校本课程-生活中地数学

wordwordPAGEPAGE1/90《生活中的数学》校本课程序 言所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。学生的潜能在自学自育中得到充分开发。目 录第一课：让数学帮你理财第二课：导航的双曲线第四课：赌马中的数学问题第六课：对数螺线与蜘蛛网第七课：斐波那契数列第八课：分数维的ft第九课：蜂房中的数学第十课：龟背上的学问第十一课：Music第十二课：e第十三课：几何就在你的身边第十四课：巧用数学看现实第十六课：煤商怎样进煤利润高第十八课：顺水推舟，克“敌〞致胜——例谈反证法的应用第十九课：抽屉原理和六人集会问题第二十课：数独游戏与数学第二十一课：集合与生活第二十二课：生活中的立体几何第二十三课：排列组合处理问题第二十四课：算法妙用第二十五课：世界数学难题欣赏——四色猜测第二十六课：世界数学难题欣赏——哥尼斯堡七桥问题第二十七课：世界数学难题欣赏——费马大定理第二十八课：世界数学难题欣赏——哥德巴赫猜测第一课：让数学帮你理财储蓄计划优惠年息一览表每月存款〔港币〕＄1，000储蓄计划优惠年息一览表每月存款〔港币〕＄1，000存期〔月〕每年复息利率到期存款〔港币〕利息〔港币〕96.625%9,0002529,252127.125%12,00047312,473157.375%15,00075915,759187.75%18,0001,14619,146248.00%24,0002,10626,106word或迟懂得储蓄计划背后的数学原理。为每月存款的金额，而 如此为月息利率。月息利率是由“每年复息利率〞除以12而来的譬如说存款期限为9个月从表中得知每年复息利率是因此月息利率为6.625%÷12，即约是0.5521%。123余此类推，存款个月后，到期本息金额 应为：为了简化这数式，设 。4/90word因此，括号内的数式在数学上称为等比数列：首项是x，公比是x。利用公式，我们便可把 的数式写成：。现在就让我们运用这公式找出表中第一行的“到期本息金额〞：，代入数式 ，〔准确至最接近的整数〕有错误吧。第二课：导航的双曲线5/90word它是大海的导航员。喇叭，并且放着欢快的音乐：的京ft上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖……觉上的时间差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了。因此可以找到很多这样的点。这些点就构成了双曲线的一支。我们，你明白了吗?船长们就是这样来导航的。6/90wordword第三课：电冰箱温控器的调节浪费了自然资源和财力。电冰箱温控器的正确使用方法，即如何使电冰箱的使用寿命更长。问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低7/7/90wordwordPAGEPAGE10/90在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。X断的吸热和放热。当冰箱内冷汽散失时，食品吸热；当电冰箱制冷吸热时，食品可知食品量与停机时间成反比。其中Q为食100.5)，即压缩机的使用寿命更长，就可以使电冰箱的使用寿命更长。同时，电冰箱的耗电量也降低了。这样，一台电冰箱在使用过程中既省电，又可以延长使用寿命，当然十分经济。通过电冰箱生产厂家的咨询，专业16182016181818——BCD20818据的准确性。yx。如此自变量xX0，5ｙ100yxyf(x)ax2bxc。我们在后面附有实验数据列表x4.5A、B、C、D、E，如此将五组数据分组为：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。每组可分别解出一个函数，但都有一定误差。其wordE的组误差都十分大，且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度升高散热变慢，导致电冰箱工作异常。这种可能性十分大，E舍去，只计算前四组，又可ABDACDBCD。以这四组数据分别解出一个函数，这四组函A存在误差的那一分组。因为，温控器BCDADBCDA-0.36),最后解得的y=f(x)。由数据组BCD解函数：x=2.574y=2.574的位置。2323度11/90word“3“4〞档之间和“中〞略偏“弱〞。第四课：赌马中的数学问题我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。为，如此另一匹马胜出的实际概率为。那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？12/90word1.650.651.6511元，并设在第一匹马上押注元，如此在第二匹马上押注。至马匹 第一匹 第二匹胜出的实际概率庄家设定赔率〔元〕押注〔元〕如果第一匹马赢，参赌者可得到 元，再减去付出的1元，参赌者的收益为 元；同理，如果第二匹马赢，参赌者收益为 元。考虑到两匹马胜出的实际概率分别为和 ，参赌者的期望收益为，其中。另外，假设参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期望收益为 假设参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时，期望收益为 。自然，参赌者希望收益要求：

