2023高考数学异构异模复习第十五章几何证明选讲15.2圆的初步撬题文

PAGEPAGE72022高考数学异构异模复习考案第十五章几何证明选讲15.2圆的初步撬题文1．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.假设CM＝2，MD＝4，CN＝3，那么线段NE的长为()A.eq\f(8,3) B．3C.eq\f(10,3) D．eq\f(5,2)答案A解析由题意可得CM·MD＝AM·MB，那么2×4＝2AM2，AM＝2.因为M、N是弦AB的三等分点，所以AM＝NB，BN＝MB，又CN·NE＝AN·NB，即3NE＝4×2，解得NE＝eq\f(8,3).2．如下图，AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，那么OD＝________.答案8解析由题意得OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，OA＝2，于是PA＝CP＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(15),2).因为∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故eq\f(PD,PA)＝eq\f(PC,PO)，即PD＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(15,2)，所以OD＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)＝8.3．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，假设PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，那么BE＝________.答案2解析由切割线定理得PA2＝PC·PD，得PD＝eq\f(PA2,PC)＝eq\f(62,3)＝12，∴CD＝PD－PC＝12－3＝9，即CE＋ED＝9，∵CE∶ED＝2∶1，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，即9EB＝6×3，得EB＝2.4．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，假设AC＝2AE，那么EF＝________.答案3解析∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴∠C＋∠BEF＝180°，∴∠C＝∠AEF，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，∴EF＝3.5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)假设D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)假设OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．解(1)证明：连接AE，由得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，那么∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由得AB＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(12－x2).由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝eq\r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0.可得x＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°.6.如下图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如下图．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)假设AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直径．解(1)证明：因为DE为⊙O的直径，那么∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，那么eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，从而AB＝3eq\r(2).所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，那么由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．9.如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而eq\o\ac(BE,\s\up17(︵))＝eq\o\ac(EC,\s\up17(︵))＝.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB，由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.10.如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)假设AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA＝∠EGA.∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由AF⊥EP，得∠PFA＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC