高等数学教案

第1次课学科课题

高等数学教案高等数学（一）函数周次 5 时数 2主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数·初等函数教学目的和要求：

授课班级 12021141、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3（界性、最大值和最小值定理、介值定理，并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程一、集合与区间集合概念

教 学 过 程§1函数A,B,a是集合M的元素表示为aM集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A,a, ,a},1 2 nM{P}.例如M几个数集:N表示所有自然数构成的集,称为自然数N{0,1,2,,n, {1,2,,n, }.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集,称为整数Z{ ,n, ,2,1,0,1,}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.pQ{ZN且p与q子集:若xA,则必有xB,则称A是B的子,记为AB读作A包含于B或BA.如果集合A与集合B互为子,AB且BA,则称集合A与集合B相,记作AB.若AB且AB,则称A是B的真子,记作AB例如,NZQ R.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.集合的运算设ABA或者属于B的元素组成的集合称为A与B记作ABABA或xB}.设ABA又属于B的元素组成的集合称为A与B记作ABABA且xB}.设ABA而不属于B的元素组成的集合称为A与B记作AA{A且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是III\AAAC.集合运算的法则:A、B、CABBA,ABBA;B)CAC),B)CACB)C(CCB)C(CC对偶律BAC BC,BAC BC的证:AC BC.xBxABxA且xBxAC且xBC xAC BC,所以BAC BC.直积(笛卡儿乘积):ABA中任意取一个元素,在集合B中任意取一个元素yA与集合B的直积,记为ABAB,)xA且yB}.RRR且yRxOyRRR2.有限区间:设a<b,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b),即(a,b){x|a<x<b}.类似地有{xb{x<b]{|a<xbabba:x},(,b]b |<}.邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U,aaU,),即U)<x<a}|a|<}.其中点a去心邻域U):Ua,)x|0|xa|}二、函数概念函数概念定义设数集DR,则称映射fR为定义在D上的函,通常简记yD,x,yD称为定义域,记作

,即DD.f ffxy与自变量xDD示定义在DfyfF时函数就记作yyF).函数的两要素:R

及对应f法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.求函数y1x

x24要使函数有意,必须x0,且40.解不等式得|x|2.所以函数的定义域为D{|2},D(,2][2,]).单值函数与多值函数:xDyxDyyxyx[yxrxry0xy对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以yyy1

)r2 x2“yy0”yy2

r2 x2.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集P,)y)xD}称为函数yD的图形.图中的Rf函数的例子:

表示函数yf(x)的值域.例.函数y

xx0.xx0称为绝对值函.其定义域为D(, ),值域为R [0,).f1x0ysgnx0x0.1x0称为符号函.其定义域为D(, ),值域为Rf

{1,0,1}.例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y ]称为取整函.其定义域为D(, ),值域为R Z.f5[]07

,[2]1,3,1,5]4.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.

2x0x1.1xx1D[0,)[0,).0x1y2x,y11 1例如f()22

2;f(1)212;f(3)134.三、函数的几种特性函数的有界性设函数DXD

xX1

,则称函数f(x)1X方.

XyyK的下1 1

xX2

XK2

为函数f(x)XyyK2

的上方.如果存在正数MxXXM不存在,则称函数在X上无.图形特点,函数y的图形在直线y M和yM的之.Mx1

X

.例如)six在(, 上是有界:|s|1.)1(0,(0,xM>1,总有x0

11,使)1M,

1 1M1 x1所以函数无上界.)1在(1,x函数的单调性设函数yDIDI上任意两点

xxx

时,恒有)<),

1 2 1 21 2则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点xxxx

时,恒有1 2 1 2)>),1 2则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数y在区间(,函数的奇偶性

是单调增加,在区[0,上是单调减少,在（ , ）上不DxDxD).如果对于任一xD)则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.(4)函数的周期性Dl,使得对于任一xD)D)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.四、反函数定义:设函数ff)Df1为函数fy),有唯一的xDf这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f,yD的反函数记成yf若f是定义在D上的单调函数,则f:D的反函数f1f1相对于反函数yfyyyfyxPbafQyfQyfPyPQ线yx对称的.五、复合函数·初等函数复合函数:复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述.设函数yyD

uD上有定义且1

,则由下式确定的函数1称为由函数uyDu函数gffg(fg),gfggD上的值域f的定义域D

f

.否则,不能构成复合函数.f3 3y1,1],u)21x2在D[义,且gD)[1,1]g与f可构成复合函数

][ 上有2 2yarcsn1x2,xD;但函数y和函数u2xRu2均不在y1,多个函数的复合:基本初等函数:yx(Rya0aylogxa0且a1,特别当ae记为yln);a三角函数:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函数:yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第18页第15题课后小结（补充的方法等方面的内容进行撰写）注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第2次课学科课题周次 5 时数主要教学内容：1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：

高等数学（一）函数的极限2 授课班级 12021141、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。教学重点：1、极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：1、极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体一、函数的极限