，这样，他们才能以一个正的概率赢利。所以。13/90word1〕当 ，且 ，即当 且时，不论取何值，恒大于0，且当趋向1时，趋向于极大值。实际上，当 ，即参赌者把钱全押注于第一匹马上时，有收益，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马上。2〕当 且 ，即当 且时，收益随着的变大而变小，且当趋于0时，趋于极大值。实际上，当 ，即参赌者把钱全押注于第二匹马上时，有收益。所以参赌者应当把钱全押在第二匹马上。3〕当 ， 时，为使 ，应满足：又∵ 即 即当 ，且1

时，参赌者按趋于极大值

分配赌注可期望赢利。且当趋向于。同1〕情况可知，这时，参赌者应把钱全押注于第一匹马上，有收益 。4〕当 ，且 时。入其中是不理智的行为。14/90word15，如此我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小于。第五课：对称——自然美的根底72°，60°。“对称〞在生物学15/90word但又万变不离其宗〔六角星〕。既是中心对称，又是轴对称。排列是叶序的另一种表现形式。其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第六课：对数螺线与蜘蛛网曾看过这样一如此谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。〞动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网而且，结网是它的本能，并不需要学习。16/90word你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是3221从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心局部的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点17/90word的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把第七课：斐波那契数列斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。〔1〕细察如下各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。〔2〕细察以下花的类似花瓣局部，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合3 百合和蝴蝶花5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8 翠雀花13 金盏草21 紫宛34，55，84 雏菊18/90word〔3〕斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树0，意即叶子的排列〕比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。19/90word〔4〕斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？〔5〕菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它外表上六角形鳞片所形成的螺旋线数。20/90word斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交织地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论〔尤其在自然现象中〕在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。第八课：分数维的ft峰与植物J．R．R．Tolkien的三部曲“LordoftheRings〞所改编的电影。Frodoft在这球体的中央出现了一个堡垒，火焰正从它的城垛里窜出来。Frodoft峰、树木、水晶球以与火焰都会奇妙地出现在银幕上。这个成就主要将归功于PixarLucasfilm生它们的根本原理。Frodoftft21/90wordwordPAGEPAGE22/90如此下去就形成了一种小ft怪站在这样一个犬牙般的地方也会感到难受。ft为什么这一种方法会作出那样逼真的ft峰图案呢?答案在于这个过程中产l000l000ll厘米长的测量杆结果就会更为准确。3/21。2，此时它几乎填满一个二维平面。ft的特征就与上述分割ftMandelbrotMOUNTAIN。该程序表现了沿垂直轴随机移动中点这一根本早想。开始时MOUNTAINpointslines屏幕上的ft2048linespoints1linesyjkpointslinesptslnsjpts，klnsi1wordMOUNTAINjjik个点。第ikbptslnsjkrange2，random(range)用于表0rangeFrodoft峰是令人难忘的，那么，他周围的村木和植物就参数可以任他使用，因此他禁不住要创造一些新的植物种类。(graftal)的根底上形成的，且有内在的的分数维性质。这里所谓的“内在分数维性质〞，指的是用于生成植物图案的根本拓扑特征的规规如此可以(但实际上没有)应用24/90word释植物的图形，从而把它变换成无数的令人信服的植物种类。LAristidLindenmeyer1968L010一个地得到如下的字符串：25/90wordwordPAGEPAGE26/9001[0]1 [0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l [0]0把每个数字(01)样的字符串变换成树一样的图形。