50=.x3 5 02.已知x是一兀二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式「 （x2——）的值为 3x26x x203.（苏州）若x2-x-2=0,x2x23(x2x)2的值等于（）bc2.3A. BYD.04.（全国联赛）已知三个关于二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0,恰有一个公共实数根，则b2caabc ——的值为（）A.B.C.D.05.（全国联赛）03.（苏州）若x2-x-2=0,x2x23(x2x)2的值等于（）bc2.3A. BYD.04.（全国联赛）已知三个关于二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0,恰有一个公共实数根，则b2caabc ——的值为（）A.B.C.D.05.（全国联赛）已知实数x、y满足:3,y4+y2=3,y4的值为（）A.B..13D.506.（全国联赛）已知 m=1+V2,n=1-V2,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8,则a的值等于( )A.-5B.C.-9D.907.（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是08.（滨州）观察下列方程及其解的特征:1…，—2的解为一1X1=X2=1；⑵x—x一一1的解为xi=2,X2=一；210一的解为xi=3,x2=—；3 3解答下列问题:⑴请猜想：方程126…、———的解为x5;⑵请猜想：关于x的方程的解为x『a,X⑴请猜想：方程126…、———的解为x5;⑵请猜想：关于x的方程的解为x『a,X2」(aaW0）;⑶下面以解方程26 一，… …——为例，验证⑴中猜想结论的正确性5解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09.（泸州）如图,4P1(Xi, y0, P2 (x2, y2),…Pn (xn, yn)在函数y—(x>0)的图象上，△ P1OA1, △P2A1A2,x△P3A2A3, •••△ PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边 OA1、AA A2A3、…An-1An都在x轴上.⑴求Pi的坐标;⑵求yi+y2+y3+…+yio的值.第4讲根的判别式及根与系数的关系考点・方法・破译.掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；.理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值 ^经典・考题•赏板【例1】 （成都）若关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>-1 B.错误！未找到引用源。 C.k<1D.错误【解法指导】 由题意得错误！未找到引用源。k于0.选B.【变式题组】.（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A.错误!未找到引用源。B.错误！未找到引用源。A.错误!未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。TOC\o"1-5"\h\z.（潍坊）关于x的方程错误！未找到引用源。有实数根，则整数a的最大值是（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【例2】（荆州）关于x的方程错误！未找到引用源。只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）A.a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2【解法指导】 本题考查方程的有关知识，关于x的方程错误！未找到引用源。只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时 a=0;②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根， 错误！未找到引用源。，解得a=2.故选D.错误！未找到引用源。TOC\o"1-5"\h\z【变式题组 】．（成都）设错误!未找到引用源。 是一元二次方程 错误!未找到引用源。 的两个实数根，则 错误!未找到引用源。的值为 .．（南通）设错误!未找到引用源。 是一元二次方程 错误!未找到引用源。 的两个实数根，则 错误!未找到引用源。则a= 【例3】（包头）关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。的两个实数根分别是错误！未找到引用源。，且错误!未找到引用源。 =7,则错误!未找到引用源。 的值是（ ）A．1 B.12 C.13 D.25【解法指导 】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足 错误 ！未找到引用源。 .由题意知： 错误 ！未找到引用源。又•••错误！未找到引用源。错误 ！未找到引用源。 ,而当m=5时，原方程的判别式 错误！未找到引用源。 ,此时方程无解， 错误 ！未找到引用源。 不合题意舍去 .错误 ！未找到引用源。 ,故选 C.【变式题组 】.（潍坊）已知关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。的两个实数根是错误！未找到引用源。，则k的值是（ ）A．8 B.-7 C.6 D.5.（鄂州）设错误！未找到引用源。是关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。的两实根，当a为何值时，错误！未找到引用源。 有最小值？最小值是多少？【例4】 （兰州）已知关于x的一元二次方程错误!未找到引用源。.如果此方程有两个不相等的实数根，求 a的取值范围；如果此方程的两个实数根为 错误 ！未找到引用源。 ,且满足错误 ！未找到引用源。 ,求a的值.【解法指导】 解：（1）错误！未找到引用源。...•方程有两个不相等的实数根， 错误！未找到引用源。.（2）由题意得：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。【变式题组】.(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2+2(k—1)x+k2—1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.