教学内容及教学过程教 学 过 程§3函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限定义如果当x无限接近于xo 函数f(x)的值无限接近于常数A则称当x趋于x0lim0时f(xA为极限记作xx0

f(x)A(

x0)定义的简单表述limf(x)Axx0单侧极限

0 0当0|xx0|时|f(x)A|xx0时f(xAAf(xxx00limA00左极限记为xx0

f(

)=A0若当xx0时f(x)无限接近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xx0时的右极限记为limA或f(x )=A0xx0yyx11x1yx1自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果存在常数A对于任意给定的正数总存在着正数X使得当x满足不等式|x|>X时对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)A|<则常数A叫做函数f(x)当x 时的极限记limA

limx

或f(x)A(x )x类似地可定义

0 X0当|x|X时有|f(x)A|limx

limf(x)A和xlim结论x

limx

limf(x)A且x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）3625课后小结）学科高等数学（一）学科高等数学（一）课题无穷大与无穷小周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较。教学难点：无穷大与无穷小教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程无穷大与无穷小无穷小

教 学 过 程§4无穷大与无穷小定义：如果函数f(x)当xx0(或x )时的极限为零那么称函数f(x)为xx0(或x )时的无穷小特别地以零为极限的数{xn}称为n 时的无穷小例如lim10 1因为x x 所以函数x为当x 时的无穷小因为因为x1lim1

所以函数为x1x11因为nn1n1n时的无穷小讨论很小很小的数是否是无穷小？0提示无穷小是这样的函数在xx0(或x)的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程xx0(或x )中函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)A 其中是无穷小limf(x)A证明设xx0

0 0使当0|xx0| 时有|f(x)A|令 f(x)A则是xx0时的无穷小且f(x)A这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小之和反之设f(x)A 其中A是常数 是xx0时的无穷小于是|f(x)A|||因是xx0时的无穷小 0 0使当0|xx0| 有|| 或这就证明了A是f(x)当 x0时的极限简要证明令f(x)A则|f(x)A|||如果00使当0|xx0|有f(x)就有||00使当0|xx0|有||f(x)这就证明了如果A是f(x)当x0时的极限则是xx0时的无穷小如果xx0Af(x)当 x0时的极限类似地可证明x 时的情形11

lim1

1x31lim例如因为

2

而x

所以x 2定理2有限个无穷小的和也是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小无穷大定义：如果当xx0(或x )时对应的函数值的绝对|f(x)|无限增大就称数f(x)为当xx0(或x )时的无穷大记为limxx0limf(x)(或x)应注意的问题当xx0(x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来大”并记作limxx0

limf(x)(或x )2f(x)为无1 1穷大则为无穷小反之如果f(x)为无穷小且f(x)0则简要证明lim如果xx0

且f(x)0那么对于

10M 0当0|xx| 时0有

100|xx|0

时f(x)0从而|1|Mf(x)1xx0limM 100如果xx00

那么对于

0当0|xx| 时

1 |1|有 简要证明

xx如果f(x)0(xx0)且f(x)0则 0 0当0|xx0| 时有|f(x)| 即所以f(x) (xx0)如果f(x) (xx0)则M0 0当0|xx0| 有|f(x)|M即所以f(x)0(xx0)课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第43页第2题课后小结）第4次课学科课题周次 7 时数主要教学内容：极限运算法则教学目的和要求：教学重点：教学难点：两个重要极限

高等数学（一）函数运算法则2 授课班级 1202114教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体一、极限运算法则

教学内容及教学过程教 学 过 程§5极限运算法则1limf

limg(xB)那么lim[flimfgBlimf(x))limf(xlimg(xABlimA(3)

B(B0)证明(1)因为limf

limg

根据极限与无穷小的关系有fg其中及 为无穷小于是f(x)g(x)(A)(B) B))即f(x)g(A)之和因此lim[f(x)] limg(x)定理2如果 而alim(x)b那么ab推论1如果limf在而c为常数则lim[cf(xc)]limf(x)2limfnlim[f(x)][nlimf(x)]nlim求x39limx

lim x

lim

lim1 1x3解x

x3

x3x3

lim(x3)6x3例4

2x3求x1lim

5x45x4

5140解x1 2x3 213lim2x3根据无穷大与无穷小的关系得x15x4

lim3x3求x

4x22342xx335342xx33537xx33lim3x34x2

limx 7x3

3x 7

lim

2x1求x

x25解 先用x3去除分子及分母然后取极限32 1lim3x22x1

limx00x

5x 215 2x例7 lim2x3

x25求x

2x1lim

2x10解因为x

5 所以lim2x3

x25x

2x1lim求x x解 当x 时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不应用sinx1sinx因为x x 是无穷小与有界函数的乘积0所以x x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第50页第2题课后小结主要教学内容：夹逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：主要教学内容：夹逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学重点：教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程）第5次课周次8时数高等数学（一）极限存在准则·两个重要极限2 授课班级 1202114B D1xO AC教 学 过 程§6极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限夹逼准则I如果数列{xnynxnlimya limz