0111[0]1[0]0110011对这个模型可以加上另外一些解释性的规如此；例如，对于任何给定的茎(不管它是否主茎)，都可以使枝条轮流地从左右两侧长出。PLANTnStringAstringB0，l，23LStringAi10stringBstringA(i)＝0，stringB(j)←1stringB(j+1)←2stringB(j+2)←0stringB(j+3)←3stringB(j+4)←1stringB(j+5)←2stringB(j+6)←0stringB(j+7)←3stringB(j+8)←0j←j+90123stringA0，那么，程序把序列Bj(stringBPLANTjPLANT会询问用户是否希望另一个更长的字符串。PIANT2)45°)上绘出后面的线段。当对应的右括号出现后，45°。其他的工作都是自动进展的。PIANTn2n200200／2nword景就会出现了(当然不是很逼真的)。Pixar2448Pixar40004．8亿个字节。Pixar领域中。也许还会用来制作我在本文开头所描述的假想电影。第九课：蜂房中的数学蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还出色的建筑师。它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术,说它是:天才的工程师。法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房17120。25703210928/90word4师开始模仿蜂房的结构,并把它们应用到建筑的实践中去。传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一个数字方阵。X229/90word15，两条对角线上的X1—93×315，这一点只要把这“拉丁方〞中所有数加起来便可证明，123456789＝45，45／3＝150组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。57工作呢?由于每个人的文化水平、兴趣爱好与性别等原因，每个人只能从七项工X30/90word第十一课：Music与数学1 TW

2L P ，这里，P料的线密度；TXX；L；W秒一次即赫兹为单位。谐。16072×260774×2607260、7，2×260、7，22×260、7……我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。由于我们讨论的是音的比拟，可暂时不管音的绝对高度〔频率〕，因此又31/90word可将音乐简写为：C C C C01 2 3 …2 2 2 2 …0 1 2 3 …需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且CCC32MM第十二课：e和银行业5在今天的银行业里，是对银行家最有帮助的一个数。人们可能会问，像32/90word这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢？要知道后者是专门跟“元〞和“分〞打交道的!假设没有的发现，银行家要计算今天的利息就要花费极其大量的时间，无论是逐日逐日地算复利，还是持续地算复利都无法防止。有幸的是，的出现助了一臂之力。的定义是作为数列 的极限。我们通常写为 。在利息计算中怎样借助于这个公式呢？实际的计算公式是：本利和，。这里 本金， 年利率， 一年之内计算利息的次数， 存钱的年数。1100％一年的本利和可达美元。开头可能会有人以为总计会是一个天文数字，但看了下面的估计后就会知道它接近于的值。1100％，会超过2.72美元。事实上的小数点后头22位数是＝2.7182818284590452353602。33/90word下一个问题是怎样对 进展工作。最好先通过尝试来确定看。比如说我们从1000美元开始以年利8％存入银行让我们看看当按一年期计算然后按每半年期计算，再按每三个月期计算复利时会出现什么。如果逐日计算复利，可用公式 。这个公式如果用手算如此要花好多时间但今天用电子计算器和专门的计算机顷刻间便能得出果。第十三课：几何就在你的身边懂；有的知识如此似乎很“玄〞，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。的呢?因为“圆〞形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：34/90word科所要研究的。当你把一X长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗?图1 图2 图3就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。2“·线，看看这样把正方形分成的两局部也一样吗?三角形的，有的是长方形或正方形的。其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3。360180度°又有着严密的联系。635/90word到它！第十四课：巧用数学看现实这样的目的呢？在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：10000110002100105200168此呢？在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。所以我们认为这个问题应该有几种答案。213〔12＋10＋200=213顾客。