高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4的全部内容。11.2角的概念的推广学习目标重点难点1．结合实际问题了解角的概念的推重点：任意大小的角、正角、负广及其实际意义．角和零角概念；终边相同的角的2．理解任意角的概念，学会在平面表示方法．内建立适当的坐标系来讨论角．难点：终边相同的角的集合表示3．掌握象限角、区间角、终边在坐和符号语言的表示．标轴上的角的表示方法．疑点:象限角和象限界角的区别，4．掌握终边相同的角的表示方法.终边相同的角的表示方法.1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形．2．角的分类(1)按旋转方向可将角分类：类型定义图示正角按______方向旋转形成的角负角按______方向旋转形成的角如果一条射线从起始位置OAOB零角________，终止位置与起始位OA置重合，我们称这样的角为零度2角,又称零角（2）按角终边的位置分类预习交流1（1）终边和始边重合的角一定是零角吗？（2）45°是第______象限角；216°是第__________象限角;－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示αα,连同角在内，可构成一个集一般地,所有与角终边相同的角合:________________________，即任何一α个与角终边α相同的角，都可以表示成角与周角的______倍的和．k注意：(1)是整数,这个条件不能漏掉；α（2）是任意角；kαkk（3）·360°与之间用“＋”号连接，如·360°－30°应看成·360°＋（－30°）k（∈Z）;（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍．预习交流2(1）下列各角中与330°角终边相同的角是(）．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2）在－360°到360°的范围内,与412°角终边相同的角是______．3答案：1．一条射线端点旋转2．（1）逆时针顺时针没有作任何旋转预习交流1：（定是零角,如－(2)一三四(2)原点终边(除端点外)1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．Sββαkk3．＝｛｜＝＋×360°，∈Z｝整数预习交流2：(1）D（2)52°，－308°在预习中,还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：PQPQ（1)集合＝｛钝角},集合＝｛第二象限角}，则有＝；αα(2）角和角2的终边不可能相同；αα(3）若是第二象限角，则2一定是第四象限角;（4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到（－∞，＋∞）,其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．ABααCD已知＝｛锐角}，＝{|0°≤＜90°}，＝｛第一象限角}，＝{小于90°的角}，ABACCDAD求∩，∪,∩，∪.对推广后角的概念的理解．4(1）紧紧抓住“旋转"二字，用运动的观点来看角．（2）结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3）正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角α已知＝－1910°。αβkkβ（1）把写成＋×360°（∈Z，0°≤＜360°）的形式，并指出它是第几象限的角；(2）求,使与的终边相同，且－720°≤＜0°.θθαθβαkk思路分析：利用终边相同的角的关系＝＋×360°，∈Z来解决．kαkα将下列各角表示为·360°＋(∈Z，0°≤＜360°)的形式，并指出是第几象限角．（1)－1840°；（2)1690°.终边相同的角相差360°的整数．倍判定一个角在第几象限，相同的0°～360°范围内的角，这个0°~360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示只要找与它终边如图所示，写出终边落在阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．思路分析:观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．5如图所示，写出终边落在图中阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：（1）先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;αβ(2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角和,写xαxβ出最简区间｛|＜＜｝；αβkk(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角、加上·360°(∈Z）．“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个两边加上×180°(∈Z)即可特别地，如nnx；若区域包括了阴影中找出区间角［45°，90°]，然后再在kk∈Z)．轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上×360°（α4．已知角所在的象限,判断角的终边所在的位置错误!α已知角是第二象限角，试判断角是错误!