23 )an n n

limxa那么数列{xn的极限存在且n n证明因为limy

a limz

a以根据数列极限的定义 0N10当nN1时n n n n有a| 又n

0当n2

2

a| 现取Nmax{

}则当nN1 2同时成立即

a| a|n na ya a zan n同时成立又因ynxnzn所以当 nN时有a yx zan n n即 a|nlimxa这就证明了n n简要证明由条件(2) 0N0当nN时，有a|及a|n n即有 a yn

a a zan由条件(1)有a yxzan n n即 a|n这就证明了limxan n准则If(xg(xh(xg(xf(x)h(x)limg()limh(xAlimf(limf(xA第一重要极限：1x0 xsinx证明首先注意到函数xx0都有定义参看附图图中的圆为单位圆BCOADAOA圆心角AOB 因为

2)显然 ABSAOBS扇形AOBSAOD所以111即2sinx2xsin2tanxxxtanx不等号各边都除以sinx就有1 x 1cosxsinx1或 xlimcosx1

1注意此不等式当 2x0时也成立而x0 根据准则Ix0x0x简要证明参看附图设圆心角AOB 2)显然BC ABAD因此sinxxtanx1从而 x1

(此不等式当x0时也成立)1因为x0 根据准则Ix0xB D应注意的问题sin1sin(x)lim 1(x)

lim

中 只要

是无穷小 就有 xO ACsin(x)

sinu这是因为令sinx

lim)则u0于是sin(x)

lim 1u0ulim 1x0 x

lim

1(x)单调有界收敛准则准则II单调有界数列必有极限如果数列{xx1x2x3xn就称数列{x}是单调增加的如果数列{xx1x2x3xn就称数列{x如果数列{xxnnN在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛准则II的几何解释单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II可以证明极限n n存在x设n n

现证明数列{xn}是单调有界的按牛顿二项公式有x

1)n1

n111 n1n n n

n3

nn111

1)1

1)12

1

1)1

2)n1)nn n n n n)x 1

1

1)1

1)1 2

1

1

2)n1)n1 n1n1 n1 n1 n1 n1)111)12)1n)n1 n1 n1比较xnxn1的展开式可以看出除前两项外xxn1并且xn10因此xnxn1这就是说数列{xn}是单调有界的这个数列同时还是有界的因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替得11x11

11

1111

1 2n 3 1 3n 2

2n1 12

2n1第二重要极限： 根据准则II数列必有极限这个极限我们用e来表示即1en ne我们还可以证明x x 是个无理数它的值是718281828459045指数函数

以及对数函数

中的底e就是这个常数1在极限中只

是无穷小就有1eu 1

1

e这是因为令 则u 于是u ue1 ex x

0)例3求x x解令 则x 时t 于是lim1 1tt ex x t t t1)1)x]1e1或 x x x x x x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第60页第1题课后小结（补充的方法等方面的内容进行撰写）第6次课学科高等数学（一）课题周次8时数无穷小的比较2 授课班级 1202114主要教学内容：无穷小的比较教学目的和要求：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体无穷小的比较1．定义：lim 0

教学内容及教学过程教 学 过 程§7无穷小的比较()如果 ，就说是比高阶的无穷小，记作 ；lim如果 ，就说是比 低阶的无穷小，lim c0如果 ，就说 是比同阶的无穷小，

limk

c

，就说是关于的k阶的无穷小，~lim 1~如果 ，就说与 是等价的无穷小，记作1例证明：当x 0时

n1x~n定理1 与 是等价无穷小的充分必要条件为 ()1cosx~

x2例2.因为当x 0时，~x，tanx~x，~x， 2 ，所以当x 0时有x ，x ，x ，11cosx x2 2设 ， ，定理2 ~ ~ 设 ， ，

存在，则lim limlimtan2x

lim

sinx

1x213求x

4求x0

3x 例5求x0 cosx1课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第72页第2题课后小结（补充的方法等方面的内容进行撰写）主要教学内容：主要教学内容：函数的间断点初等函数的连续性教学目的和要求：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续，会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性。教学重点：连续函数的性质和初等函数的连续性第7次课学科高等数学（一）课题周次9时数函数的连续性2 授课班级 1202114教学难点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体函数的连续性变量的增量

教学内容及教学过程教 学 过 程§8函数的连续性设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差 就叫做变量的增量记作 即设函数 在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从变到 时函数y相应地从f(x0变到 因此函数y的对应增量为函数连续的定义设函数 在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增趋于零时对应的函数的增量 也趋于零即limy0

limf(x)f(x)或那么就称函数或limy

00x0 xx0在点x0处连续x)f(x)]0注①x0②设

x0 0则当

00时xx0因此limy0 )]0 lim)0x0 xx0

0 0xx0函数连续的等价定义2设函数 在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数 总存在着正数 使得对于适合不等式 的一切x对应的函数f(x那么就称函数 在点x0处连续左右连续性0lim)00如果xx0

