全同粒子体系

全同粒子本讲介绍多粒子体系的■子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函敷；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。1.全同粒子的基本概念1.1全同粒子：静质■、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、质子，中子等。在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在■子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函敷弥散于整个空间，即处于同一区域各粒子波函敷■迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进行测■时，关心的是在空间财附近粒子出现的微率(或敷目)，而这个概率(或敷目)究竟■于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。1.2全同性原9：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后林会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物9效应，该论断称为.子力学中的全同性原9。这是■子力学基本原理之一。L3哈密顿算符H的交换对雌TOC\o"1-5"\h\z考虑N个全同粒子组成的体系，q表示第i个粒子的空间坐标〒与自旋变量S,u(q,t)iiii表示第1个粒子在外场中的能量，W(qt,qj)表示第i^j粒子的相互作用能■，则体系的哈密顿算符H写为H(q,q,…q—q…q,t)='[-竺V2+u(q,t)]+'w(q,q)(1)12ijN2riiijii<j任何两个粒子(如第"与第j个)相互交岫H显然是不变的，记为4PH(q，q，…q…q…q，t)ij12ijNAz八=H(q,q，…q•••q•••q,t)12jiNAz八=H(q,q，—q—q—q,t)(2)12ijNP称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又ij可记为(3)sP鲁HS8富ffiN^£l^B7d»laB»Hse(g点)(4)SKSm^puedlreSSSSIX&・剖■?&«丑露博瑚—・雷3置§画早»着»93|»畀：a(5)P2eHap:eHA2eHeffliKH-・3Isiss""ztl(7)(2)SS3HA眯AY1IS•建peHe・sss^ssass・@3sl»£smMHFffi堂A。富、、swis、ssI?»ISSKS£HS3SI^ssi^s«HS»saDgT941pE3画亲蓉。1.5si・KBSSS3HA・ssmssffisiASnD*尊EnRiis奇(EPP:^SSSS5S、3SS&Ss±s»ss.1:0)、&s(£)、KasHAsgr带(snlr・ssS^SSMSSS^^^^^:^.ssssss、»sMe^Ka言WJengm笋1、员gnw丑79・s&2・imls-丑MM果(Fnrmi)xfmu7T

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j1j2由上式可以看出，当i=j时，则中广0，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态2.2N个全同粒子体系的波函设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量H不显含时间，以8和p表示H的第i0ii0个本征值和本征函数，则N个全同粒子体系的哈密顿■为H=H(q)+H(q)+……+H(q)=^H(q)01020N0ii=1对成本征值■E=8.+8.+…+8n的本征态①(q，q，…q)=p(q)p(q)•••?(q)

12Ni1j2kN体系的本征方程为H①-E①由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。但中(q「qN)并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。(1)对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用Zp来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为N!，所P以玻色子系统的对称波函数是1中(q,q,…q)=^=Z

s12NV'N!但若单粒子态的个数小于粒子P粒子处于k态，且n+n+..•+n=N有可能排列的总项数等于下列组苔(16)(17)(18)PPi(1)甲j(2)…%(N)(19)，譬如有〃个粒子处于1态，n个粒子处于)态，n个12l则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所CnCn2•,CnlNN—nN—nnN!|(N-n>n!(N—n)!n!(N—n—n)!11212N!N!n!n!…n!nn!12lll所以N个玻色子体系的对称波函数为(N—nn)!n!(N—nn—n)!l1l—1l①=i^t^ZpP(q).p(q』P(q)...?(q)L.p(q)]SVN!i1iqjq+1j气+弓kN,p1112这里的P只对处于不同状态的粒子进行对换。(19')例一求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。解：设三个单粒子态分别为平,平,平,(1)若三个粒子各处于不商状态3N'.=3!=6(共6项)，则TOC\o"1-5"\h\z中=2[甲(q帅(q帅(q)+甲(q帅(q帅(q)+甲(q帅(q帅(q)S.-'6112233122331132132+甲(q帅(q帅(q)+甲(q帅(q帅(q)+甲(q帅(q帅(q)]

