高考总复习-第二章 函数、导数及其应用

第一节函数及其表示[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解构成函数的要素，了解1.考查方式多为选择题或填空题．2.函数的表示方法映射的概念．是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高的需要选择恰当的方法2.在实际情境中，会根据不同(如图考的常客，如(理)2012年新课标全国T10等．象法、列表法、解析法)表示(文)2011年湖南T16等．3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数函数．值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为3.了解简单的分段函数，并能主，如2012年江西T3，(文)2012福建T9等.简单应用.[归纳·知识整合]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，A，B是两个非空数集A，B是两个非空集合B按照某种确定的对应关系f，对于集按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中合A中的任意一个元素x在集合B中对应关系f：A→B有唯一确定的数f(x)和它对应都有唯一确定的元素y与之对应f：A→B为从集合A到集合B的一个对应f：A→B为从集合A到集合B的名称记法函数一个映射y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射[探究]1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列四个命题，正确的有()①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(x)＝＋；③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由函数的定义知①正确；②错误；由得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0，的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有()①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．3．(文)(2012·江西高考)设函数f(x)＝则f(f(3))＝()A.B．3C.D.解析：选D∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.3．(理)(2012·江西高考)若函数f(x)＝则f(f(10))＝()A．lg101C．1D．0解析：选Bf(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.B．2解析：∵f(x)＝，∴f(4)＝＝.＝－3.∴f(f(4))＝f(－3)＝∵f(a)＝2，即＝2，解得a＝14.答案：145．(教材习题改编)A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素相对应的A中的元素是________．解析：∵cos60°＝，∴与A中元素60°相对应的B中的元素是.又∵cos30°＝，∴与B中元素相对应的A中的元素是30°.答案：30°函数与映射的概念[例1]有以下判断：(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数．(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.其中正确判断的序号是________．[自主解答]对于(1)，函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以yf(x)定义域内的值，则直线＝与＝二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是＝x1yf(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．[答案](2)(3)———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f1：y＝；f2：y＝1.②f1：y＝f2：xyx≤111＜x＜2x≥232③f1：y＝2x；f2：如图所示．解：①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A．k>1C．k<1B．k≥1D．k≤1解析：选A由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k)<0，解得k>1时满足题意.求函数的解析式[例2](1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)．[自主解答](1)法一：(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.法二：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9.由恒等式性质，得解得a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.若将本例(1)中“f(x＋1)＝x2＋4x＋1”改为“f解：令＋1＝t，∵x>0，＝lgx”，如何求解？∴t>1且x＝.∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．2．给出下列两个条件：(1)f(＋1)＝x＋2；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．解：(1)令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又∵f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴解得∴f(x)＝x2－x＋3.分段函数求值[例3](文)(2012·福建高考)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为()A．1B．0C．－1D．π(理)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为()A.B.C.D.[解析](文)∵g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0，∴f(g(π))＝0.(理)∵2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log23>4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝3＋log23＝×log23＝×＝.[答案](文)B(理)A———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.B.C．2D．9解析：选C∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法·规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例](2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝________．若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为[解析]①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意，所以综上所述，a＝－.[答案]－1．在解决本题时，由于a的取值不同限制了1－a及1＋a的取值，从而应对a进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤(1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结，整合得出结论．1．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C①当a>0时，∵f(a)>f(－a)，∴log2a>loga＝log2.∴a>，得a>1.②当a<0时，∵f(a)>f(－a)，∴log(－a)>log2(－a)＝log.∴－a<得－1<a<0，故C项为正确选项．2．设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是________________．解析：当x<1时，由f(x)>4得2－x>4，即x<－2；当x≥1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，但由于x≥1，所以x>2.综上，x的取值范围是x<－2或x>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题1．下列各组函数中，表示相等函数的是()A．y＝与y＝B．y＝lnex与y＝elnxC．y＝与y＝x＋3D．y＝x0与y＝解析：选Dy＝＝x，y＝＝|x|，故y＝与y＝不表示相等函数；B、C选项中的两函数定义域不同；D选项中的两函数是同一个函数．2．设A＝{0,1,2,4}，B＝A．f：x→x3－1B．f：x→(x－1)2C．f：x→2x－1D．f：x→2x，则下列对应关系能构成A到B的映射的是()解析：选C对于A，由于集合A中x＝0时，x3－1＝－1∉B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，C符合．3．已知函数f(x)＝则f(f(－10))＝()A.B.C．1D．－解析：选A依题意可知f(－10)＝lg10＝1，f(1)＝21－2＝.4．(2013·杭州模拟)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3C．－1B．