第几象限角．α已知角是（1)各象限角的集合如象限角第三象限角，试判断角是错误!第几象限角．下集合表示αkαk第一象限{｜0°＋·360°＜＜90°＋·360°，角k∈Z｝αkαk第二象限{|90°＋·360°＜＜180°＋·360°，角k∈Z}αkα{｜180°＋·360°＜＜270°＋第三象限6kk角·360°，∈Z}αkα{|270°＋·360°＜＜360°＋第四象限kk角·360°，∈Z｝PααPQ答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上＝{|90°＜＜180°｝，应有。ααα(2)不正确．如＝0°时,与2终边相同．kαkkk（3）不正确．由90°＋×360°＜＜180°＋×360°（∈Z)知180°＋2×360°＜αkkαy2＜360°＋2×360°,∈Z，故2是第三或第四象限的角，也可能终边在轴的非正半轴上．(4）不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°.ABαα迁移与应用：解:∩＝{|0°＜＜90°},ACαkαkk∪＝{|×360°＜＜90°＋×360°,∈Z}，CDαkαkkk∩＝{|×360°＜＜90°＋×360°，∈Z，≤0｝，A∪D＝{α|α＜90°｝．βk活动与探究2：解：（1)－1910°＝－6×360°＋250°,其中＝250°，＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．θkkkθ（2）令＝250°＋×360°（∈Z）,取＝－1,－2就得到满足－720°≤＜0°的角，θ即250°－360°＝－110°,250°－720°＝－470°。所以为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1）－1840°＝－6×360°＋320°，故－1840°是第四象限角．（2)1690°＝4×360°＋250°，故1690°是第三象限角．lll21活动与探究3：解：(1）由图①可知，按逆时针方向旋转，应由旋转至，与终边相1l同的角有60°角，与终边相同的角有310°角．2∴图①阴影部分中角的集合为Sαkαkk＝｛｜60°＋×360°≤≤310°＋×360°,∈Z}．（2）由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为Sαkαkk＝{｜45°＋×360°≤≤90°＋×360°，∈Z}．1第三象限内阴影部分中角的集合为SαkαSSSαkk＝{｜225°＋×360°≤≤270°＋×360°，∈Z｝．2∴所求阴影部分中角的集合为＝∪α＝｛|45°＋2×180°≤≤90°＋2×180°，∈Z｝∪{｜45°＋(2＋1）12kkkαkαkk×180°≤≤90°＋（2＋1)×180°，∈Z}αnαnn＝{｜45°＋×180°≤≤90°＋×180°,∈Z}．llll1（3）由图③知，逆时针方向旋转,应由旋转至,与终边相同的角有－30°角，与212终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为Sαkαkk＝{|－30°＋×360°＜＜30°＋×360°，∈Z}．xk迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为｛｜×360°＋xkk135°＜≤×360°＋180°，∈Z｝，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为xkxkk{|×360°－15°≤≤×360°，∈Z｝，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为xkxkkxkk{|×360°＋135°＜≤×360°＋180°或－15°＋×360°≤≤×360°，∈Z｝．活动与探究4:解法一：(分类讨论法）α∵角是第二象限角,kαkk∴×360°＋90°＜＜×360°＋180°,∈Z。kkk∵×180°＋45°＜错误!＜×180°＋90°,∈Z，knnnn∴当＝2，∈Z时，×360°＋45°＜错误!＜×360°＋90°，即角是第一象限角；错误!knn当＝2＋1，∈Z时，αnn×360°＋225°＜2＜×360°＋270°,即角是第三象限角．错误!∴角的终边落在第一或第三象限．错误!解法二：（几何法）x先将各象限二等分,从轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1，2，3，4,标有2的区域即为角的终边所在区域，如图所示，故角是第一、三象限角．22迁移与应用：解法一：(分类讨论法）∵α是第三象限角,kk∴×360°+180°＜α＜k×360°+270°，∈Z，kk∴×180°+90°＜＜k×180°+135°，∈Z。2nnnn∴当k=2，∈Z时，×360°+90°＜＜×360°+135°，即角是第二象限角；22knnnn当=2+1,∈Z时，×360°+270°＜＜×360°+315°，即角是第四象限角．22∴角是第二或第四象限角．2解法二：（几何法）仿照“活动与探究4"的“解法二"即可知角是第二或第四象限角．1．下列命题中正确的是（)．A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同βαkkαβD．若＝＋·360°(∈Z),则和终边相同82．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角;④－615°是第一象限角．其中正确的命题有（)．A．1个B．2个C．3个)．D．4个3．与405°角终边相同的角是(kkk