0 则称 在点

处左连续0lim)00如果xx0

0 则称 在点

处右连续左右连续与连续的关系函数 在点x0处连续 函数 在点x0处左连续且右连函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1如果f(x1如果f(x这是因为 f(x在f(xx0且limPP)2函数x在区间[0)内是连续的3函数 在区间)内是连续的证明设x为区间)内任意一点则有xx02sinxx)sin(x sinx 2 2

limy0因为当 0时 是无穷小与有界函数的乘积 所以x0明了函数 在区间 内任意一点x都是连续的．

这就证4函数 在区间 内是连续的函数的间断点间断定义f(xx0f(x种情形之一x0lim0x0有定义但xx0

f(xlim lim00x0xxf(xx00

f(x)f(x0)f(xx0x0f(1正切函数点limtanx

x 在 2处没有定义所以点x

2tanx因为x2 故称 2为函数tan的无穷间断点例2 y函数 x在

没有定义所以点 是函数 x的间断点sin1当x0间断点

与 之间变动无限多次所以点

称为函数 x的振荡例3 y1函数 x1在 没有定义所以点 是函数的间断点limx212因为x1x1 x1 如果补充定义令为连续所以 称为该函数的可去间断点

时 则所给函数在 成4

x x1y1 x1211 因为x1 x1

2 x1

所以 是函数f(x的间断点如果改变函数f(x在 处的定义以 也称为该函数的可去间断点x1 x00 x0

则函数f(x在 成为连续所5

x1 x0lim1因为x0 x0lim1x0 x0limf(x)limf(x)x0 x0limf(x)所以极限x0 不存在x0是函数f(x的间断点因函数f(x的图形在跃现象我们称 为函数f(x的跳跃间断点间断点的分类:

处产生跳通常把间断点分成两类如果x0是函数f(x的间断点但左极限 及右极都存在那么x0称为函数f(x的第一类间断点不是第一类间断点的任何断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点初等函数的连续性1.1f(xg(xx0连续则函数f(x)0f(x)g(x)f((x)g)gx)0时)0在点x0也连续f(x)g(x)连续性的证明f(xg(xx0x0f(x)g(xx0有定义再由连续性和极限运算法则有lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)f(x)g(x)xx xx xx 0 00 0 0根据连续性的定义 在点x0连续例1sin和cosx都在区间( 内连续故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的sinxcosxsecxcscxtan二、反函数与复合函数的连续性

x定理2如果函数f(xIxxfIy{y|y证明（略）2由于ysin在区间

,]2上单调增加且连续所以它的反函数yarcsinx11同样yarccos在区间[11上也是单调减少且连续yarctan在区间( 内单调增加且连续yarccot在区间( 内单调减少且连续总之反三角函数arcsinxarccos续的

xarctanx

x定理3yf[g(xyf(uug(xU(x)D0 fg

limgu若xx 若0

yf(u

u0连续则limf[gx)]limf(u)f(u)xx uu 00 0简要证明 要证 0 0当0|xx0|时有|f[g(x(u0)|f(u

u0连续所以 0 0当|uu0| 时有又g(x)u0(xx0)所以对上述0 0当0|xx0|时有从而 |f[g(x(u0)|lim00定理的结论也可写成xx xx 求复合函数]极限时函数00f0limf[u(x)]limf(u)0

limf[g(x)]xx uu0

表明在定理3的条件下如果作代换ug(x)那么求xxlim0就转化为求uu0

u

limxx0把定理5中的xx0换成x 可得类似的定理例3 limx3求x3 9limx

limx3 1解 x3 9 x39 6提示x3y 9是由y u与

x39复合而成的limx3

y u u1x3

96

在点 6连续 g(x0)定理4设函数yf[g(x]函数yf(u与函数ug(x复合而成U(x0)Dfog函数ug(x在点x0连续函数yf(u在点u0g(x0连续则复合函数y 在点x0也连续lim0证明因为 在点x0连续所以xx u00又yf(u在点uu0连续 所

limxx0

f(u0)这就证明了复合函数 在点x0连续4

yx的连续性

yu1x是由ysin及 x复合而成的sin当 <u< 时是连续的1x当 <x<0和0<x< 时是连续的sin1根据定理4函数 x在无限区间( 0和(0 内是连续的2、初等函数的连续性在基本初等函数中我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的我们指出指数函数ax(a>0a对于一切实数x都有定义且在区( 是单调的和连续的它的值域(0 )由定理4对数函数logax作为指数函数ax的反函数在区(0 内调且连续幂函数y 的定义域随的值而异但无论为何值在区(0 内幂函总是有定义的可以证明在区间(0 内幂函数是连续的事实上设x>0则y a

因此幂函数 可看作是由yauu 复合而成的由此根据定理6它在(0 内是连续的如果对幂函数在它的定义域内是连续的

取各种不同值加以分别讨论可以证明结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等函数的连续性在求函数极限中的应用f(xx0f(xlim则xx0f(x)f(x0)lim1求x00解 初等函数f(x)1在点x0是有定义的0lim1x2 11所以 x0limlnsinx例 求x2解 初等函数f(x)lnsinx02

x2是有定义的2所以 x27

lim11求x0 xlim解x0

1x

lim(11x0 1lim x 0088例x0

logax

x0112lim

loga

11limlog(1x)xloge1解x9

x x0 alimax1求x0 x

a ax1txloga(t)x0t0于是limax

lim t ax0 xa

t0log(1t)课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）课后小结（补充的方法等方面的内容进行撰写）主要教学内容：主要教学内容：导数的定义求倒数举例导数的几何意义教学目的和要求：了解导数概念的实际背景，能描述导数的概念掌握表达形式，会用导数（变化率）描述简单的实际问题；教学重点：导数的概念；导数的几何意义；第8次课学科高等数学（一）课题周次10时数导数概念2 授课班级 1202114函数可导与连续的关系。教学难点：导数的概念；函数可导与连续的关系。教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体一、导数概念引例直线运动的速度