±3D．±1解析：选D∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝＝1，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝＝1，∴a＝1；当a<0时，f(a)＝＝1，∴a＝－1.5．(文)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝()A．x－1B．x＋1C．2x＋1D．3x＋3解析：选B由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1.①将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1.5．(理)已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝x2－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3解析：选B由f(x)＋2f(3－x)＝x2可得f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2，由以上两式解得f(x)＝x2－4x＋6.6．(2013·泰安模拟)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．只有①解析：选B①f＝－x＝－f(x)满足．②f＝＋x＝f(x)不满足．③0<x<1时，f＝－x＝－f(x)，x＝1时，f＝0＝－f(x)，x>1时，f＝＝－f(x)满足．二、填空题7．已知f解析：∵f＝x2＋，则函数f(3)＝________.＝x2＋＝2＋2，∴f(x)＝x2＋2.∴f(3)＝32＋2＝11.答案：118．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则＋＋…＋＝________.解析：令b＝1，∵＝f(1)＝1，＝2011.∴＋＋…＋答案：20119．(文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为________．解析：由题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－20＝－1.答案：－19．(理)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．解析：画出f(x)＝的图象，如图．由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，则即得x∈(－1，－1)．答案：(－1，－1)三、解答题10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1<x<1时，f(x)<0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.所以g(f(x))＝11．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x＋5.解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．解：(1)∵x＝时，4x＝，∴f1(x)＝＝1.∵g(x)＝－＝.∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.∴∴≤x<.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()解析：选B根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P上的函数的是________．(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解析：对于(1)，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y＝·，y＝；(2)y＝x，y＝；(3)y＝|x|，y＝()2.解：∵y＝y＝·的定义域为{x|x≥2}，的定义域为{x|x≥2或x≤－2}，∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y＝＝t，∴y＝x与y＝是同一函数．(3)∵y＝|x|的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，∴它们不是同一函数．4．已知f(x)＝且f(a)＝3，求a的值．解：①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．②当－1<a<2时，f(a)＝2a，由2a＝3，得a＝，满足－1<a<2.③当a≥2时，f(a)＝，由＝3，得a＝±，又a≥2，故a＝.综上可知，a的值为或.[备考方向要明了]考什么怎么考1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，会求简单且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关函数的定的定义域问题．如：(文)2012年山东T3，安徽T2，广东T11等．义域和值(理)2012年江西T2，江苏T5等．域.2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.[归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y＝tanx的定义域为.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为当a<0时，值域为；.(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.[探究]1.若函数y＝f(x)的定义域和值域相同，则称函数y＝f(x)是圆满函数，则函数①y＝；②y＝2x；③y＝；④y＝x2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y＝的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝是圆满函数；②y＝2x的定义域和值域都是R，故函数y＝2x是圆满函数；③y＝的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y＝是圆满函数；④y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故函数y＝x2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝的定义域为()A．[－∞，4]C．(－∞，4)B．[4，＋∞)D．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D要使函数f(x)＝有意义，只需即所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()xy0<x<525≤x<10310≤x<15415≤x≤205A．[2,5]B．NC．(0,20]D．{2,3,4,5}解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．3．若f(x)＝，则f(x)的定义域为()A.C.B.D．(0，＋∞)解析：选A根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－<x<0，即x∈.4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7)[0，＋∞)5．(教材改编题)若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．解析：∵有意义，∴x－4≥0，即x≥4.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)求函数的定义域[例1](1)(2012·山东高考)函数f(x)＝＋的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)x满足即解得－1<x<0或0<x≤2.(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)B(2)[－1,8]本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]，∴0≤x2－1≤3，解得－2≤x≤－1或1≤x≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．解析：(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤⇒0＜x≤，故所求定义域为(0，]．(2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4.∴定义域为[－1,1]∪[2,4]．答案：(1)(0，](2)[－1,1]∪[2,4]求函数的值域[例2]求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝x－；(3)y＝x＋.[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．＝＝1－.因为≠0，所以1－≠1，法二：由y＝得yx＋y＝x－3.解得x＝即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)法一：(换元法)令＝t，则t≥0且x＝，所以y≠1，，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤.所以y≤f＝，即函数的值域是.(3)法一：(均值不等式法)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x<0时，x＋＝－(－x－)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－＝.x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y＝x－”，如何求解？