2023版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线教师用书文北师大版

PAGEPAGE192022版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线教师用书文北师大版1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(eq\f(a,4)，0)，准线方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(eq\f(p,2)，0)的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(√)1．(2022·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2) B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)答案D解析∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．2．(2022·济宁质检)抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，那么x0等于()A．1B．2C．4D．8答案A解析由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋eq\f(1,4)，∵|AF|＝eq\f(5,4)x0，∴x0＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)x0，∴x0＝1.3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.4．(教材改编)抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，那么该抛物线的标准方程为________________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2022·合肥月考)抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，那么p的值为________．答案2解析抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq\f(p,2)，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，那么圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋eq\f(p,2)＝4，解得p＝2.题型一抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，假设B(3,2)，那么|PB|＋|PF|的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．假设将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5)，即|PB|＋|PF|的最小值为2eq\r(5).2．假设将本例中的条件改为：抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值为3eq\r(2)－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线〞，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2022·西安市铁一中学模拟)点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，那么d1＋d2的最小值是()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．6eq\r(2)D．3答案C解析∵抛物线方程是y2＝－8x，∴抛物线的焦点为F(－2,0)，准线方程是x＝2(如图)，∴d1＋d2的最小值是焦点F到直线x＋y－10＝0的距离，即(d1＋d2)min＝eq\f(|－2＋0－10|,\r(1＋1))＝6eq\r(2).题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.假设抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，那么抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y答案D解析∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为2，∴eq\f(c,a)＝2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b2,a2)＝3，eq\f(b,a)＝eq\r(3).x2＝2py(p>0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.由题意得eq\f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.命题点2抛物线的几何性质例3抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．证明(1)由得抛物线焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)．由题意可设直线方程为x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)那么y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).因为x1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq\f(2,p)(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，那么|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2022·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8(2)假设抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，假设O为坐标原点，那么S△OPQ＝________.答案(1)B(2)eq\f(3,2)eq\r(2)解析(1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，那么圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0,2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，点A(x0,2eq\r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0,2eq\r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2，②点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，应选B.(2)如下图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，由图知点P的纵坐标y＝2eq\r(2)，∴P(2,2eq\r(2))，∴直线PF的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)．方法一联立直线与抛物线的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由图知Q(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，∴S△OPQ＝eq\f(1,2)|OF|·|yP－yQ|＝eq\f(1,2)×1×|2eq\r(2)＋eq\r(2)|＝eq\f(3,2)eq\r(2).方法二将y＝2eq\r(2)(x－1)代入y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝eq\f(9,2)，O到PQ的距离d＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△OPQ＝eq\f(1,2)×|PQ|×d＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3,2)eq\r(2).题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．假设eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，那么k＝________.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，那么直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．那么x1＋x2＝4＋eq\f(8,k2)，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq\f(8,k)，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因为eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2022·全国丙卷)抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)假设F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)假设△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．(1)证明由题意知，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，设l1：y＝a，l2：y＝b，那么ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)，a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,2)，b))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(a＋b,2))).记过A，B两点的直线为l，那么l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，那么k1＝eq\f(a－b,1＋a2)＝eq\f(a－b,a2－ab)＝eq\f(1,a)＝－eq\f(ab,a)＝－b＝eq\f(b－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，那么S△ABF＝eq\f(1,2)|b－a||FD|＝eq\f(1,2)|b－a|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq\f(|a－b|,2).由题意可得|b－a|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))＝eq\f(|a－b|,2)，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得eq\f(2,a＋b)＝eq\f(y,x－1)(x≠1)．而eq\f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．假设过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求〞、“整体代入〞等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法〞求解．(2022·天津模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)假设点F到直线l的距离为eq\r(3)，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，假设线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．