三棱锥、四棱锥

1、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形,PA丄底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点，PE=2EC,1)证明：PC丄平面BED(2)若直线ED和面ABCD所成的角是30°,求四棱锥P-ABCD的体积C第一问：因为PA丄底面ABCD，所以PA丄BD因为底面ABCD是菱形，所以BD丄AC所以BD丄面ACP，所以PC丄BD设AC,BD交于点0CE=PC/3=2^3/3CE/CO=(273/3)/72=76/3=AC/PC所以APAC相似于△OEC所以ZOEC=ZPAC=90°,即PC丄EO所以PC丄平面BED第二问：作EK丄AC交AC于K则EK=AP*CE/CP=2/3ED=EK/sin30°=EK*2=4/3△CED为RTA，所以CD=2<7/3OD=<(CDA2-OCA2)=<10/3底面积=2*OC*OD=4<5/3四棱锥P-ABCD的体积：V=S*h/3=8^5/9(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无救如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形,PA丄底面ABCD,AC=2.2，PA=2E是PC上的_点，PE=2EC.I)证明：PC丄平面BED；(II)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。证明：方法一：(坐标系法)C取坐标系，A(0,0,0,)B(200)D(020)P(002)则E(4/3,4/3,2/3PC={2,2-2}BD={-2,2,0}BE={-2/3,4/3,2/3J平面BED的法方向n=BDxBE={4/3,4/3,-4/}显然PC〃n/.PC丄平面BED.PD=<0,2・-2}平面PBC法方向n1={1,0,1}PD与平面PBC所成角为asina=|(-2)/(2V2xV2)|=1/2a=30°第一问：因为PA丄底面ABCD所以PALBD因为底面ABCD是菱形，所以BD丄AC所以BD丄面ACP,所以PC丄BD设AC,BD交于点OCE=PC/3=2^3/3CE/CO=(2«3/3)N2=76/3=AC/PC所以APAC相似于△OEC所以ZOEC=ZPAC=90°即PC丄EO所以PC丄平面BED第二问(II)设D(2,b,0)先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得)的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角解<rr）?设平血昭片的壮向量为石=（石耳日・x^F=（o.o.2）,ab=由n-AP=^n-AH=0得n.=（L—,0）r设平商朋芒的決向址为刑=（x,了止）『Xa jz&芒=[J5卫,0）丽=卜旷乙（V由mic=^HtCP=O,= ,75）・由于二面jb冲一円力削）・*确以jhw=o：i揮得肛二J5・听总两=（返柩4）.申而冋眾的法向量为臨二①一匕厲卜篩必pc与平ififp駅躯则正昨幷黠H

晞収『卫与T向PBC所诚角为辛.h在平面刊/?内过点卫作AGrPB,G为垂足.面APB丄面PBC又平面平面PEC二PB,故AG丄平面PBCTAG丄BC2R?与平面刚畀内两条招交直线別?AG都垂直f故EG1■平直PAI/:于是&C1ABf所以底面A肚D再正方形,AF）=2,M=寸加+仍=2\旦设Q到平面丹^的距离为d.因为A0^（；,目.加K平面P賦:就