人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：基本不等式

基本不等式.均值定理：如果a,beR+（R+表示正实数），那么3三、嬴，当且仅当a=b时，有等号成2立.此结论又称均值不等式或基本不等式..均值不等式推广：4茄Wa+bW：毁了，其中、:茄<a+b需要前提条件a,beR+.TOC\o"1-5"\h\z2T2 2"叫做a,b的算术平均值，、前叫做a,b的几何平均值，i：丝子叫做平方平均值.2 23.可以认为基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值.考点1：常规基本不等式问题例1.（1）已知x>0，则8x+工的最小值为（ ）D.5D.5A.2 B.3 C.4【解答】解：Qx>0，「.8x+2-...2],'8xg2-=4当且仅当8x=—即x=1时取等号，2x 4故选：C.(2)已知0<x<3，则x(3-5x)取最大值时x的值为(5A.A B,2 C,910 10 5【解答】解：Q0<x<3，5■则x(3-5x)=—x5x(3-5x)„—x(——————)2= ,5 5 2 20当且仅当5x=3-5x即x=二时取最大值10故选：A.(3)已知函数y=x-4+-9-(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则2a+3b等于(x+1A.9 B.7 C.5 D.3【解答】解：Qx>-1，,x+1>0，

TOC\o"1-5"\h\z•*・y=x—4+ =x+1+ -5x+1 x+1c: 「9u..21,x+1g —5'x+1二1,当且仅当x+1=-9-，即x=2时取等号，x+1y取得最小值b=1，此时x=a=2，2a+3b=7•故选：B.TOC\o"1-5"\h\z（4）已知a>0，b>0，且2a+b=2，则ab的最大值为（ ）A.IxI.1x、+ =-（—IxI.1x、+ =-（—+——），21xIy+1 2xy+12 2【解答】解：Qa>0，b>0，且2a+b=2，则ab=1x（2ag）„1x（2a±b）2=1,2 2 2 2当且仅当2a=b且2a+b=2即a=1，b=1时取得最大值1.22故选：A.考点2:基本不等式易错点TOC\o"1-5"\h\z..一. 一,1 IxI例2.（1）已知x+y=1,y>0,x丰0，贝U + 的最小值是（ ）2IxIy+1A.1 B.1 C.3 D.-24 44【解答】解：由x+y=1,y>0得y=1-x>0,解得x<1且x丰0，①当①当0<x<1时，12rxiIxI1x+—=一+—

y+12xy+11xx+2-xx—+ = + ，2x2-x 4x 2-x=1+（三+

=1+（三+

4 4x）...24②当x<0时，当且仅当==_匚即x=2时取等号4x②当x<0时，TOC\o"1-5"\h\z=-(—+ )= + =--+( + =-，2%2-x 一4% 2-x 4 -4x2-％ 4 4当且仅当三=二^即X=—2时取等号.一4% 2-x综上可得，最小值24故选：C-考点3：基本不等式常见变形a2+b-例3.已知A<a<0，且曲=1,贝1J [取得最小值时,a+。等于( )a-bA.-710 B.—石 C.-V3 D.-V2【解答】解：Q帅=1.。2+枕(a—bx+2ab_(a-b)2+2_ 2... = = -— a-ba-ba-b a-bQb<a<0・•・T-2拒(当且仅当4q工)a—b a-bh ( 2即竺一取得最小值时，满足"一力a-b 7 1ab-l.•.(〃+/?)2=(〃一/?)2+4ab=6Qb<a<0a+b=-^6故选：B.例4.(I)已知正数。，b满足ab=a+b+3，则a。的最小值是( )A.9 B.10 C.Il D.12【解答】解：Q正数。，b满足帅=a+b+3，:.ab=a+b+3..2y[ab+3,,：.ab..9,当且仅当a=b=3时取等号，ab的最小值为9.故选：A.