教学内容及教学过程教 学 过 程§1导数概念设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻tsst的函数S=f(t)t0

的速度ss0tt0

)0tt00

内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值t0

的速度但这样做是不精确的更确地应当这样0t=t0取比值)的极限如果这个极限存在设为v即00 tt0vtt0

)0tt0v切线问题

的速度0CCMM外另取CN作割线MNNM时如果割线绕点MT直线就称为曲线有点处的切线设曲线C就是函数y的图形现在要确定曲线在点, y)(y))处的0 0 0 0切线只要定出切线的斜率就行了为此在点MCMN的斜率为tan

yy )0 0xx xx0 0其中为割线MNNCM时xx0

如果当x

时上式的极0限存在设为k即)klim 00xx x x00存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里k 其中 是MT的倾角于是通过点,kMTCM0 0处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限limx

)0xx0令

)x

相当于△x 0于是limxx0

0)0xx0

0 0 0 0成为lim

y

f(x0

)0x0x x0 x定义设函数)在点x的某个邻域内有定义当自变量x在x0 0x+△xy)如果△y与△x0 0 0之比当△x0x0

处可导并称这个极限为函数x0

处的导数记为y| 即xx0y )f)lim lim 0 00 x0xx0 x也可记为y|xx0

dydxxx0

或dxxx0x0

x0

具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f)

f(x0

h)f(x)00h0 h)f)lim 000 xx xx00在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限

lim

f(x0

)

处不可导0x0 x0如果不可导的原因是由于

lim

f(x0

0)0x0

x0 x处的导数为无穷大II内可导这时对于任一xI都对应着)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数)的导函数记作yf)dy或dx dx2.导函数的定义式ylimlimx0 x h0 hf(xf0x0

ff0

处的函数值即f)f0

xx0ff(xxf

处的值0 0 0左右导数所列极限存在则定义f(x)在x

的左导数

f)

f(x0

h)f(x)00 0 h0 hf(x)在x

的右导数

f)

f(x0)00 0 h0 h如果极限

)

的左导数lim 0 0h 0 h 0如果极限

)

的右导数lim 0 0h 0 h 0导数与左右导数的关系 f)A f)f)A0 0 0三、求导数举例1．

为常数）的导数解f(x)limf(xh)f(x)limCC0h0 h即 C)=0

h0 h例 求1的导数x解 flim

1 1limxh

lim h lim1 1h0

h0

h0h03)x的导数解 flimlimxh xlim h

h0 hlim 1

h0 h1h0xh x)h0xh x2x4．

xn(nxa处的导数解flim)

limxnan

lim(x

axn

an )=nanx a xa

xaxa xa把以上结果中的a换成x得f(x)=nxn 即 (x=nxn01x

(x) 1 ) x12x5．

x的导数解 flim

sinx)sixlimh0 h h0 hlim12h) hsinh0h 2 2sinh即 (sin=cosx

h)h0 2

2cosxh2用类似的方法可求得(cosx)=-sinx例6．求函数aa1)的导数解 flimlimaxhaxh0axlimah

h1令

h0 h1taxlim tah0h t0logaax 1 axlogea特别地有(ex)′=ex7．

x(a>0a1)的导数a解 loglogxflim lim a ah0 h h0 hhlim1logh)h

1limxlogh)

1h0h

a x xh0h

x xh0 a xh1loge 1hx a 解 loglogx 1 hflim ah0

a limh0h

log)a xhh11loge 1hhxh0 a x x a 即 (log1a 特殊地1x(log1 1a x单侧导数极限lim)存在的充分必要条件是h0 hlim

f(xh)f(x)h0 h都存在且相等

h0

f(x)在xf(x)在x处的左导数0f)0limh0f(x)在x处的右导数0f)0limh0h导数与左右导数的关系xf(xf(x)都0 0 0存在且相等ff例8．求函数在x 处的导数解f)h0flimh0

hh

lim1h0hlim1h0h因为f(0)f(0)所以函数在x 处不可导四、导数的几何意义xf(x)在几何上表示曲线,))处0的切线的斜率即其中是切线的倾角

f

0 0 0)=tan0x0

处的导数为无穷大这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直为极限位置即曲线,x0 0 0 0y,y)处的切线方程为0 0y-y=f(x)(x-x)0 0 0yM处的法线如果0 0f(x)0法线的斜率为 1 从而法线方程为0 f)0yy 1x)0 f) 009求等边双曲线y1在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程x 2和法线方程解y 1