【例5】(中山)已知关于x的方程错误！未找到引用源。.(1)求证：方程有两个不相等的实数根.TOC\o"1-5"\h\z(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解 ^【解法指导】证明方程有两个不相等的实数根，一般要把 错误！未找到引用源。化为完全平方加正常数的形式 .(1)证明：因为AXm2)24(2m1)=(m2)24所以无论m取何彳1时，A〉。，所以方程有两个不相等的实数根 .(2)解：因为方程的两根互为相反数， 所以x1x20,根据方程的根与系数的关系得 m20,解得m2,所以原方程可化为x250,解得x1<5,x2 <5【变式题组】.(中山)已知一元二次方程错误！未找到引用源。.(1)若方程有两个实数根，求m的值；(2)若方程的两个实数根为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。，求m的值.【例6】 设实数s,t分别满足错误!未找到引用源。，并且st力,求错误!未找到引用源。的值.【解法指导】本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：•••swQ・•・第一个等式可以变形为： 错误！未找到引用源。，又•••stwi•••错误!未找到引用源。t是一元二次方程x05.（上海）如果关于x的万程xxk0（k为常数）有两个相等的实数根，那么 k05.（上海）如果关于x的万程xxk0（k为常数）有两个相等的实数根，那么 k•.错误！未找到引用源。演练巩固•反馈提高01.（东营）若n（nwQ是关于x的方程错误！未找到引用源。的根，则m+n的值为A.1 B.2 C.-1 D.-202.（株洲）定义：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）满足abc0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2bxc0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A.ac B.ab C.bc D.abc03.（崇左）一元二次方程错误！未找到引用源。 的一个根为-1,则另一个根为.04.（贺州）已知关于x的一元二次方程x2xm0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是.1、06.(泰安)关于x的一元二次方程x2(2k1)x21、06.(泰安)关于x的一元二次方程07.(淄博)已知关于x的方程x22(k3)xk24k10.(1)若这个方程有实数根，求 k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；2 2 m(3)若以万程x22(k3)xk24k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 y—的图象上,x求满足条件的m的最小值.08.已知关于x的一元二次方程错误!未找到引用源。(1)若方程有两个相等的实数根，求 m的值；(2)若方程的两个实数根之积等于 错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值.09.(孝感)已知关于 x的一元二次方程x2 (2m1)x m2 0有两个实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围；(2)当x2x20时，求m的值.k.(鄂州)关于x的万程kx2(k2)x—0有两个不相等的实数根.4(1)求k的取值范围.

（2）是否存在实数k,使方程的两个实数本!!的倒数和等于 0*存在，求出k的值；若不存在，说明理由2.（北与）已知：关于x的一兀一次方程mx（3m2）x2m20（m0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 xi, X2 （其中xi X2）.若y是关于m的函数，且y x2 2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m的取值范围满足什么条件时， yw2m.12.（淄博）已知x,x12.（淄博）已知x,x2是方程x22x0的两个实数根，且X2x2（1）求X,x2及a的值;TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 2(2)求x1 3x1 2x1x2的值.培优升级•奥赛检测2 2 - 1 101.（全国联赛）设a213a,b213b,且ab,则代数式—下的值为 （ ）abA5. B7. C9. D.11.02.（延边预赛）已知m是方程错误!未找到引用源。 的一个根，则代数式错误！未找到引用源。的值等于（ ）A.2016 B.2017 C.2018 D.201903．如果 a、b都是质数，且 错误 !未找到引用源。 ,那么 错误!未找到引用源。 的值为（A．错误C.A．错误C.错误！未找到引用源。D错误 !未找到TOC\o"1-5"\h\z引用源。 或204．（全国竞赛）已知实数 错误！未找到引用源。 ，且满足 错误 ！未找到引用源。 的值为（ ）A．23 B.-23 C.-2 D.-13错误！未找到引用05.（全国竞赛 ）设错误！未找到引用源。 是关于x的方程错误错误！未找到引用源。的最大值为 06．已知 错误！06．已知 错误！未找到引用源。 是方程错误的两个实数根，则错误！未找到引用源。07.（全国联赛）对于一切不小于 2的自然数n,关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。的两个根记作错误!未找到引用源。 ,则错误 ！未找到引用源。 __08．已知关于 x的方程： 错误 ！未找到引用源。（1）求证：无论 m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；2）若这个方程的两个实根为 错误！未找到引用源。 ，满足错误！未找到引用源。 ,求m的值及相应的 错误！未找到引用源。.09．（全国竞赛）设 m是不小于 -1的实数，使得关于 x的方程错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根 错误!未找到引用源。 ,（1）若错误!未找到引用源。 ,求 m的值；（2）求 错误 !未找到引用源。 的最大值 .第5讲一元二次方程的应用考点方法破译1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；2．会建立一元二次方程模型解实际应用题．