(2)已知4>0,y>0，且4x+y2+2x+y=6,则2%+y最大值是.【解答】解：Q4X2+y2...(2%+y)2,(2x+y)2 6二.6=4x2+y2+2x+y... 2 +2%+y令2x+y=t>0，上式化为12+21-12„0，解得0<t„'/3-1./.t的最大值即2x+y最大值是-1.故答案为：413-1.例5.(1)已矢口a>0则1+1的最小值是（abA.4C.5)D.9【解答】解：Qa>0-1+1=1(1+1)(4a+b)ab2ab,3故选：B.abb=2,3故选：B.abb=2时取等号，3例6.(1)设x>0y>0且x2+(■=1,求x%：1+y2的最大值.y2【解答】解：qx>0，y>0，且x2+—=1,:.x\；1+y2=-^2-g；2xg1+y2口口啦432--X222g2gV2一2/2一2当且仅当、Ix= 即x=个且y=蓝时取等号/.11+y2的最大值为42 12 例7.设正实数％,y,z满足x-3孙+4y2-z=0.则当xy取得最大值时，-+1--的最大值为(z xyz)A.0 B.1 C.9 D.34【解答】解：QX2-3xy+4y2-z=0,，z=x-3xy+4y2，又x,y,工均为正实数，「.xy=——型——=一1一„ 1 =1(当且仅当x=2y时取“=”),zx2-3xy+4y2x+4y-32，x*4z-3yx\：yXx一「.(xy)=1，此时，x=2y.zmax:.z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3义2y义y+4y2=2y2,2 12 11 1 1 .I,, …,一 ，…r—「.—i =+— =-(—1)2+L,1，当且仅当y=1时取得“="，满足题意.x yz yy y2 y212/--+--2的最大值为1.xyz故选：B.例&(1)函数f(x)=: (xeR)的最小值为( )yx2+4D.2.5A.2 B.3 CD.2.5【解答】解：令【解答】解：令"％；石+7"…2),+8)上单调递增，..…、 x2+5,：,t=2，即x=0，函数f(x)=: (xeR)的最小值为2.5,x2+4x2+x+1(2)已知％>1,则函数y=. 1的最小值为.2 2x-1【解答】解：Qx>1，a2x-1>0，21 _7(2x1 _7(2x—1)2+(2x—1)+—4 42x-11=-(2x-1)+474(2x-1)+1...2,—(2x-1)g +1= +1.\14 4(2x-1) 2当且仅当1(2%-1)二一7一，即％=52时取得最小值.4 4(2x—1) 2故答案为：-2-+1.(3)函数y二上士的最大值为一.2x+5【解答】解：设t=\：X75，则x=12—2，(t>0)<x+2t1y= = = -2x+5 212+1 121+—

tQ21+L.2,：21X1=2丫2,v2t□当且仅当t=工时取最值..右••y„丁 再即原函数的最大值为7.课后作业:1.已知0<x<3，则x(3—5x)取最大值时x的值为( )5A.310B.210C.D.【解答】解：Q0<x<35贝Ux(3—5x)=1x5x(3—5x)„1x(5x+3-5x)2=—,5 5 2 20当且仅当5x=3-5x即x=二时取最大值10

2.已知a>0，TOC\o"1-5"\h\zb>0，且2a+b=22.已知a>0，A.— B. 2 C.1 D.<2【解答】解：Qa>0，b>0，且2a+b=2，则ab=1x(2ag)„1x(2a±b)2=1,2 2 2 2当且仅当2a=b且2a+b=2即a=1，b=1时取得最大值1.22故选：A.3.已知。，bg（0,+8），则下列不等式中不成立的是（ ）A.. 1aA.. 1a+b+-..2v2

abbc.殷曾.2a

abbB.(a+b)(—+—).4abD.辿八茄a+b【解答】解：Qa,bg(0,+8)；「.Aa+b..2vab，当a=b时取“=”；2%•茄+-L=..2v2，当ab=1时取“=”;abb 2「♦a+b+——^厖2^■ab+—2x2,abb abb・二该不等式成立;Ba+b..2vab，当a=b时取“=”；11 2 一/+:…■—，当a=b时取="；ababb,,(a+b)(—+—).4，当a=b时取“=”;ab・二该不等式成立；C.a2+b2.2ab，当a=b时取“=”;—…些=2—…些=2、a，当bbb bbba=b时取，，・二该不等式成立;Da+b..2%：ab，当a=b时取“=”；,1 1a+b"2\:ab'，也„、混，当a=b时取“=”；a+b该不等式不成立.故选：D..已知4>0,y〉0,且4心+>2+2x+y=6,则2x+y最大值是 【解答】解：Q4心+产…笔业，乙, “ c(2%+y)2 _/.6=412