1400010000＋2000＋1000＋1000=140001400028000014000÷5％=280000所以由此可得：〔l〕当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。〔2〕当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠如此小于1400036/90word元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元，优惠较大。〔3280000140007论，这样，问题便可迎刃而解了。系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客〞。分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地适应社会的开展和需要。第十五课：商品调价中的数学问题10％10％，所得的价格与原先的价格相比有10010％100＋10=11010％110-11=99某商品拟作两次调价，设p＞q＞0，有如下六种方案供选择：p%，q%；qp%；选涨价%，再降价 %;37/90word选涨价 %，再降价 %;选涨价 %，再降价 %;选涨价 %，再降价 %;一个是好方案？分析 设某商品原价为1，采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、调价后的商品价格分别为a,b,c,d,e,f，如此38/90word所以，方案〔A〕是好方案。39/90wordwordPAGEPAGE40/90第十六课：煤商怎样进煤利润高日常生活中，有许多事情可采取多种方法来完成．哪种方法最好呢？比如：哪种方法最省时，或者最省钱等．如果开办加工厂，加工某种东西，又怎样获得利润最高？这都需要精打细算．比如开办一个煤厂吧！也就是把煤沫加工成蜂窝煤，它需要以下几个步骤：1.购置煤沫；2．掺好煤土；3．加工成品；4．销售．置哪种煤沫利润更高，但还要注意成品的销售情况。10540％，8％，8810101040％148％1.1215.1288××15.12=1330.56105，10105018720.60.67215.121050＋72＋0．672=1122．671330.56-1122.672=207.88813.7｛88×「10＋10×40％1〔10X40％〕×8％]－〔105X10＋18X4＋0.6XI.12)}÷15.12≈13．7元．8520%的土和8%881020％128％0.9612.9688×12.96=1140.48851085018360.60.57612.96850+36+0。576=886.5761140.48-886.576=253.90417.2表示为：{88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-〔85×IO+18×2+0.6×0.96〕}÷12.96≈17．2元．2：1．掺上占煤的百分之多少呢？掺水又占煤土的百分之多少呢？让我们来计算一下．A2AA2A402A2A×40％=80％A0.8A8％2A0.8A2a+0.8A×8％=22.4％A吨，也就是0.224A吨．2AA20％，AA×20％=20％A0.2A8％，所以〔A＋20％A水〔A+20％A)×8％=9.6％A0.096A我们现在可以算出好、次两种煤共应掺黄土(0.8A+0.2A)=A吨，占3A吨word煤的，再来算一下水占煤土的百分之几，分之比8％．

这种掺法，水和煤土的百10工成煤后，它的利润又是多少．方法与求好次煤利润的方法一样．10应是10×吨的次煤和10× 吨的好煤混合成的，混合煤掺上它的的土共是吨，再掺上煤土8％的水 吨，共是14.4吨，加工后可卖88×14.4=1267.7元，再算一下它的本钱是 吨好煤共700元，次煤共 元，吨黄土共60元，吨水共 元，这14.4吨煤的本钱是 元，利润为 元，平均吨煤获利润15.5元，这段话用式子表示为：通过计算，我们很明显的可以看出，进购次煤利润会更高，但是还要注意一下润是不行的，还要看一看哪种煤卖得快、卖得多。42/90wordwordPAGEPAGE43/90我们分析一下三种煤的销售情况，好煤沫加工成的煤，煤质好，大家都愿意买这种煤，混合煤沫加工后的煤，因为好煤沫多一些，煤质就不如那两种煤了，火苗又小烧得时间又短，大家都不愿意买这种煤，如果厂家大量加工第三种煤，就卖不出去了。而另外两种煤，混合煤的利润高一些，且也很受大家欢迎，所以煤厂就大批加工这种煤。第十七课:把握或然，你会更聪明车与羊三扇门概率问题：32有一辆车。戏者不知道。游戏目的：游戏者选择到车。分析：游戏过程：1、游戏者随机选定一扇门；2下，主持人打开另一扇有羊的门。32上次选择的机会。问题是：游戏者是否应该改变上次的选择，以使选到车的概率较大？答案：不改变选择，得到车的概率是1/3。2/3解释：1、假设想不改变选择选到车：第一步：概率问题：1/3第二步：必然问题：关门也好敲门也好摔门也好——都与游戏者最初做出的选择无关。最终：概率还是1/3。2、假设改变选择选到车：第一步：概率问题：2/3第二步：必然问题：22/3练习与思考题：1.3A、BC，ABCABA2.思考题：路人甲赢的概率XXAXjokerBXB，假设为BAjoker三类概率问题的处理方法：类概率问题的处理方法。1、古典概率模型中的计数问题古典概率模型是指试验中所有可能出现的根本事件为有限个且每个根本事式计算。