所求切线及法线的斜率分别为k(1

4k 111 x2

2 k 41所求切线方程为y2 1)即4xy2所求法线方程为y211)即2x y4 2例10.求曲线yxx的通过点(0 4)的切线方程x0

则切线的斜率为2f))3x1 3x20 2

x2 0于是所求切线的方程可设为yxx3xx)0 0 2 0 0根据题目要求(0 4)在切线上因此4xx3x(0x)0 0 2 0 0x0

4于是所求切线的方程为y4434(x4)即3xy402五、函数的可导性与连续性的关系

x处可导即limyf存在则0 x0x 0limylimyxlimylimxf)00x0 x0x x0xx0 0yx0

处是连续的所以如果函数x处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数3x在区间 , )内连续但在点处不可导这是因为函数在点x=0处导数为无穷大lim

lim3h0h0 h h0 hx课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第91页第5题课后小结（的方法等方面的内容进行撰写）学科高等数学（一）学科高等数学（一）课题函数的和、积、商的求导法则周次10时数2授课班级1202114主要教学内容：1、函数的线性组合的求导法则2、函数积的求导法则3、函数商的求导法则教学目的和要求：熟练掌握导数的四则运算法则教学重点：教学难点：导数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§2函数的和、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则1uvxx具有导数并且uvuu证明(1)

h)]limh0 hlimh0 h h法则(1)可简单地表示为(uv)uvh0 h

uvlim1h0hlimlimh0 h hh0 h h0 h0 hu其中lim)vx连续h0法则(2)可简单地表示为(uv)uvuvu(xh)u(x)(3)

limh0 h h0 ux)u))u)x))]limh0lim

h hh0 uv2(x)法则(3)可简单地表示为(u)uvuvv (uv)uv(uv)uvuv(u)uvuvv 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导则有vw

(uvuvww

(uvuv)wuvwuvwu即 uvwuvwuvw在法则(2)中如果v为常数)则有)y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7) (2x3)5x2)7) 2(x3) 5x2) 23x252x36x210x3例24cosxsin2

ff()2解f(sin)3x2 2f()32 42 43．yex(sinxcosy解y ex)(sinxcosex(sinxcosex(sinxcosex(cosxsin2excosx例4．ytanxy解y)xxx

sec2xx x即 (tan)sec2x例5．ysecxy解y(1)1

secxtanxx x即 (secsecxtanx用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公(cot) csc2x(csccscxcotx课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第91页第5题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写）学科高等数学（一）学科高等数学（一）课题反函数和复合函数的求导法则周次11时数2授课班级1202114主要教学内容：反函数的导数复合函数的求导法则教学目的和要求：熟练掌握复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解一阶微分形教学重点：教学难点：复合函数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§3反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则2xIy

内单调、可导且f(y)0那么它的反函yf1(Ix

)yI}内也可导并且y[f1 或dy1fdxdy简要证明由于xf(y)在Iy1(

内单调、可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yff1(

内也单调、连续x任取xIx

x以增量(x0xx

yf1()的单调性可知xyf1(x)f1()0于是y 1x xyyf1(limy0x0从而[flimylim1 1x0xy0 xfy上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设xsinyy[ 2

为直接函数则yarcsinx是它的反函数函2xsiny在开区间

,)内单调、可导且2 2(sincosy0因此由反函数的求导法则在对应区间I(11)内有x

1 1 1 1(si)coy 1si2y 12类似地有(arcc) 11例7．设xtanyy( ,为直接函数则yarctanx是它的反函数函2 2xtany在区间

,)内单调、可导且2 2(tansec2y0因此由反函数的求导法则在对应区间I( )内有x(arct)

1 1 1 1(tany)sec2y1tan2y1x2类似地有118xay(a0a1)为直接函数则yloga

xxay在区间Iy

( )内单调、可导且(aaylna0因此由反函数的求导法则在对应区间I(0 )内有x(log1 1 1a y)aylntanx、、的导数怎样求？复合函数的求导法则3ux可导函数yu)可导则复合函数yx可导且其导数为dyfgdydydudx dxdudx证明当u在x的某邻域内为常数时也是常数此时导数为零结论自然成立当u在x的某邻域内不等于常数时 u0此时有yx x xu)u xdylimylimu)lim=fg(x)dxx0xu0 简要证明

x0 xdylimylimyu limylimufdxx0

x 0

x u0ux0 x9y求dydx解函数y3可看作是由yeu u3复合而成的因此dydydudxdudx例10y

2x 求dy1dx解函数ysin2x1

是由ysinu u 2x1

复合而成的因此 dydy

x2)x2)cos2xdxdudx 1对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量x求dydx解dy11dx 例12．y312x2 求dx

sinx解dy

1 1 2 4xdx[1223

32x2)32x2)

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设yf(u)u(v)v)则dydydudydudxdudxdudv13．ylncos(e)求dydx解dy[lcosx] 1 [cox]dx cosx)1 [six)x) xxcosx)例14ye

