2017-2018学年北师大版高中数学选修5不等关系与基本不等式2绝对值不等式的解法学案版含答案

2.2绝对值不等式的解法课程目标•%KECHENGMUBIAOYINHANG^.会利用绝对值的几何意义来证明不等式..掌握|ax+b|Wc,|ax+b|Nc,|x—a|+|x—b|Nc和|x—a|+|x—b|Wc的求解及证明方法.基础知识•通昌I'*5JICHUZHISHISHULI(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为、及不等式的性质.(2)绝对值不等式的解法(同解性)f a>0,|x|<aQ1 [aW0.fa>0,|x|>ao<a=0,、a<0.【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x|<3；(2)|x|>4.|ax+b|Wc(c>0),|&*+卜三仅00)型不等式的解法(1)|&*+^^。(00)型不等式的解法：先化为不等式组，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解.(2)|ax+b|Nc(c>0)的解法：先化为和，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解.【做一做2—1】不等式|x+4|>9的解集是.【做一做2—2】不等式|2x+1|>x+1的解集为.|x—a|+|x—b|Nc和|x—a|+|x—b|Wc型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的.(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“―”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的―，进而去掉.(简称分段讨论法)解法三：可以通过，利用，得到不等式的解集.(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉，把它转化为一个或几个普通或(即不含绝对值符号).【做一做3】解不等式|2x—5|一|x+1|<2.答案：

.(1)绝对值的定义几何意义⑵①一a<x<a无解②x<—a或x>axW0x£R【做一做1】解：(1)V3>0,A-3<x<3.(2)V4>0,Ax>4或x<-4..(1)—cWax+bWc(2)ax+bNcax+b<-c「2x+1三0,或2x+1>x+1【做一做2-1]{x|x<-13或x>5}由原不等式，得x+4>9或x+4<-9,解得x>5或「2x+1三0,或2x+1>x+1 一「, 2一〕 【做一做2-2]Jx|x<-3或x>01原不等式可化为不等式组:C2x+1<0,《—2x+1>x+1.2解得x>0或x<--.33.几何意义零点符号绝对值符号构造函数函数图像绝对值符号不等式不等式组【做一做3]分析：利用零点分区间法解题.5解：令2x-5=0,得x=j.令*+1=0,得x=-1.(1)当xW-1时，原不等式等价于一(2x-5)+(x+1)<2,即一x+6<2,即x>4,无解.52(2)当一1<x<5时，原不等式等价于一(2x—5)—(x+1)<2,即一3x+4<2,即x>a...2325尸25尸<255⑶当x^5时，原不等式等价于(2x-5)-(x+1)<2,即x-6<2,即x<8.A-<x<TOC\o"1-5"\h\z乙 乙8. 「,2 〕综上，得原不等式的解集为[x[<x<8}..3 .重(5难cS•11■八H，ill、_ZHONGDIANNANDIANTV用分段讨论法解含绝对值的不等式剖析：分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式求解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解.在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“X”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集;解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立.不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都是用的分段讨论法，但实质上是不同的.这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错.阳型例题-题型一|ax+b|Wc(c>0)和|ax+b|Nc(c>0)型不等式的解法【例1】解不等式2<|2x—5|W7.分析：分清楚绝对值不等式的类型，利用绝对值不等式的同解性或几何定义求解.反思：(1)|ax+b|Nc(c>0)oax+bNc或ax+b<—c；(2)|ax+b|Wc(c>0)o—cWax+bWc.在实际问题中，我们应先把x的系数化为正数后再求解.题型二|x—a|+|x—b|Nc型不等式的解法【例2】解不等式|x—1|十|x+2|三5.分析：这个绝对值不等式比较复杂，我们需要从它的几何意义来分析，设数轴上与一2,1对应的点分别是A,B,那么不等式的解就是数轴上到A,B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.所以我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解集.反思：本例题有三种解题方法，各有特点.解法一可利用绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想.从中可以发现，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.解法二可利用|x—1|=0,|x+2|=0的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式而求解，体现了分类讨论思想.从中可以发现，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号.解法三可通过构造函数，利用函数的图像，体现了函数与方程的思想.从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键.题型三|x一a|+|x—b|Wc型不等式的解法【例3】求关于x的不等式|x+4|+|x—2|W6的解集.反思：分类讨论法，令|x一a|=0,|x—b|=0.从而把数轴分成3部分，在各个小区间上去掉绝对值号求解，最后写出并集即可.答案:【例1【例1】解：解法一：原不等式等价于12x—5|>2,|2x—5|W7,“2x—5>2或2x—5<—2,—7W2x—5W7,7.3x>-^x<-,解得j2 2、一1WxW6.一 f , -3.、7一〕・•・原不等式的解集为Jx|一IWxq或5<xW6>.解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.原不等式可化为⑴2x—5原不等式可化为⑴2x—5三0,2<2x—5W7,f2x—5<0,⑵j -[2<5—2xW7.解不等式组(1),得7<xW6.3解不等式组(2),得一1Wx<^.乙一 f , -3.、7一〕・•・原不等式的解集为jx|—1Wxq或5<xW6}.,22.【例2】解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与一2,1对应的点分别是A,B,那么A,B两点的距离是3,因此区间[—2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点.将点A向左移动1个单位到点A「这时有|A1A|十|A]B|=5；A{ABBiI I I I I I-3-2-1012x同理，将点B向右移动1个单位到点Bj这时也有|B1A|+右押=5.从数轴上可以看到，点A1与B]之间的任何点到点A,B的距离之和都小于5；点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都大于5.所以，原不等式的解集是(一8,—3]U[2,+8).解法二：(分段讨论法)(1)当xW—2时，原不等式可以化为一(x—1)—(x+2)三5,解得xW—3,

即不等式组IxW—2,|x一1|+|x+2|三5即不等式组IxW—2,|x一1|+|x+2|三5的解集是(一8,—3].(2)当一2<x<1时，原不等式可以化为一(x—1)+(x+2)三5,即3三5,矛盾.所以不等式组2<x<1, 的解集为01x一1|+1x+21三5的解集为.⑶当xN1时，原不等式可以化为(x—1)+(x+2)三5,解得xN2,即不等式组IxE,|x—1|+|x+2|三5的解集是[2,+8).综上所述，原不等式的解集是(一8,—3]U[2,+8).解法三：(图像法)将原不等式转化为|*一1|+3+2|―5三0.构造函数y=|x-1|+|x+2|—5,—2x—6,xW-2,即丫二|一2,一2a<1,、2x-4,xN1.作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是一3,2.从图像可知，当x£(一8,—3]U[2,+8)时，有yN0,即|x-1|+|x+2|一5三0.所以原不等式的解集是(一8,—3]0[2,+8).【例3】解：令x+4=0,得x=-4.令x-2=0,得x=2.(1)当xW-4时，原不等式等价于一(x+4)-(x-2)W6,得一2x-2W6,即xN-4.x=-4.(2)当一4<x<2时，原不等式等价于(x+4)・仪一2)・6,即6W6成立..,.一4<x<2.(3)当xN2时，原不等式等价于仪+4)+&一2)・6,得2x+2W6,即xW2..，.x=2.综上，知原不等式的解集为收|一4忘*忘2}.Bii室练习♦回1下列不等式中，解集为R的是().A.|x+2|>1 B.|x+2|+1>1C.仪一78)2>—1 D.仪+78)2—1>02不等式W>白的解集是().4X4XA.{x|0<x<2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0}D.{x|x>2)3不等式|x+3|<4的解集是().A.(-7,1)B.(1,7)C.(-4,1)D.(-3,1)4不等式