12X，X13X423X2X333X分析：分类求根本事件的个数：13X4A，如此word〔2〕设抽出的3X卡片中有2X卡片上的数字是3的事件为B，如此〔3〕设其对立事件抽出的3X卡片上有2X的数字一样的事件为C，如此，故所求的概率为2、相互独立事件和对立事件的模型的概率问题ABAB概率时表现为 事件A与事件B对立是指事件A与事件B互斥，且 为必然事件，在计算概率时表现为 。250.5，122310.01概率转化为一些彼此互斥的事件的概率的和，这是由互斥事件概念的作用决定根底，解〔1〕每家煤矿必须整改的概率是 ，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有2家煤矿必须整改的概率是46/90word〔2〕某煤矿被关闭，即两次检查都不合格，被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90。〔320.9，相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是3、几何概率模型的概率问题几何概率模型是指如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例的概率模型。在求几何概率模型的概率问题时，长度、面积或体积的计算是解题的关键。367另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。表示事件发生的阴影局部的面积。xy67点的时间，如此两人能够会面的条件是。在如下列图的平面直线坐标x，y60设“两人能会面〞为事件A，如此A所有可能结果由图中阴影局部表示，47/90wordwordPAGEPAGE52/90从以上几种解法可以看出，解决概率问题的步骤可归纳为三步：第一步,确要的“概率模型〞，并会利用分类与讨论、转化与化归等数学思想。练习与思考题11：1002，如果第一次射击未中，150200求猎人命中野兔的概率。nNn≤N〕,求如下事件的概率〔1〕指定的n个房间各有一个人住〔2〕恰好有n个房间，其中各住一人3：某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2〔15〔20.9几门高炮？4：0.80.85：树上有李求证：李为苦李：树上有李求证：李为苦李事实：树上结满了李子小朋友问：为什么李苦式。第十八课:顺水推舟，克“敌〞致胜——例谈反证法的应用他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧〞的，盾呢，是刀枪不入的。于是，有人马上这种方法实际上就是数学上所说的反证法。的步骤进展比照，大家就明白了。王戎：假设李子不苦 证明：假设李不苦如此早被路人摘光 如此早被路人摘而树上结满李子 与树上有李矛盾所以一定是苦的 所以李为苦李至此，反证法的思路与步骤就一目了然了。矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。下面，我们来归纳反证法证明问题的一般步骤：第二步“从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾〞其中的矛盾，可以是和矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确。第三步由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。我们先来看两个短时间简单的例子：例1．求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角：∠A，∠B，∠CABC求证：∠A，∠B，∠C证明：假设∠A，∠B，∠C∠A>900，º如此∠A+∠B+∠C>1800。这与三角形和定理矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。例2、用反证法证明:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.: ∠A，∠B，∠C△ABC求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大或等于60°.证明: 假设所求证的结论不成立，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°如此∠A+∠B+∠C<180°.180°所以假设不成立，所求证的结论成立.试一试：用反证法证明下述命题：某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月. ca：如图，直线a,b被直线c所截， 1 b∠1≠∠2求证：a∥b 2来回顾反证法证题的具体步骤：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.1b,1a例1、a>0,b>0,且a+b>2,求证：a b 中至少有一个小于2。1b,1a 1b 1a证明：假设a b 都不小于2，即a ≥2且b ≥2∵ a>0,b>0∴1+b≥2a,1+a≥2b∴ 2+a+b≥2a+2b∴ a+b≤2 a+b>21b,1a所以，假设不成立，故a b 中至少有一个小于2。a、b、c∈R，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a>0,b>0,c>0证明：不妨设a≤0，∵ abc>0∴ a<0,bc<0又∵ ab+bc+ca>0∴ab+ca>-bc>0∴a(b+c)>0 ∵a<0 ∴b+c<0∴ a+b+c<0a+b+c>0同理可证，b>0,c>0反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否认形式出现；②结论是“至少〞、“至多〞、“唯一〞、“都是〞等形式；④直接证法比拟困难的命题x1 1例2.给定实数且a≠1，设函数y＝ax1 (其中x∈R且x≠a证明经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。M1(x1,y1M2(x2,y2x1≠x2,x 1 x 11 22121M1