求dysinx解dy(esin1)esin1

dx

cos1(1)dx x x x x xxe1e

cos1x15x0证明幂函数的导数公式(x) x1解因为x(elnelnx 所以(x)(elnx) elnx(lnelnx x1 x1基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x) x1(3)(sincosx(4)(cossinx(5)(tan)sec2x(6)(cot) csc2x(7)(secsecxtanx(8)(csccscxcot(9)(aaxlna(10)(ex)ex(log1a1x

xlna1111(arct) 11112．函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x)vv(x)都可导则(1)(uu v(2)(CCu(3)(uv)uvuv(4))uvuvv xIy

f()0yf1(Ix

)y内也可导并且[f1 或dy1fdxdy复合函数的求导法则设yf(x)而ug(x)且f(u)及g(x)都可导则复合函数yf[g(x)]的导数为dydyduy)fgdxdudx16求双曲正弦shx的导数.解 因为shx1ex)所以21ex)1ex)ch2 2即(shx)chx类似地有(chx)shx例17求双曲正切thx的导解 因为thxshx所以chxch2

x 1ch2x 例18求反双曲正弦arshx的导解 因为1)所以1 x) 1x111由可得1x21由1x可得121x 1类似地可得1 1x21

119．ysinnxsinnx(ny解y(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x(sinx)ncosnxsinnsinnxcosxnsinn1xsin(n+1)x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第91页第5题第99页第8题第99页第8题课后小结）第11次课学科高等数学（一）课题周次11时数高阶导数2 授课班级 1202114主要教学内容：高阶导数及简单函数的n阶导数教学目的和要求：了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。教学难点：求函数的高阶导数教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§4高阶导数一般地函数yyfx的函数我们把yfy)的二阶导数记作y、f)或d2yd(即 y(y) f[f，d2d(dxdx相应地把yfy类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数 一地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作y y(4) y(n

d3

d4y dnydx3

dxn函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数 y y y(4) ()都称为高阶导数例1．yaxb求y解yay0例2．ssints解scosts sint例3．证明函数y 2x2满足关系式y3y10证明因为y 22x22x

1x2x2xx2 22xy 22x2xx2 2xx2)x2)

1 13 y3y104yn阶导数解yx yx yx (4)x一般地可得()x即 )()x5．n阶导数解ysinx

ycoxsinx 2y

)2

)sinx2 )2 2 2y

)sinx2

)sinx3 )2 2 2一般地可得)sinxn

)sinx4 2 2)即(si)sinxn )2 2用类似方法可得n )26．ln(1n阶导数解 yln(1)y(1+) y=-(1+)2y(-1)(-)(1) (4)=(-1)(-2)(-3)(1)一般地可得()=(-1)(-2) (-1)(1-)n (n1n)!即

))(n1n)!7．yx(解y x1y (2y (1)(3(1)(2)(3)x(1)(2)((1)(2)(3)x(1)(2)(一般地可得

是任意常数)的n阶导数公式yn)即 当n时得而 n1)

nn(1)(2)((0(1)(2)((01)(2)321n!如果函数uvxn阶导数那么显然函数x处具有n阶导数且(uv)uvuv(uv)uv2uvuvuv3uv3uvuv用数学归纳法可以证明(uv)(n)

nCku(nk)v(k)nk0这一公式称为莱布尼茨公式例8．y求解设ue2xvx2则2k1,2, ,20)v2xv2)0k3,4, ,20)代入莱布尼茨公式得y(20)u(20)v

1u(19)v20

2u(18)v2020201922!

20x95)课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第112页第1题课后小结（补充的方法等方面的内容进行撰写）12学科课题周次 12主要教学内容：1

高等数学（一）隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数时数 2 授课班级 12021142、由参数方程确定的函数的导数教学目的和要求：会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：隐函数和由参数方程确定的导数教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程§5隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数显函数形如y的函数称为显函数例如y xylnx+ex隐函数由方程0所确定的函数称为隐函例如方程x3 10确定的隐函数为yy31x如果在方程)0中当xy值存在那么就说方程)0把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来1．求由方程eyxye0y解把方程两边的每一项对x求导数得(ey)(xy)(e)(0)即 eyyyxy0从而 y

yx

ey0)例．求由方程5yx70所确定的隐函数yx0y|x0解把方程两边分别对x求导数得y2y121x60由此得y15y42因为当x0时从原方程得y0所以y| 1| 1x0 5y4

2x023

1在33)处的切线方程169 2x求导得x2yy089从而 y 9x16yx2时y33代入上式得所求切线的斜率2ky| 3x2 4所求的切线方程为y33 3即3x4y8302 44．求由方程xy10y2的二阶导数x求导得1dy1cosydydx2 dx于是 dy 2dx2cosyx求导得d2y

dydx dx2 对数求导法这种方法是先在yf(x)的两边取对数然后再求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnyx求导lnf(x)得1yyy f(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数5．yxsinx的导数解法一两边取对数得lnysinxlnx上式两边对x求导得1y1y 于是 y1)xxsinx(cosxlnxsinx)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求yxsinxesinx·lnxysixlx(sixl)six(coxlxsix)x6求函数

的导数(x3)(x4)解先在两边取对数(假定x>4)得lny1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]2x求导得1y1(1 1 1 1)y 2x1x2x3x4于是 yy(1 1 1 1)2x1x2x3x4当

