2023高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列课时达标检测（五十六）随机事件的概率理

PAGEPAGEPAGE6课时达标检测(五十六)随机事件的概率[练根底小题——强化运算能力]1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球〞与“都是黑球〞B．“至少有一个黑球〞与“都是红球〞C．“至少有一个黑球〞与“至少有一个红球〞D．“恰有一个黑球〞与“恰有两个黑球〞解析：选DA中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球〞的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，那么以下说法正确的选项是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：选D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如下图的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，那么以下说法正确的选项是()A．甲获胜的概率是eq\f(1,6) B．甲不输的概率是eq\f(1,2)C．乙输了的概率是eq\f(2,3) D．乙不输的概率是eq\f(1,2)解析：选A“甲获胜〞是“和棋或乙获胜〞的对立事件，所以“甲获胜〞的概率是P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正确；“乙输了〞等于“甲获胜〞，其概率为eq\f(1,6)，故C不正确；设事件A为“甲不输〞，那么A是“甲胜〞、“和棋〞这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)或设事件A为“甲不输〞，那么A是“乙获胜〞的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B不正确；同理，“乙不输〞的概率为eq\f(5,6)，故D不正确．4．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，那么该城市2022年空气质量到达良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量到达良或优的概率为P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)5．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，假设红球有21个，那么黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，那么eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：15[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，那么抽检一个产品是正品(甲级)的概率为()A．0.95B．0.97C解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542那么样本数据落在区间[10,40)的频率为()A．0.35B．0.45C解析：选B数据落在[10,40)的概率为eq\f(2＋3＋4,20)＝eq\f(9,20)＝0.45，应选B.3．我国古代数学名著?数书九章?有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石 D．1365石解析：选B这批米内夹谷约为eq\f(28,254)×1534≈169石，应选B.4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5cm～170.5cm之间的概率约为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)解析：选A从数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5cm～170.5cm之间的学生有8人，频率为eq\f(2,5)，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5cm～170.5cm之间的概率约为eq\f(2,5).5．假设随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，那么实数aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析：选D由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).6．做掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现〞，事件B表示“小于5的点数出现〞，那么一次试验中，事件A＋eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)解析：选C由于根本领件总数为6，故P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，从而P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，又A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，故P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).应选C.二、填空题7．某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，那么这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.答案：0.970.038．2022年6月，一篇关于“键盘侠〞的时评引发了大家对“键盘侠〞的热议(“键盘侠〞一词描述了局部网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠〞的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，假设该地区有9600人，那么可估计该地区对“键盘侠〞持反对态度的有________人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，那么可估计该地区对“键盘侠〞持反对态度的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．答案：69129．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是________．解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)10．假设A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq\f(4,x)，P(B)＝eq\f(1,y)，那么x＋y的最小值为________．解析：由题意，x>0，y>0，eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝1.那么x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.答案：9三、解答题11．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时〞)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq\f(3,10).12.某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近〞作物株数为1的作物有2株，“相近〞作物株数为2的作物有4株，“相近〞作物株数为3的