解：易知函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y＝x－的值域为R.———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．2．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝；(3)y＝log3x＋logx3－1.解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y＝＝1－2＋≥，，∵x2－x＋1＝∴0<≤，∴－≤y<1，即值域为.(3)y＝log3x＋令log3x＝t，－1，则y＝t＋－1(t≠0)，当x>1时，t>0，y≥2－1＝1，当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0<x<1时，t<0，y＝－－1≤－2－1＝－3.当且仅当－t＝－即log3x＝－1，x＝时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．与定义域、值域有关的参数问题[例3]已知函数f(x)＝.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．[自主解答]①若a＝0，则对于每个正数b，f(x)＝的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0满足条件；的定义域为D＝{x|ax2＋bx≥0}＝②若a>0，则对于正数b，f(x)＝∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A⊆[0，＋∞)，故D≠A，即a>0不符合条件；③若a<0，则对于正数b，f(x)＝的定义域D＝，，由于此时f(x)max＝f故f(x)的值域为＝，则－＝⇒⇒a＝－4.综上所述，a的值为0或－4.———————————————————由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为，则a＋b＝________.解析：∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝则f(a)＝在[a，b]上为减函数，＝，＝1且f(b)＝∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例](2013·福州模拟)函数f(x)＝－的定义域为________________．[解析]∵要使函数f(x)＝－有意义，则∴∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[答案](－∞，－1)∪(－1,1]1．本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．1．若函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是()A.C.B.D.解析：选C令t＝f(x)，则≤t≤3.易知函数g(t)＝t＋在区间上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g＝，g(1)＝2，g(3)＝.可知函数F(x)＝f(x)＋的值域为.2．已知函数f(＋2)＝x＋2，则函数f(x)的值域为________．解析：令2＋＝t，则x＝(t－2)2(t≥2)．∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)．∴f(x)＝x2－2x(x≥2)．∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)一、选择题1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋aB．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1D．f(x)＝x2＋ax＋1解析：选C当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.2．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．RB．{x|x>0}C．{x|0<x<5}D.解析：选C由题意知即0<x<5.3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析：选AA中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C不表示函数；D中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y＝A．{x|x>0}B．{x|x≥1}D．{x|0<x≤1}－lg的定义域为()C．{x|x≥1，或x<0}解析：选B由5．函数y＝2－得x≥1.的值域是()A．[－2,2]C．[0,2]B．[1,2]D．[－，]解析：选C∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤0≤2－≤2，∴0≤y≤2.≤2，－2≤－≤0，6．(文)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4C．6B．5D．7解析：选Cf(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.6．(理)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是()A.C.∪(1，＋∞)B.D.∪(2，＋∞)解析：选D令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2；令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，故函数f(x)＝当x<－1或x>2时，函数f(x)>f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数f≤f(x)≤f(－1)，即－≤f(x)≤0，故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．二、填空题7．函数y＝的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2.答案：(－3,2)8．(文)设函数f(x)＝(x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．解析：先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0.即f[f(x)]＝易知其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．(理)设x≥2，则函数y＝的最小值是______．解析：y＝，设x＋1＝t，则t≥3，那么y＝ymin＝.答案：＝t＋＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t＝3时，函数取得最小值即9．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．解析：由题意知，f(x)＝当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，故当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题10．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a，b的值．解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－，∴其对称轴为x＝1，即[1，b]为f(x)的单调递增区间．∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b.②由①②解得11．设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在x轴的正半轴上移动，l(x)表示数y＝的值域．的长，求函解：依题意有x＞0，l(x)＝＝，所以y＝＝＝.由于1－＋＝252＋，所以≥，故0＜y≤.即函数y＝的值域是12．(文)已知函数f(x)＝.(a∈R且x≠a)，求x∈时，f(x)的值域．解：∵f(x)＝＝－1＋，当a－1≤x≤a－时，－a＋≤－x≤－a＋1，∴≤a－x≤1.∴1≤≤2.∴0≤－1＋≤1，即f(x)的值域为[0,1]．12．(理)已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤.∴a＋3>0.∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－2＋.∵二次函数g(a)在上单调递减，∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为.1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是()A．f(x)＝lnxC．f(x)＝|x|B．f(x)＝D．f(x)＝ex解析：选A当x>0时，有意义，因此函数y＝的定义域为{x|x>0}．对于A，函数f(x)＝lnx的定义域为{x|x>0}；对于B，函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}；对于C，函数f(x)＝|x|的定义域为R；对于D，函数f(x)＝ex的定义域为R.所以与函数y＝有相同定义域的是f(x)＝lnx.2．函数y＝的定义域为()A．