经典考题赏析［例1］（南平）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.8人B.9人 C.10人D.11人【解法指导】 构建一元二次方程模型求解.设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x,第一轮被传染人数为x,患流感人数为x+1;第二轮被传染人数为x（x+1）,所以1+x+x（x+1）=100,解得x=9.应选B.【变式题组】TOC\o"1-5"\h\z.（甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为 x,则关于x的方程为 ..（襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10m2。提高到12.1m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ）A.9% B.10%C.11%D.12%.（太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 .【例2】（黄石）三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2—12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）A.14B.12C.12或14 Do以上都不对【解法指导】 方程x2—12x+35=0可化为（x—7）（x—5）=0,解得x=7或x=5,当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5,该三角形的周长为12.应选B.【变式题组】.（青海）方程x2一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 （ ）A.12A.12B.12或15C.15D.不能确定5.（襄樊）如图，在平行四边形 ABCD中，AE上BC于E,5.（襄樊）如图，在平行四边形 ABCD中，AE上BC于E,是一元二次方程x2+2x-3=0的根，则平行四边形ABCD的周A、42&B、126J2C、2272 D、126后或22GAE=EB=EC=a,且a长是（）【例3】（莆田）已知。01和。02的半径分别是一元二次方程（的位置关系是x-1）（x-2）=0的两根，且0i02=2,则。0i和。O2【解法指导】依题意，O。和。Q的半径分别为1和2,l<O1Q<3,。。和0Q相交.【变式题组】6.（6.（兰州）两圆的圆心距为l,两圆的半径分别是方程x2—5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是 （A.外离B.内切C.相交D.外切7.（江苏）某县7.（江苏）某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元.设人均年收入的平均增长率为x,则可列方程8.（庆阳）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要 55l米。，则修建的路宽应为（ ）A、1米B、1.5米 C、2米 D、2.5米【例4】（白银）在实数范围内定义运算“㊉”，其法则为：a㊉b=a2-b2,求方程（4㊉3）㊉x=24的解.【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换.解：.■a®b=a2-b2-.（4®3）®x=7®x=72-x2 ■.72-x2=25.，x=±5.【变式题组】1…….（全国兄赛）对于头数u、v,te义一种运算※为：uXv=uv+v,右关于x的方程xX（aXx）二一—有两个不4同的实数根，则满足条件的实数 a的取值范围是 .【例5】（十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围一个矩形场地.（1）怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2,（2）能否使所围矩形场地的 面积为8l0m2,为【解法指导】 解：（1）设所围矩形ABCD勺长AB为x米，则宽AD为1（80一x）米.依题意，得x」（80一x）=750,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2即x2—80x+1500=0.解此方程，得Xi=30,x2=50.墙的长度不超过45m, x2=50不合题意，应舍去.当x=30时，1（80一x）=-X（80-30）=25.所以，当所\o"CurrentDocument"2 2围矩形长为30n宽为25m时，能使矩形的面积为 750吊.（2）不能.因为由x-1（80一x）=810,得x2—80x+1620=0.又=b2-4ac=（—80）2—4X1X1620=-80<0..上述方2程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为 8l0m2.【变式题组】.（广东）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 8l台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 ？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？巩固练习反馈提高，.（南通）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入 600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资， 20l0年该市计划投资“改水工程” 1176万元.(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万.(长沙)当m为何值时，关于z的一元二次方程x2—4x+m—g=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？.(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司 2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司2006年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008年盈利多少万元？.(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元.从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：(1)该企业2007年盈利多少万元？