当2<x<3

(x1)(x2)用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x4x12x3二、由参数方程所确定的函数的导数yx为由参数方程所确定的函数确定的则称此函数关系所表达的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设xt()且此反函数能与函数y[(xy)都可导则dydydtdy1(t)dxdtdxdtdx(t)dtdy即 dy 或dydtdx

dxdxdt若x和y都可导则dy dx 7

在相应于

点处的切线方程4解dy

bdxa所求切线的斜率为dy bdxt a4切点的坐标为xacos a2 ybsin b20 4 2 0 4 2切线方程为yb2 ba2)2 a 2即 bxay 2ab 08．

vt1v

12 2求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向yvtgt22解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为xv1

y(t)vgt2所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为v x)2y)2 2vg21 2再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为tan

dyyvgt2dxxv1已知x(t),y(t)如何求二阶导数y?由x(

dy )dd()dd(d2y

dy (dtdx2

dxdx dtdx13(t)9．计算由摆线的参数方程的函数yf(x)的二阶导数x所确定y解dydxyx1costcott2nn2d2yddyddxdx 1()(cot)tdt22si2t1112(t2nn为整数)课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等）第122页第5题课后小结（（补充的方法等方面的内容进行撰写）主要教学内容：教学目的和要求：教学重点：教学难点：教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程第13次课周次12时数高等数学（一）函数的微分2 授课班级 1202114教 学 过 程§7函数的微分引例：函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x0

变到x0

x问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x面积为A则A是xA金属薄片的面积改变量为A

x(0 0 0几何意义 2x0

x表示两个长为x0

宽为x的长方形面积表示边长为x的正方形的面积数学意义当x0时是比x高阶的无穷小即o)2x0

x是x的线性函数是A的主要部分可以近似地代替A一、微分的定义yf(x)xx0 0

x在这区间内如果函数的增量可表示为

y0

)0yAxo(A是不依赖于xyx0

是可微的而Axyx0相应于自变量增量x的微分记作dy即dyAx函数可微的条件x0

x0

可导且当函数x0

可微时其微分一定是dyf)x0证明设函数x0

可微则按定义有yAxo(上式两边除以x得yAx x于是当x0时由上式就得到Alimyf(x)x0x 0因此如果函数x可微则

也一定可导且Af0反之如果x0

0 0可导即limyf(x)x0x 0存在根据极限与无穷小的关系上式可写成yf)x 0其中 当x0)且A是常数 xo(由此又有0yf)x x0因且f(x)不依赖于x故上式相当于0yAxo(x0

也是可导的简要证明一方面yAx

yA

lim

f)A别一方面

x x x0x 0limyf) yf) yf)x xx0x 0 x 0 0以微分dy近似代替函数增量y的合理性当f(x)0时有0limylim y 1limy1x0dyx0f(x)xf(x)x0dx0 0ydy结论在f)0的条件下以微分dyf)x近似代替增量y时其误差0 0 0 0)因此在|很小时有近似等式ydyyx的微分称为函数的微分记作dyddyfx例如dx xxx1求函数yx1x3解函数yx2在x1处的微分为dy(x2)|x1

x2x函数yx2在x3处的微分为dy(x2)|x3

x6x2．求函数yx2x0.时的微分解先求函数在任意点x的微分dy(x3)x3x2x再求函数当x2x0.02时的微分dy|x2x0.02

x2,x

3220.020.24自变量的微分yx时dydx)xx所以通常把自变量xxdxx于是函数ydyf从而有

dyf(x)dx这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商”二、微分的几何意义当y是曲线y)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|很小时|y比|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dyf(x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式 微分公式) x1 d)x1dx(sinx)cosxd(s)cosxdx(cosx)sinxddx(tanx)sec2xd(ta)secxdx(cotx)cscd(co)cscxdx(secx)secxtanxdsecxdx(cscx)cscxcotxd(cs)cscxcoxdxx)axlnadax)axlnadxe)ex de)exdx(log1 d(log1dxa 1 1x x

11

d(arcs)

1 1(arcc)

1

d(arcc)

1 1111

d(arct) 1dx11dx11函数和、差、积、商的微分法则求导法则 微分法则uv dudv)Cu )Cduuvuv vduudv)u

uv)vduv 证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx再根据乘积的求导法则有(uv)uvuv于是 vuvuvdxuv由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv复合函数的微分法则

v yu()都可导则复合函数ydyy

dxf(u)(x)dxx于由(x)dxdu所以复合函数yf[(x)]的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyduu由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dyf(u)du并不改变例3．y

1)求dy解把2x1看成中间变量u则dycosudu1)2dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4y

ex2)求dy解dyd

2

1d12)122 12

1

2xdx

2x2dx12 12 12例5．y3xcosx求dy解应用积的微分法则得dy3xcosx)e13x(3cosxsinx)dx6．在括号中填入适当的函数使等式成立x2)xdx2d( )costdt解(1因)为d(x2)2xdx所以xdx1)x2)即x2)xdx2 2 21一般地有d(2

C)xdx因为d(sincostdt所以costdt1d(sind(1sin因此 d(1sintC)cos为任意常)四、微分在近似计算中的应用函数的近似计算在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进行计算那是很费力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替如果函数yydyf)x0

处的导数f0且很小时我们有0y)dyf)x0 0 0)f)x0 0 0若令xx0

x即xxx0

那么又有)x)fx)xx)特别当x0

0 0 00时有f这些都是近似计算公式1cm的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为001cm估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)?解已知球体体积为V4R3R3 0

1cm R0.01cm镀层的体积为VV0

R)V

)V0

)R40

2R43.14120.010.13(c)0于是镀每只球需用的铜约为0.138.91.2．利用微分计算