2023版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书文北师大版

PAGEPAGE132022版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书文北师大版1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的常用表示法：列举法和描述法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的根本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(即假设a∈A，那么a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的根本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．假设有限集A中有n个元素，那么集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)假设{x2,1}＝{0,1}，那么x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)(6)假设A∩B＝A∩C，那么B＝C.(×)1．(教材改编)假设集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，那么以下结论正确的选项是()A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉A答案D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)，知a∉A.2．(2022·宝鸡市阳中学质检)假设集合M＝{y|y＝x－2}，P＝{y|y＝eq\r(x－1)}，那么M∩P等于()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)答案C解析∵M＝{y|y＝eq\f(1,x2)}＝{y|y>0}，P＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝{y|y≥0}，∴M∩P＝{y|y>0}＝(0，＋∞)．3．集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，那么A∩B等于()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案A解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，应选A.4．(2022·西安一中月考)集合A＝{x||x＋1|<1}，B＝{x|(eq\f(1,2))x－2≥0}，那么A∩(∁RB)等于()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．[－1,0) D．(－2，－1]答案B解析∵A＝{x|－2<x<0}，B＝{x|x≤－1}，∴∁RB＝{x|x>－1}，∴A∩∁RB＝{x|－1<x<0}．5．集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，那么m＝________.答案2解析∵A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.题型一集合的含义例1(1)(2022·江西南昌二中高二期末)以下命题正确的选项是()A．空集是任何集合的子集B．集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合C．自然数集N中最小的数是1D．很小的实数可以构成集合(2)假设集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，那么a＝________.答案(1)A(2)0或eq\f(9,8)解析(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故A正确；集合{y|y＝x2－1}是一个数集，集合{(x，y)}|y＝x2－1}是一个点集，故不是同一个集合，故B错误；自然数集N中最小的数是0，不是1，故C错误；很小的实数不具备确定性，不可以构成集合，故D错误，应选A.(2)假设a＝0，那么A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合题意；假设a≠0，那么由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8).综上，a的值为0或eq\f(9,8).思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2022·临沂模拟)A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，那么以下表示正确的选项是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，那么b－a＝________.答案(1)C(2)2解析(1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.(2)因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，得eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.题型二集合的根本关系例2(1)(2022·唐山一模)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，那么满足A⊆B的B的个数是()A．5B．4C．3D．2(2)集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x<a}，假设A⊆B，那么实数a的取值范围是__________________．答案(1)B(2)[2016，＋∞)解析(1)∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1<x<2016，故A＝{x|1<x<2016}，又B＝{x|x<a}，A⊆B，如下图，可得a≥2016.引申探究本例(2)中，假设将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，那么实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2016}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如下图，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否那么会造成漏解．(2)两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(1)集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，假设B⊆A，那么实数a的值为()A.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2)或0 D．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0(2)集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，假设B⊆A，那么实数m的取值范围是____________．答案(1)D(2)(－∞，4]解析(1)由题意知A＝{2，－3}．当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝eq\f(1,a)，由B⊆A，可得eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，∴a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2).综上，a的值为－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0.(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，那么m≤2；当B≠∅时，假设B⊆A，如图，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.综上，m的取值范围为(－∞，4]．题型三集合的根本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，那么A∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))(2)(2022·九江武宁一中月考)设集合A＝{x∈N|eq\f(1,4)≤2x≤16}，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，那么A∩B中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4答案(1)D(2)A解析(1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>eq\f(3,2)}，得A∩B＝{x|eq\f(3,2)<x<3}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，应选D.