[－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1]解析：选C由得－1<x<1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)的定义域是()解析：选B要使g(x)有意义，则解得0≤x<1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f(x)＝x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(x)＝x，x∈[－1,1]，知f(x)∈，令t＝f(x)∈记g(x)＝y＝t2－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：①当a≤时，g(x)的最小值h(a)＝－，②当a≥3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a，③当<a<3时，g(x)的最小值h(a)＝3－a2综上所述，h(a)＝(2)当a≥3时，h(a)＝－6a＋12，故m>n>3时，h(a)在[n，m]上为减函数，所以h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]．由题意，则有⇒，两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.[备考方向要明了]考什么怎么考1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题．1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；理解和研究函数的性2.会利用函数的图象2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.质.[归纳·知识整合]1．函数的单调性(1)单调函数的定义.增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.定义当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是逐渐下降的自左向右看图象是逐渐上升的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．[探究]1.函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值前提条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.[探究]3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝，x∈[2,6]，则下列说法正确的有()①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为.A．①③B．①③④D．②④C．②③④解析：选B易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)min＝f(6)＝，f(x)max＝f(2)＝2.2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k>B．k<D．k<－C．k>－解析：选D使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1<0，即k<－.3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足fA．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C∵函数f(x)为R上的减函数，<f(1)的实数x的取值范围是()且f<f(1)，∴>1，即|x|<1且|x|≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为________；f(x)max＝________.解析：∵函数f(x)＝x2－2x的对称轴为x＝1.∴函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)．又f(－2)＝4＋4＝8，f(4)＝16－8＝8.∴f(x)max＝8.答案：[1,4]85．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，又函数f(x)在[5,20]上为增函数，∴≤5，即k≤40.答案：(－∞，40]函数单调性的判断或证明[例1]已知函数f(x)＝－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．[自主解答](1)由2f(1)＝f(－1)，可得2－2a＝＋a，得a＝.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－ax1－＋ax2＝－－a(x1－x2)＝－a(x1－x2)＝(x1－x2)∵0≤x1<∴0<.，0<x2<，<1.又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．———————————————————判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：⇨⇨⇨(2)利用导数的基本步骤是：⇨⇨1．(文)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明函数f(x)在(0，]上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．证明：设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．当0<x1<x2≤时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，]上是减函数；当≤x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．1．(理)讨论函数f(x)＝(a>0)的单调性．解：由x2－1≠0，得x≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．①当x∈(－1,1)时，设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，函数f(x)在(－1,1)上为减函数．②设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵1<x1<x2，∴x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x1x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．又函数f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数.求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝log2(x2－1)．[自主解答](1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)∵y＝log2(x2－1)，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又∵y＝log2(x2－1)可看作由y＝log2μ和μ＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝log2μ在μ∈(0，＋∞)上为增函数，而μ＝x2－1在(－∞，－1)上为减函数且μ>0，在(1，＋∞)上为增函数且μ>0.∴当x∈(－∞，－1)时，y＝log2(x2－1)为减函数，当x∈(1，＋∞)时，y＝log2(x2－1)为增函数．———————————————————1.求函数单调区间应注意的问题(1)函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．2．求函数y＝的单调区间．解：令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．由函数的单调性求参数的值(或范围)[例3]已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．[自主解答]在区间(2，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝＝(x1－x2)＋－＝－＝(x1－x2)＋，∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴(x1－x2)＋又x1<x2，即x1－x2<0，<1，即a<x1x2.<0.∴∵x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，∴x1·x2>4.∴a≤4，又a>0，∴a的取值范围为(0,4]．若将“f(x)＝解：f(x)＝(a>0)”改为“f(x)＝”，如何求解？＝1＋.∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴解得即a≤0.故实数a的取值范围为(－∞，0]．———————————————————利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3．已知f(x)＝(x≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．函数的最值与应用[例4](2013·昆明模拟)已知函数f(x)＝(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；，x∈[1，＋∞)．(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．[自主解答](1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3<a≤0.②当0<a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋3>0，a>－3.