(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？培优升级奥赛检测1.(河南)已知X1、X2是关于X的一元二次方程x2—6x+k=0的两个实数根，且 X12X22-X1—X2=115.⑴求k的值；（2）求xi2+x22+8的值..（临沂）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资， 2011年投资18.59万元.（1）求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元 ？.（南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等.设甬道的宽为 x米.（1）用含x的式子表示横向甬道的面积为 平方米;（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽..（厦门）某商店购进一种商品，单价30元.试销中发现这种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售价x（元）满足关系:P=100—2x.若商店每天销售这种商品要获得 200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元 ？每天要售出这种商品多少件？

.（庆阳）如图.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为剩下的部分刚好能围成一个容积为 15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多1米的正方形后,2米，现已知购买这种6.（益阳）如图，△1米的正方形后,2米，现已知购买这种6.（益阳）如图，△ABC中，已知/BAC=45°,AD，BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路。探究并解答下列问题:（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、AACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F,（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△点，证明四边形AEGF是正方形;（2）设AD=x,（2）设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.7.（全国竞赛）某校举行春季运动会时,7.（全国竞赛）某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个 8列的长方形队列.如果原队列中增加 120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有同学多少人第第6讲一元二次方程的整数根考点・方法・破译1．方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；2．基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，经典・考题・赏析[例1](全国联赛)已知方程 a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)，至少有一个整数根，那么a=.【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用分解求根法.解：①a=0时，贝U需2a2-13a+15=0,矛盾.所以此时无整数解；②aw0,分解得(ax+3-2a)(ax+5-a)=0.3 ,5aw0,斛得x2—,x21—.则a是3或5的约数，故a可取土1,±3或±5.【变式题组】.(全国竞赛)已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数 a有个..(全国竞赛)设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.【例2】 (全国竞赛)试确定一切有理数 r,使得关于石的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根.【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用消参法,1解：(1)右r=0,x=—,原方程无整数根;i r2(2)当—0时，x〔x2 r-1)(2x2-1)=7,令xi<x2,贝U2x1-1=1,,2r1 11一,x1x2 1一,消去r得：4x,x22x1x2 17,得(2x1r rrr1. 12x2-1=7或2x1-1=—7,2x2-1=—1解得x1=1,x2=4,此时 =4,r=--；或x1=-3,x2=0,r1 一1一. =0,r=1.综合得r=—g或r=1.【变式题组】3.求满足如下条件的所有 k值，使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.【例3】 (海南初赛)已知20102011-20102009=2010xX2009X2011,那么x的值是( ).A.2008 B.2009 C.2010 D.2011【解法指导】 本题运用分解因式法，由 20102011-20102009=2010xX2009X2011,,则有20102009(2010-1)(2010+1)=2010xX2009X2011,则有x=2009,本题应选B.【变式题组】4.(全国联赛)若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是.【例4】（全国联赛）已知a是正整数，如果关于并的方程 x3+（a+17）x【例4】数，求a的值及方程的整数根.【解法指导】本题可用综合法，解：观察易知，方程有一个整数根x1=1,将方程的左边分解因式得(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0因为a是正整数，所以关于x的方程x2+(a+18)x+56=0(1)（l）的判别式^=（a+18）2-224>0,它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方都是整数，因此它的判别式^ =（a+18）2-224应该是一个完全平方数，设（a+18）2-224=k2（其整数),则(整数),则(a+18)2-k2=224,即(a+18+k)(a+18-k)=224.