（全国新课标）2023年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲概率适考素能特训文

PAGEPAGE6专题七概率与统计第一讲概率适考素能特训文一、选择题1．[2022·山西四校联考]甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，假设每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，那么两人参加同一个小组的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)答案A解析此题考查概率的求解．两人参加3个不同的学习小组，共有9种等可能的结果，其中两人参加同一组的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，应选A.2．[2022·湖北二联]在棱长为2的正方体内部随机取一个点，那么该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)答案D解析此题考查几何概型．正方体内一点到正方体的某个顶点的距离小于1的概率为eq\f(8×\f(1,8)×\f(4,3)π×13,23)＝eq\f(π,6)，那么所求概率为1－eq\f(π,6)，应选D.3．[2022·兰州诊断]从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于30的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析用数字1、2、3中两个不同数字构成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6个，其中大于30的有2个，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，应选B.4．[2022·河北唐山统考]抛郑两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,12)答案B解析抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3,6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，应选B.5．[2022·河南商丘二模]函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，假设a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，那么该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，那么有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的根本领件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b满足a2>b2的有6个根本领件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).6．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数〞(如213,312等)，假设a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，那么这个三位数为“凹数〞的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)答案C解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数〞．当b＝2，有324,423，共2个“凹数〞．∴三位数为“凹数〞的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).7．[2022·山东青岛模拟]如下图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，那么乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,10)C.eq\f(9,10) D.eq\f(1,5)答案D解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为eq\f(1,5)(442＋x)，令eq\f(1,5)(442＋x)≥90，解得x≥8，即x的可能取值为8和9，因此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，应选D.二、填空题8．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．答案eq\f(1,5)解析从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5〞的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).9．[2022·湖南长沙联考]在区间[1,5]和[2,4]上各取一个数，分别记为a，b，那么方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1表示离心率大于eq\r(5)的双曲线的概率为________．答案eq\f(1,8)解析由题意知eq\f(\r(a2＋b2),a)>eq\r(5)，整理得eq\f(b,a)>2，即b>2a.如图：点(a，b)在矩形ABCD的内部(含边界)，满足b>2a的点在△ABM的内部(不含线段AM)，那么所求的概率为eq\f(S△ABM,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)×2×1,2×4)＝eq\f(1,8).三、解答题10．[2022·广西质检]为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班的5名学生视力的方差；(2)现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．解(1)A班5名学生的视力平均数为eq\x\to(x)A＝eq\f(4.3＋5.1＋4.6＋4.1＋4.9,5)＝4.6，B班5名学生的视力平均数为eq\x\to(x)B＝eq\f(5.1＋4.9＋4.0＋4.0＋4.5,5)＝4.5.从数据结果来看，A班学生的视力较好．seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×[(4.3－4.6)2＋(5.1－4.6)2＋0＋(4.1－4.6)2＋(4.9－4.6)2]＝0.136.(2)从B班的上述5名学生中随机选取2名，那么这2名学生视力检测结果有：(5.1,4.9)，(5.1,4.0)，(5.1,4.0)，(5.1,4.5)，(4.9,4.0)，(4.9,4.0)，(4.9,4.5)，(4.0,4.0)，(4.0,4.5)，(4.0,4.5)，共10个根本领件．其中这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的根本领件有7个，那么所求概率P＝eq\f(7,10).11．[2022·昆明七校调研]某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出假设干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：组号第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组第八组合计分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[(110,120)[120,130)[130,140)[140,150)频数64222018a105c频率0.060.040.220.20b0.150.100.051(1)确定表中a，b，c的值；(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估计该校本次考试的数学平均分．解(1)因为频率和为1，所以b＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以c＝100，a＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，每个被抽取的概率均为eq\f(1,5)，第七组被抽取的样本数为eq\f(1,5)×10＝2，将第六组、第八组抽取的样本分别用A，B，C，D表示，第七组抽出的样本用E，F表示．抽取2个的方法有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15种．其中至少含E或F的取法有9种，那么所求概率为eq\f(3,5).(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.12．[2022·唐山统考]汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6L的称为大排量，否那么称为小排量．加油时，有92号与95号两种汽油可供选择．某汽车网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：汽车排量加油类型小排量大排量92号1609695号2024附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋b＋c＋d＋a＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d(1)根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？(2)从调查的大排量汽车中按“加油类型〞用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个整体，从中任意抽取3辆汽车，求这3辆汽车都是“加92号汽油〞的概率．解(1)∵K2＝eq\f(300×160×24－96×202,180×120×256×44)≈4.545>3.841，∴有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关．(2)由题意可知，抽出的5辆汽车中加92号汽油的有4辆，分别记为A1，A2，A3，A4；加95号汽油的有1辆，记为B.从已经抽出