112332122133132231(2)三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如〃广2,n2=1,n3=0则3!/2!・1!=3(共3项)，有3中=2屈(q加(q加(q)+中(q加(q加(q)+中(q加(q加(q)]S(3111223111322131221也可以是n1=2,七=0,七=1或n1=0,n2=2,n3=1等，这样的对称波函数共有六个。(3)三粒子都处于相同的单粒子态，如n1=3,n2=0,七=0，则中=甲(q如(q如(q)也可以是n1=0,n2=3,n3=0或n1=0,n2=0,n3=3这样的对称波函数共有三个。(2)对于N个费米子:若它们分别处于i,j,…k态，则反对称的波函数为vN!中叫)9j(q1)中k(q1)9.(q2)…g(qN)9vN!中叫)9j(q1)中k(q1)9.(q2)…g(qN)9(q2)…9(qN)

:::9(q)…9(q)

k2kN(20)<N!i1j2kk式中(-1)p规定了求和号下每"项的符号，若®9(q)9(q)…甲(q)作为®本排列(第一i1j2kN项)，则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换(-1)P为正，奇次对换(-1)P为负。在冲项中，奇偶次对换各占一半。注意：a如果N个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如i=j,则行列式两行相同，而值为零。这表明不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容皿b任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表示是交换反对称。C对于N佰融立的全同粒子，由于粒子间的相互作用，使体系的哈密顿■及波函都不能写成(16)(17)式的形式,但片中=e①仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求依然存在，体系的对称及反对称波函数可由中的线性组合得出。3氦原子

多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论氦原子(两个电子)。通过此例，即反映角动■耦合的规律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的应用。氦的原子核带电+2e，不考虑核的运动，即视为两个全同粒子的体系。以r,s和r,sTOC\o"1-5"\h\z1122分别表示两个电子的坐标和自旋，系统的哈密顿■为a力2—力2—2e22e2e2H=—V2-V2-―一+f(21)2日2日^1^2^12等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，H中不含自旋变■，即粒子的轨道和自Q(r，r，S，S)=W(r，r)X(S，SQ(r，r，S，S)=W(r，r)X(S，S)121z2z121z2z(22)-1>-1>,现在的问题是(1)从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有|1,1>和己，222j=s=1,j=s=1，故耦合后的总角动.112222j+j=s+s=1+1=1,m=1,0,-1121222——111-1=s-s=—一一j+j=s+s=1+1=1,m=1,0,-1121222——111-1=s-s=—一一=0,m=0121222可见，对应j=1的耦合态矢有三个：I111111—,—,1,1>,|—,—,1,0>,|—,—,1,—1>222222对应j=0的耦合态矢有一个：|1,1,0,0>22大家可以参照角动■一讲由(14)式写出以上四态对成单粒子态乘积的展开式。(2)从全同粒子波函数的要求出发,由于单粒子态只有X”,X2，忽略二个电子自旋之间相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数曲不：/21111\1222L;，，X2=X1/2(S1Z)X-1/2(S2Z)=-X=X(S)X(S)=11/21z1/22z11112222，X4=X-1/2X3=X-1/2(SQX1/2(S2「=(23)(24)1z—1/22z11_1\22—2/1111-———2222用它们构成的两电子自旋函数分别为(1)S(2)1S亏(1)S(2)1S亏[1/2(S1z(S)(S)1/21z1/22z(S)(S)1/21z1/22z(S)(S)1/22z1/22z(S)(S)1/22z1/22z1/2(S1z)]1/2(S1z)](25)现在证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方S2与其在z轴上的投影SZ的共同本征函数，因zS2(SS)2S2S22SS121212322(SSSSSS)(26)21x2x1y2y1z2zSzS1zS2z(27)由电子自旋一讲中例一可知S(s)-(s)S(s)-(s)x1z21zx1z21z2222S(S)手(S)S(S)L(S)y1z21zy1z21z2222以上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以2(1)SS2(1)3s21/2(S1z)S2x1/2(S22[S1xS1y321/2(S12(1)S)S2y2141/2S(1)

zSS1121/2(S1z)1(1)—s2(S2z)S1(1)S1/2(S1(1)S)S21/2^](28)1/2(S2(1)S(1)S即（1）是S2Sms1）。其它同理可得，将结果列表如下S的共同本征函数，Z1/2(S1z)S2z1/2(S2(29)相应的本征值为22和（相应的量子数为s1,ffi3d两个电予的自旋姐会的四神订能恣3.2氦原子的轨道运动采用微抗法，将两电子间的库仑作用视为微抗，即厂，微r12e2s^X.r—r则H=H0+H其中/力2—

=(——V2—2pi(1)坐标波函数的零级近似2e2—)+((30)旧V2—竺)(31)2R2r2(mm)(FL).00H0Q8、Nam)!£■>HHr•oaI、N」C4

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