(22)正、余弦定理和三角形面积公式A

(22)正、余弦定理和三角形面积公式ALtDPAGEPAGE4课时作业(二十二)A[第22讲正、余弦定理和三角形面积公式][时间：35分钟分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)2．在△ABC中，若(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝5∶6∶7，则cosB的值为()A.eq\f(11,16)B.eq\f(11,14)C.eq\f(9,11)D.eq\f(7,8)3．已知△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的周长为()A．4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋2B．4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋2C．4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋2D．8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋24．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．

课时作业(二十二)A【基础热身】1．D[解析]依题意，得a>b，则A>B,0°<B<60°，由正弦定理，有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3)，故选D.2．A[解析]令b＋c＝5k，c＋a＝6k，a＋b＝7k(k>0)，则a＋b＋c＝9k，得a＝4k，b＝3k，c＝2k，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(11,16).3．C[解析]由正弦定理，有eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(4\r(3),3)sinA，AC＝eq\f(4\r(3),3)sinB＝eq\f(4\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)－A))，则△ABC的周长为l＝eq\f(4\r(3),3)sinA＋eq\f(4\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＋2，＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＋2＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋2，故选C.4．15eq\r(3)[解析]不妨设∠A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝eq\f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq\f(1,2)，解得b＝10，所以c＝6.所以S＝eq\f(1,2)bcsin120°＝15eq\r(3).【能力提升】5．D[解析]由同角三角函数的基本关系式，得cosC＝eq\r(\f(1,1＋tan2C))＝eq\f(3,5)，sinC＝cosCtanC＝eq\f(4,5)，由正弦定理，有2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(8,\f(4,5))＝10，故外接圆半径为5，故选D.6．C[解析]由正弦定理，有eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，又a＝2bcosC，则sinA＝2sinBcosC，即sin(B＋C)＝2sinBcosC，展开，化简，得sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，即△ABC是等腰三角形，故选C.7．A[解析]由正弦定理，有eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)，又sinC＝2eq\r(3)sinB，可得c＝2eq\r(3)b.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，于是A＝30°，故选A.8．A[解析]由S＝2，得eq\f(1,2)acsinB＝2，解得a＝1，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacosB＝(4eq\r(2))2＋12－2×4eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝25，则b＝5，故选A.9.eq\r(2)[解析]由正弦定理，有eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即sinC＝eq\f(csin120°,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(1,2)，∴C＝30°，则A＝180°－(B＋C)＝30°，故a＝c＝eq\r(2).10．2[解析]∵a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4b2(1∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(2,5)ac＝eq\f(3,2)，∴ac＝eq\f(15,4)(2)．∵sinB＝eq\f(4,5)，∴cosB＝eq\f(3,5)(由a＋c＝2b知B为锐角)，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3,5)，∴a2＋c2＝eq\f(9,2)＋b2(3)．由(1)、(2)、(3)，解得b＝2.11．4[解析]解法一：取a＝b＝1，由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC得cosC＝eq\f(1,3)，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝eq\f(4,3)，∴c＝eq\f(2\r(3),3).在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanA＝tanB＝eq\r(2)，又sinC＝eq\f(2\r(2),3)，tanC＝2eq\r(2)，∴eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝4.解法二：由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，得eq\f(a2＋b2,ab)＝6·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即a2＋b2＝eq\f(3,2)c2，∴eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosA,sinA)＋\f(cosB,sinB)))＝eq\f(sin2C,cosCsinAsinB)＝eq\f(2c2,a2＋b2－c2)＝4.12．[解答](1)在△ABC中，由S＝eq\f(\r(3),2)bccosA＝eq\f(1,2)bcsinA，得tanA＝eq\r(3).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)由a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)及正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴c＝2sinC.∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝eq\f(2π,3)－x，∴c＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x)).∵A＝eq\f(π,3)，∴0<x<eq\f(2π,3)，∴当x＝eq\f(π,6)时，c取得最大值，c的最大值为2.【难点突破】13．[解答](1)由m·n＝－eq\f(1,2)得cos2A－sin2A＝－eq\f(1,2)，即cos2A＝－eq\f(1,2)，∵0<A<eq\f(π,2)，∴0<2A<π，∴2A＝eq\f(2π,3)，∴A＝eq\f(π,3).设△ABC的外接圆半径为R，由a＝2RsinA得2eq\r(3)＝2Req\f(\r(3),2)，∴R＝2.由b＝2RsinB，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，又b<a，∴B＝eq\f(π,4)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，∴△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝3＋eq\r(3).(2)解法一：由a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2－bc＝12，∴(b＋c)2＝3bc＋12≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2＋12，∴(b＋c)2≤48，b＋c≤4eq\r(3)，当且仅当b＝c时取等号，∴b＋c的最大值为4eq\r(3).解法二：由正弦定理得：eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(3),sin\f(π,3))＝4，又