(2)∵A＝{x∈N|－2≤x≤4}，B＝{x|x>3或x<0}，∴A∩B＝{4}，A∩B中有1个元素．命题点2利用集合的运算求参数例4(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，假设A∩B≠∅，那么a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，假设A∪B＝{0,1,2,4,16}，那么a的值为()A．0B．1C．2D．4答案(1)D(2)D解析(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如下图，易知a>－1.(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素假设是离散的，那么用Venn图表示；集合中的元素假设是连续的实数，那么用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2022·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，那么A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，那么实数m的取值范围为()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)答案(1)C(2)D解析(1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，应选C.(2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题例5假设对任意的x∈A，eq\f(1,x)∈A，那么称A是“伙伴关系集合〞，那么集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．答案7解析具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和eq\f(1,2)共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{eq\f(1,2)，2}，{－1,1}，{－1，eq\f(1,2)，2}，{1，eq\f(1,2)，2}，{－1,1，eq\f(1,2)，2}，共7个．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所表达的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．(2022·江西新余一中联考)定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，设M＝{x|－2<x<2}，N＝{x|1<x<3}，那么M⊗N所表示的集合是________________．答案{x|－2<x≤1或2≤x<3}解析由M＝{x|－2<x<2}，N＝{x|1<x<3}，可得M∪N＝{x|－2<x<3}，M∩N＝{x|1<x<2}，由定义的集合运算可知，M⊗N所表示的集合由M∪N＝{x|－2<x<3}中的元素去掉M∩N＝{x|1<x<2}中的元素，剩余的元素组成的集合，所以M⊗N＝{x|－2<x≤1或2≤x<3}．1．集合关系及运算典例(1)集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3或0(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．假设B⊆A，那么实数a的取值范围是________．错解展示解析(1)由A∪B＝A，得B⊆A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，故m＝3或m＝0或m＝1.(2)∵B⊆A，讨论如下：①当B＝A＝{0，－4}时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1.②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，此时B＝{0}满足题意，综上，实数a的取值范围是{1，－1}．答案(1)D(2){1，－1}现场纠错解析(1)A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝eq\r(m)，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，应选B.(2)因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．答案(1)B(2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况．1．(2022·西安一中月考)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，那么∁U(A∪B)等于()A．{1,2,4,6} B．{1,3,4,5}C．{3,6} D．{2,6}答案D解析∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．2．(2022·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，那么集合A∩Z中元素的个数是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，那么A∩Z中的元素的个数为5.应选C.3．集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2m<x<1－m}，假设A∩B＝∅，那么实数m的取值范围是()A．[eq\f(1,3)，＋∞) B．[0，eq\f(1,3))C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案D解析∵A∩B＝∅，①假设2m≥1－m，即m≥eq\f(1,3)时，B＝∅，符合题意；②假设2m<1－m，即m<eq\f(1,3)时，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,1－m≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,2m≥3，))解得0≤m<eq\f(1,3)或∅，即0≤m<eq\f(1,3).综上，实数m的取值范围为[0，＋∞)．4．(2022·北师大附中月考)设集合M＝{－1,1}，N＝{x|x2－4<0}，那么以下结论正确的选项是()A．N⊆M B．M∩N＝∅C．M⊆N D．M∪N＝R答案C解析集合M＝{－1,1}，N＝{x|x2－4<0}＝{x|－2<x<2}，可得M⊆N.5．假设集合A＝{(1,2)，(3,4)}，那么集合A的真子集的个数是()A．16B．8C．4D．3答案D解析集合A中有两个元素，那么集合A的真子集的个数是22－1＝3.6．集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，那么()A．AB B．BAC．A＝B D．A∩B＝∅答案B解析因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以BA.7．(2022·宁夏银川二中考试)集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，假设A⊆B，那么实数c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案B解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如下图，得c≥1.8．(2022·浙江)集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，那么(∁RP)∩Q等于()A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，应选C.9．设集合Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，那么满足条件的集合P的个数是()A．3B．4C．7D．8答案D解析因为Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}＝{x|0≤x≤eq\f(5,2)，x∈N}＝{0,1,2}，所以满足P⊆Q的集合P的个数是23＝8，应选D.10.设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|n－\f(1,3)≤x≤n))，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度〞，那么集合M∩N的“长度〞的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,12)答案C解析由，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))即0≤m≤eq\f(1,4)；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))即eq\f(1,3)≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，所以M∩N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∩eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\