显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k>18,而224=112X2=56X4=28X8,所以a18a18k112—a18a+18+k>18,而224=112X2=56X4=28X8,所以a18a18k112—a18k56,或k2,a18k4,…a18k28,左/口或 解得a18k8,39,或55,12,或26,0,10,而a是正整数，所以只可能阻或55,12,26.当a=39当a=39时，方程（l）即x2+57x+56=0,它的两根分别为—1和—56.此时原方程的三个根为 1,—1,—56.当a=12时，方程（1）即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28.此时原方程的三个根为 1,—2,—28.【变式题组】- 56.（全国联赛）设a是正整数，二次函数y=x2+（a+17）x+38-a,反比例函数y=一，如果两个函数图象的父点都是整点x（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值,【例5】 （全国竞赛）关于x,y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x,y）的组数为（ ）2组3组C.2组3组C.4组D.无穷多组【解法指导】本题可用判别式法.解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为x2+xy+(2y2-29)=0.由于该方程有整数根,则判别式0,且是完全平方数.由 A=y2-4(2y2-29)=-7y2+116>0,解得y2<116-16.57.于程有整数根,显然，只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求.当y=4时，原方程为x显然，只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求.当y=4时，原方程为x2+4x+3=0.此时x1=—l,x2=—3;当y=—4时，原方程为x2-4x+3=0,此时x3=1,x4=3.所以，原方程的整数解为 “Vi1,x2 3,x21,4； y2 4; y2 4;x2y23,4.2y014916△11610988534【变式题组】3abx2y3ab.(武汉)整数a使得关于x、y的方程组 2 2 对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值.xyb22a23b4演练巩固反馈提高.(全国竞赛)关于x、v,的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为..若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程 x2-(m+2)x+4m=0的根，求m及三角形三边长.3,已知方程ax2-(a-3)x+a-2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时 a的值.2 113a.(全国联赛)设a是正整数，如果二次函数 y=2x2+(2a+23)x+10-7a和反比函数)y 的图象有公共整点x(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求a的值和对应的公共点..(全国竞赛)已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-(8p-l0q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p,q).培优升级奥赛检测.(全国竞赛)已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+：(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明..(全国竞赛)(1)是否存在正整数m、n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k(k>3)是给定的正整数，是否存在正整数 m,n,,使得m(m+k)=n(n+1).(全国竞赛)如图所示，O。的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k-2)x十k=0(k是整数)的最大整数根.P是。。外一点，过点P作。。的切线PA和割线PBC,其中A为切点，点B,C是直线PBC与。。的交点.若RA,PB,PC的长都是正整数，且RB的长不是合数，求RA2+PB2+PC2的值..(全国联赛)设整数a、b、c(a>b>c)为三角形的三边长，满足 a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数..(全国联赛)已知二次函数 y=x2+bx-c的图象经过两点P(l,a),Q(2,l0a).⑴如果a、b、c都是整数，且c<b<8a,求a、b、c的值；(2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于石的方程x2+bx-c=0的两个根都是整数，求^ABC的面积.第7讲旋转和旋转变换（二）考点・方法・破译.掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；.会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；.能利用旋转性质进行开放探究。..上两点，且/EF,下列结论:其中正确的是经典・考题•赏板上两点，且/EF,下列结论:其中正确的是【例1】(咸宁)如图，在Rt^ABC中，AB=ACDE是斜边BCDAE=45,将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB,连接①△AENAEF②△AB&△ACED③BE+DC=DE④bE"+dC=dE,()A.②④B.①④C.②③D.①③【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入解：由旋转性质知，/FAD=/FBC=90,且AF=AD=/DAE=45,../FAE=40由AF=AD/FAE=ZDAEAE=AD得^AEN△AEF7,①正确；由勾股定理得BF2+bE=FE",将BF=DCFE=DE代入彳导,bU+dC=d£④正确；且知③不正确；若/AFA/ADC则②不正确，故本题选B【变式题组】1.如图，在等腰Rt^ABC的斜边AB上取两点MN,使/MCN=4&记AM=m,MN=x,BN=n,U以线段x、mn为边长的三角形的形状是（A.