2xy1

ax

1 ax＝2＝

1a(x1－x2)＝x1－x2∵x1≠x2 ∴a＝1，这与“a≠1〞矛盾，M1M2xx1

y1y＝ax1axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,x＝ay1，x1 x1y＝ax1y＝ax1，图像一致。x1由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ax1 图像关于直线y＝x成轴对称图像。反证法现实意义例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。〞您能对小华的判断说出理由吗？假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。现在让我们看以下例子，进一步体会反证法思想在谈话技巧上的应用实例1： 有一天，牛头马面把一个高头大马的鬼带进阎王宝殿。阎罗王把惊堂木一拍：“这厮好无礼，见到本王也不会下跪叩头。拉下，打一百棒。〞“大王，请原谅。我是洋鬼子，不知你们东方地狱的礼节请原谅。〞“好！就原谅你一次，你是谁？〞Superman“Superman“好大的口气，苏本梅先生你怎么会是超人？〞Superman是万能，世上没有一件事我是不能做的。〞“好！那么你举一件事是你做不出的。〞Superman果他不能举出这样的事，就证明在世上他不能做这件事——“举出他不能做的事〞，因此也证明他不是万能。这里阎王就是“以Superman之予，攻Superman之盾〞了。实例2：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。〞他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。〞实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否认事物普遍运动显然，他说的就是谬论了。其人之道，还其人之身〞的反证法迎刃而解了。我来当警察：警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：Ａ说：这里有１个人说谎．Ｂ说：这里有２个人说谎．Ｃ说：这里有３个人说谎．Ｄ说：这里有４个人说谎．Ｅ说：这里有５个人说谎聪明的同学们，假设你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？请与大家分享你的判断！第十九课：抽屉原理和六人集会问题“任意367个人中，必有生日一样的人。〞“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。〞62这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：mnm>n2366367236736625565652抽屉原理的一种更一般的表述为：knnkk+173的倍数。〞因为任一整数除以30127333如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：nn抽屉中放进了无限多个东西。〞有关存在性的证明都可用它来解决。19586/763以前彼此不相识。〞这个问题可以用如下方法简单明了地证出：6ABCDEF6蓝线。考虑A5它们的颜色不超过23AB，AC，ADBC，BD，CD3BC〕也为红色，那么三角形ABCBC3BCBDCD3条连线全为蓝色，那么三角形BCDCD3的重要内容拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。第二十课：数独游戏与数学word183×319数独游戏的一般方法直观法,顾名思义，就是通过对谜题中现有的数字进展分析，继而逐一确显力不从心了。数学概率的根本应用.是初学者的常用方法..(CandidatesElimination,是先在所有空白的单元格中写59/90word(CandidatesElimination被广泛使用在电脑生成谜使它的解题效率和能力都得以大力提高。是高中学过的概率统计问题,写出所有可能结果,根据条件筛选.但是耗时较长,解题步骤相对较多,较麻烦.二.数独游戏的技巧隐含唯一数法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫有一个候选数只数对法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫有两个格子只使用了两个60/90wordwordPAGEPAGE61/90九宫〕中，其它格子不会出现这两个候选数，这就是数对法三链数法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫有三个格子只使用了或九宫〕中，其它格子不会出现这三个候选数，这就是三链数法，四链数法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫有四个格子只使用了四或九宫〕中，其它格子不会出现这四个候选数，这就是四链数法隐含数对法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫中有两个候选数只他候选数可以删除，这就是隐含数对法隐含三链数法:如果我们发现某一行某一列或某个九宫中有三个候选数其他候选数可以删除，这就是隐含三链数法区域删减法:如果我们发现某一候选数在某一单元(行，列，九宫〕中完选数必然可以删除那两行(列)中,不在那两列(行)的这个候选数都可以删除关连数删减法:通过找到一串强关联数据来得出矛盾来删除候选数.