所以0<a≤1.③当a>1时，f(x)在[1，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f()＝2＋2，2＋2>0，显然成立．综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．———————————————————(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.2.恒成立问题的解法(1)m>f(x)恒成立⇔m>f(x)max；(2)m<f(x)恒成立⇔m<f(x)min.,4．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意知，－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈1在x∈上恒成立，当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－或m≥.上恒成立，即－4m2≤－－＋即实数m的取值范围为∪.2个防范——函数单调区间的记法及性质的易误点(1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(2)两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．2种形式——单调函数的等价变形设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么(1)(2)>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．4种方法——函数单调性的判断方法判断函数单调性的方法有以下四种：(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)导数法：利用导数研究函数的单调性；(4)图象法：利用图象研究函数的单调性.易误警示——分段函数单调性中的误区[典例](2013·福州模拟)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则a实数的取值范围为()A．(0,1)B.C.D.[解析]据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足[答案]C解得≤a<.1．如果只考虑到使各段函数在相应定义域内为减函数的条件，而忽视在R上为减函数，易误选B.2．一般地，若函数f(x)在区间[a，b)上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a，c]上为增函数，如图：，由图象可知函数f(x)在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a，c]上为增函数，若图象满足如图：，即可说明函数在[a，c]上为增函数，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0]C．[1，＋∞)B．[0,1)D．[－1,0]解析：选Bg(x)＝2．若f(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)C．(4,8)D．(1,8)解析：选B函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，B．[4,8)＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)．一、选择题1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2)B．y＝－xC．y＝D．y＝x＋解析：选A选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()B．f(x1)<0，f(x2)>0D．f(x1)>0，f(x2)>0A．f(x1)<0，f(x2)<0C．f(x1)>0，f(x2)<0解析：选B∵函数f(x)＝log2x＋当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，3．(文)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：选B∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0.∴函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－<0.∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．3．(理)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]解析：选D∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，∴a≤1.又∵函数g(x)＝在区间[1,2]上也是减函数，在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()∴a>0.∴a的取值范围是(0,1]．4．(2013·潍坊模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bC．a>c>bB．c>b>aD．b>a>c解析：选D根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．a＝f＝f，所以b>a>c.5．(文)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.C.B.D.解析：选D函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－∵e>1，2＋的减区间为，∴函数f(x)的单调减区间为.5．(理)若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A.B.C．(0，＋∞)D.解析：选D令g(x)＝2x2＋x>0，得x>0或x<－，所以函数f(x)的定义域为∪(0，＋∞)．易知函数g(x)在上单调递增，所以在上，0<g(x)<1.又因为f(x)>0恒成立，故0<a<1，故函数y＝logax在其定义域上为减函数．而g(x)＝2x2＋x在上是单调递减的，所以f(x)的单调递增区间为.6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有()A．最小值f(a)C．最小值f(b)B．最大值f(b)D．最大值f解析：选C∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．设x1<x2，则x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)>0.∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[a，b]有最小值f(b)．二、填空题7．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：38．(2013·东城模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．答案：②③④9．(文)已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是；(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)(2)(－∞，0)∪(1,3]9．(理)已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．答案：①③④三、解答题10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝上的值域是，求a的值．－＝－＝∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f(x)在，又f(x)在>0，上的值域是上单调递增，∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.11．(文)设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．解：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝1.又f(x)是[－1,1]上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)≤f(1)＝1.又函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0.设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，则⇔t≥2或t＝0或t≤－2.即所求t的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．11．(理)已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.解：(1)证明：任取x1，x2∈R,且x1<x2，∵f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，又x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，∴f(2)＝3.而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)<f(2)．又f(x)在R上是单调递增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<.故原不等式的解集为.12．(文)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解