锐角三角形B.直角三角形 C.的三角形的形状是（A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x、m、n的变化而改变【例2］（孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AO喊O点顺时针旋转90，得△A1OB。已知/AOB=90,ZB=90°,AB=1,则B1点的坐标为（ ）33 3.3A-33 3.3A-（T，2）b-（2，T）1.3、c（2,万）/,31、D-（T，2）翻转横坐标翻转横坐标【解法指导】 根据旋转的性质得/ A1oB=3°°, oB=OB=/3,过B1作B1H垂直丫轴于H。可得B1H=^3 , OH=3 ,则2 2B1点的坐标为（,—）本题选Ao22【变式题组】.（泰安）如图，将边长为 1的正三角形OAPgX轴正方向连续2°°8次，点P依次落在点P1,P2,P3,…^^顿的位置，则点P2°°8的为 ［例3］（邵阳）如图将Rt^ABC（其中/B=34\/C=9d）绕点A按顺时针方向旋转到△ABC的位置，使得点C、A,B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）【解法指导】可以选择/BAB为旋转角，由三角形外角和定理得/ BAB=34°+90°=124°,应选R【变式题组】

.（津州）如图，△OA喊点O逆时针旋转800得到△OCD若/A=1100,/D=4d,则/a的度数是（A.300B.400C.500D.600.（陕西）如图，/AOB=90,/B=30°,4AoB可以看作是由△AOB绕点。顺时针旋转a角度得到的，若点 A1在TOC\o"1-5"\h\zAB上，则旋转角a的大小可以是（ ）A.300B.450C.600D.900.（株洲I）如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图） ，它是由四个完全相同的四边形 OABCt成的，测得AB=BCOA=OCOALOC/ABC=36,贝U/OAB勺度数是（ ）1160 B.1170 C.1180 D,1190［例4］（昆明）在Rt^ABC中，/C=9C0,BC=4cmAC=3cm,把^ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABO,如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）

A.5x/2cm【解法指导5 5A.5x/2cm【解法指导—cmC.—cmD.5cm\o"CurrentDocument"4 2点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又圆心角为900的圆弧，又AB=5cm所以路径长为—2 5—cm,应选C\o"CurrentDocument"4 26.(丽水)把一副三角板按如图(1)位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cmMED6.(丽水)把一副三角板按如图(1)位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cmMED绕点A(M)逆时针旋转600后如图(2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是cm2(结果精确到0.1, 31.73).[例5](南宁)已知△ABC在平面坐标系中的位置如图所示。(1)分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的△ABC;⑵1一(3)求点A旋转到点A所经过的路线长(结果保留 )【解法指导】解：(1)A(0,4)、C(3,1)(2)图略(3)AC=3V2,弧AA19032180【变式题组】.(武汉)如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1。0)(1)请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形，直接写出点B的对应点的坐标;(3)请直接写出：以A、RC为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。.(齐齐哈尔)如图，在平面坐标系，△ ABC的顶点坐标为A(-2,3)、B(-3,2)、C(-1,1)。(1)若将△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△ AiBiCi(2)画出△ABG绕原点旋转1800后得到的^ABC2;3)△Atk1与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：;(4)顺次连结CC、C1、C2所得到的图形是轴对称图形吗？

【例6】(全国竞赛)如图在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形ABCD为A(1,1)、B(2,-1),C(-2,-1)、D(-1,1),Y轴上一点P转1800得到P1,点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800D旋转1800得到P4,……，重复操作依次得到P1、P2、……，则点的顶点坐标分别(0,2)绕点A旋得点P3,点P3绕点P2010的坐标是的顶点坐标分别(0,2)绕点A旋得点P3,点P3绕点P2010的坐标是【解法指导】由已知可以得到，点R、P2的坐标分别为(2,0),(2,-2),记P2(a2,b2),其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得: P3 (-4-a2,-2-b 2) ,P4(2+a 2,4+b 2),P5(-a2,-2-b 2),P 6(4+a2,b2),令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标(4+a6,b2)即P10(4X2+a2,b2),由于2010=4X502+2,所以点Bs。的坐标为(2010,-2),本题应选B。【变式题组】.(东莞)如图①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OA*口等边三角形OCD连结AC和BD相交于点E,连结BC,求/AEB的大小；(2)如图②，△OAB固定不动，保持△OCD勺形状和大小不变，将^OC璘点。旋转(△OA*口△OCM能重叠)，求/AEB的大小。.（衡阳）如图，圆心角都是900的扇形OABW扇形OCDft放在一起，连结AC,BD（1）求证：AC=BD（