第二十一课：集合与生活1、集合概述cantor,1845~19181908〔zeremelo,1871~1953是圆满的。2、罗素怪异与理发师悖论给他们理发，我也只给这些人理发。〞于是有人问他：“您的头发由谁理呢?〞理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。1874191902了，这就是所谓的第三次“数学危机〞。word成果，也带来了数学观念的革命。3、集合运算：///x//

：几何图形性质运算。例2：/x10/0x10/1x10 ：数轴上数的运算。xy103：3xy90即两直线交点坐标：(xy/xy13xy90x2y214：解不等式组：yx由定义显然：A-B4、差集和补集的运算:A-B=x/xA且xB由定义显然：A-B

B-A例5：A= /是某校一年级学生 /x例5：A= C= /是某校的女学生 /是某校的学生C= 如此有如下运算：A-B=/如此有如下运算：A-B=63/90wordC-B=/C-B=D-B=/D-B=5AAAn(A),ABn(A),n(B)面关系：n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)，n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)6：504020解：设A=｛班上懂得英语的学生｝B=｛班上懂得日语的学生｝AB=｛班上的学生｝AB=｛班上既懂得英语又懂日语的学生n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)=40+20-50=107：35342912145解：A=｛参加音乐组的学生｝B=｛参加舞蹈组的学生｝C=｛参加戏剧组的学生｝n(A)=35 n(B)=34 n(C)=29n(AB)=12 n(BC)=14 n(CA)=13 n(ABn(ABC)=35+34+29-12-13-14+5=6464/90word20001—2000，每个灯的开关都为乒乓键，假235第二十二课：生活中的立体几何折叠问题巧解决:图1隔成两个立方体，且这两个正方体上方各有一个盖子。有很多种设计可符合此要求，但是最后制造商决定采用如上图所示的“十〞字形纸板。底该从何着手？AB来便可很轻易地折出题目所要求的盒子。解题的关键在于两片盖子的底轴位于同一处。当这个关键问题解决之后，要找出符合要求的设计并不难。在大局部的设计中，此答案是最理想的。65/90word图2辛赛的奥妙:1982(ShinseiMystery)的数学玩具上8123(62加强度。8312表现。66/90word图467/90word4BC2)8DEF三维立体问题:我们通常都可以从二维的图画中看出所要表现的三维物体，X2是33常使用二维图形作为思考空间问题的参考，因此必须对二维图形的缺点有所了解。荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)(TheGraphicWorkofM.C.Escher)一书中的一些图画。注意并收集那些会欺骗你眼睛的图画。68/90word第二十三课：生活中的排列组合12如此，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？分析与解:一共要赛66盘。要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。2AB〕参赛，那只赛13ABCA—B、A—C、B—C346于是我们可以发现：11；31+2；69/90word4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；……那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。1211111×12=132A—B，B—A132÷2=66〔盘)。获第三名的得几分ABCDE20B，DECC420赛规如此，五个学生一共要赛10220只赛4盘，最多得8分。我们知道，并列第一名的两个学生不能都得8分，因为他们两人之间比赛的负者最多只能得6分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得6分。同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得0分，因此他们两人最少各得2分。C624Simmons)70/90word的简单游戏(因此而命名)。A，B，C，D，E，F不同颜色的笔以直线连接任意两个顶点。1515图1DFDAF，FEEAF，所以这一局乙是输定了。图2三、五个王后的游戏:71/90word5两人轮流移动王后。移动的方式如下：取走王后。以如下方式移动王后，步数不限。①向下移动；②向左移动；③沿对角线向左下方移动。一个王后的人赢。解答与分析每次移动之后活动的空间就更小。这不是个容易分析的游戏。这个游戏也可以改成最后取走王后的人输。四、平分苹果酒:8(1=4.54615372/90wordwordPAGEPAGE73/90分？