(1)解由，得x＝4不合题意，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为eq\r(3)，所以eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，所以直线l的斜率为±eq\f(\r(2),2).(2)证明设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，那么直线MN的斜率为eq\f(y0,x0－4)，直线AB的斜率为eq\f(4－x0,y0)，直线AB的方程为y－y0＝eq\f(4－x0,y0)(x－x0)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y0＝\f(4－x0,y0)x－x0，,y2＝4x，))消去x得(1－eq\f(x0,4))y2－y0y＋yeq\o\al(2,0)＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4y0,4－x0)，因为N是AB中点，所以eq\f(y1＋y2,2)＝y0，即eq\f(2y0,4－x0)＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.6．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(12分)抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)假设抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．思维点拨(3)中证明eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝0.标准解答解(1)∵抛物线C：x2＝eq\f(1,m)y，∴它的焦点F(0，eq\f(1,4m))．[2分](2)∵|RF|＝yR＋eq\f(1,4m)，∴2＋eq\f(1,4m)＝3，得m＝eq\f(1,4).[4分](3)存在，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx2，,2x－y＋2＝0，))消去y得mx2－2x－2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－eq\f(1,2).[6分]设A(x1，mxeq\o\al(2,1))，B(x2，mxeq\o\al(2,2))，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2,m)，,x1·x2＝－\f(2,m).))(*)∵P是线段AB的中点，∴P(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(mx\o\al(2,1)＋mx\o\al(2,2),2))，即P(eq\f(1,m)，yP)，∴Q(eq\f(1,m)，eq\f(1,m))．[8分]得eq\o(QA,\s\up6(→))＝(x1－eq\f(1,m)，mxeq\o\al(2,1)－eq\f(1,m))，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(x2－eq\f(1,m)，mxeq\o\al(2,2)－eq\f(1,m))，假设存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，那么eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝0，即(x1－eq\f(1,m))·(x2－eq\f(1,m))＋(mxeq\o\al(2,1)－eq\f(1,m))(mxeq\o\al(2,2)－eq\f(1,m))＝0，[10分]结合(*)化简得－eq\f(4,m2)－eq\f(6,m)＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq\f(1,2)，而2∈(－eq\f(1,2)，＋∞)，－eq\f(1,2)∉(－eq\f(1,2)，＋∞)．∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回忆，查看有无忽略特殊情况．1．(2022·太原质检)假设抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，那么a等于()A．1B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,4)答案D解析因为抛物线的标准方程为x2＝eq\f(1,a)y，所以其焦点坐标为(0，eq\f(1,4a))，那么有eq\f(1,4a)＝1，a＝eq\f(1,4)，应选D.2．抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案B解析∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝2p，∴eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.3．(2022·绵阳模拟)直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()A.eq\f(37,16)B.eq\f(11,5)C．3D．2答案D解析直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，那么点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，应选D.4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2答案A解析①假设焦点弦AB⊥x轴，那么x1＝x2＝eq\f(p,2)，∴x1x2＝eq\f(p2,4)；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.②假设焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k(x－eq\f(p,2))，联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，那么x1x2＝eq\f(p2,4).∴y1y2＝－p2.故eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.5．(2022·九江一模)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，假设|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，那么λ的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．3答案D解析设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，那么x1＋2＝6，解得x1＝4，那么y1＝4eq\r(2)，那么直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq\r(2))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2\r(2)，))那么B(1，－2eq\r(2))，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，∴λ＝3，应选D.6.(2022·济南模拟)直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，假设|FA|＝2|FB|，那么k的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2,3)答案C解析抛物线C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，从而点B为AP的中点，连接OB，那么|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，从而点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2eq\r(2))，所以k＝eq\f(2\r(2)－0,1－－2)＝eq\f(2\r(2),3)，应选C.7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，那么|AB|＝________.答案12解析焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，方法一直线AB的斜率为eq\f(\r(3),3)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝eq\f(21,2)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(3,sin230°)＝12.8．抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，假设eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，那么p＝________.答案2解析如图，由AB的斜率为eq\r(3)，知∠α＝60°，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P，那么∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，∴|BP|＝eq\f(1,2)|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即eq\f(p,2)＝1，∴p＝2.9．椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，那么|AB|＝________.答案6解析抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2.设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，c＝2，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，可得a＝4，b2＝16－4＝12.故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.从而|AB|＝6.10．(2022·大连模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，假设△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，那么点A的坐标为__________．答案(2，±2eq\r(2))解析如下图，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴eq\f(S△AMF,S△AOF)＝eq\f(\f(1,2)×|AF|×|AM|×sin∠MAF,\f(1,2)×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF)＝3，∴|AF|＝|AM|＝3，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝3，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＝2，y0＝±2eq\r(2)，∴点A的坐标是(2，±2eq\r(2))．11．(2022·沈阳模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0.所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4，那么4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而B(4,4eq\r(2))．设C(x3，y3)，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)假设eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4