高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版

第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18,l+2+3+4+8=18,1+2+3+5+7=18，共计×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有=10种．十位数中含有两个l，有=36种．十位数中含有三个l，有=56种．十位数中含有四个1，有=35种．十位数中含有五个1，有=6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法