解答与分析:将3个容器依其容量简记为8、5、3。8553，523852385。53，35438，84第二十四课：算法妙用一．爱因斯坦编的问题:很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：213254657阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？2356301，729、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。很快可以得到答案为119阶。二．丢番图的趣题:22242720个数各是多少？分析与解：如果设其中某个数为x，如此其他三个数很难用x的式子表示出来。丢番图的作法十分巧妙，他设四个数之和为x，如此这四个数分别为x-22，x-24，x-27，x-20。列方程〔x-22〕+〔x-24〕+〔x-27〕+〔x-20〕=x解得x=3131-22=9，31-24=7，31-27=4，31-20=11，9、7、4、11三．一本书的页数:15，2；15836869扉页不算在内〕分析与解:仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、……。一位数有9个，使用1×9=9个铅字；两位数有〔99-9〕个，使用2×90=180个铅字；三位数有〔999-90-9〕个，使用3×900=2700个铅字；依此类推。19999＋2×90+3×900=2889199999＋2×90＋3×900＋4×9000=3888928893980÷4=995999+995=1994四、苏步青教授解过的题电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：503米，乙每小时走25的“窍门〞。32101050第二十五课：世界数学难题欣赏——四色猜测word平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。可用符号表示：K〔n)，n=、<4。四色原理简介：的颜色。185218781976120080-90学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。四色定理的诞生过程：·格思里(FrancisGuthrie每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。〞,1，2，3，476/90word1852102318651872参加了四色猜测的大会战。1878～1880色猜测从此也就解决了。XX需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜测成立，XXXXX77/90word依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。111890201913林19392219502235196039501976J.Koch(KennethHaken1200100100年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。78/90wordX由四色猜测产生了德·有图形色数。第二十六课：世界数学难题欣赏——哥尼斯堡七桥问题1一笔画。2一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！22结顶点的线叫做边。这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。我们知2百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。79/90word737图3204744图4 图5580/90wordwordPAGEPAGE81/90的点是“过路点〞——画的时候要经过它。现在看“过路点〞具有什么性质。它应该是“有进有出〞的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点〞进出的边总数应该是偶数，即“过路点〞是偶点。偶点，这样图上全体点都是偶点。二个奇点。不能一笔画成。了一个初等的例子。时候没有人对它重视，没有数学家对它进展经验总结，以与加以研究。研究就是值得我们学习的一个样板。第二十七课：世界数学难题欣赏——费马大定理费马大定理简介：当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n.〔(x,y)=(x,z)=(y,z)=1［n］x>0,y>0,z>0〕无整数解。171995HeckeWiles19981637118此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。〞"Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnoncaperet."作丰富了数论的内容，推动了数论的开展。n，仍一筹莫展。190810之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。1983，en:GerdFaltingsMordelln>2〔n为整数〕，只存在有限组互质的a,b,c使得a^n+b^n=c*n。1986Freyε-a,b,ca^nb^nc^ny^2x(xa^n)(xb^n)会是谷ft-志村猜测的一个反例。FreyKennethRibet测显示了费马大定理与椭圆曲线与模形式的密切关系。1995Xft-X19936199491995en: