三阶系统综合分析与设计

引言在控制工程中，三阶系统非常普遍，但是三阶系统属于高阶系统 ,其动态性能指标的确定是比较复杂，不能像二阶系统那样可以用特定的公式计算。因此，我们可以借助于MATLAB软件对高阶系统进行分析。在课程设计中，我们不仅要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制。以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性。设计内容1.1设计题目:三阶系统综合分析与设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示图1-1图1-21.2设计任务要求完成的主要任务:1、 试绘制随根轨迹2、 当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K值(以下K取这个值)4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为r(t)=1(t)+2.5t+12单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、 用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、 绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比较点与开环传递函数之间加1个非线性环节，如图2所示其中e二1,k二2，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述0函数和Nyquist图判断系统的稳定性8、 认真撰写课程设计报告。方案设计MATLAB绘制根轨迹绘制轨迹利用的函数是rlocus函数：1、首先根轨迹绘制需要明确的是根轨迹起于开环极点(包括无限极点) ，终k于开环零点(包括无限零点)。根据系统开环传递函数 k 可知：系统s(s+3)(s+6)根轨迹有3条分支，开环零点无限远，有三个开环极点，分别是 0，-3，-6。2、 实轴上的根轨迹是那些在其右侧开环实数零点和开环实数极点总数和为奇数的区间，所以该系统根轨迹在实轴上的区间为 (--,-6］、［-3,0］。3、该系统根轨迹有3条渐近线，求渐近线与实轴交点，得［-3.0j］,而渐近线与实轴正方向的夹角为弓兀，既有I，兀普。则可绘制系统根轨迹渐近线。4、根轨迹与虚轴的交点；闭环系统的特征方程：ks(s+3)(s+6)即s3+9s2+18s+k=0令s=j®代入上式，可得： -①3+18®=0 解得w=±3J25、根轨迹的分离点：+ -+ - =0 解得d=-3d-0d-(-3)d-(-6)MATLAB为绘制根轨迹编程如下：num=[1];den=[19180];syms=tf(num,den);rlocus(syms)绘制出的根轨迹如图2-1所示

RootLocus15 1 1 10w-xyA」lnLI-EilnE-w-xyA」lnLI-EilnE-图2-1闭环根轨迹求取当闭环系统的一个极点为-8时的k值闭环系统的特征方程为：s3+9s2+18s+k=0令G(s)=0，将闭环极点s=-8代入方程式中，从而可以得到k=80.所以当-8为闭环系统的一个极点时，k等于80。求主导极点阻尼比为0.7时的K值系统的动态性能基本上由接近虚轴的闭环极点确定，这样的极点被称为主导极点。故主导极点定义为对整个时间相应过程中起到主要作用的闭环极点， 只有既接近虚轴，又不十分接近闭环零点的闭环极点才能成为主导极点。在全部闭环极点中，选取最靠近虚轴又不十分靠近闭环零极点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远6倍以上的闭环零、极点。该系统中只有无限远零点，极点分别是 0、-3、-6，其中0及-3比-6更加靠近虚轴，可以作为主导极点，-6则可忽略，对系统的影响较小。

故系统的闭环传递函数可写为：k故系统的闭环传递函数可写为：ks2+3s+k又典型二阶系统的闭环传递函数为： P(s)二 一s2+ s+32nn比较上式，可得 k=32,23二3，又系统主导极点阻尼比 0.7，可以求nn得3=2.143，k=4.59n稳态误差及稳态误差系数的计算控制系统的稳态误差数值，与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)的形式密切相关，对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。一般，分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数课表示为：G(s)H(s)=KHm(T+1)svI1G(s)H(s)=j=1 j则可根据已知信号的输入形式，判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误则可根据已知信号的输入形式，判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误时帀为］型系统。差的大小，根据已知条件可知系统时帀为］型系统。误差系数的求取1、若r(t)=R-1(t),R为输入阶跃信号的幅值，则 R(s)=R/s,此时有稳态误差RRe= =—ss1+limG(s)H(s)1+KP静态位置误差系数Kp=limG(s)H(s)—astO2、若r(t)=Rt-l(t),R为输入速度信号的幅值，则 R(s)=R/s2,此时有稳态误差Re=sslimsG(s)H(s)st0静态速度误差系数Kv=limsG(s)H(s)静态速度误差系数Kv=limsG(s)H(s)=limst0 st04.59(s+3)(s+6)=0.2553、若r(t)=Rt2/2,R为输入加速度信号的幅值。则R(s)=R/s3，此时有稳态误差

e= =ss lims2G(s)H(s)st0静态加速度误差系数K静态加速度误差系数K4.59s=KS2G(S)H(S)=1豊(s+3)(s+6厂04、则当输入信号为r(t)=1(t)+2.5t+4、则当输入信号为r(t)=1(t)+2.5t+12时，稳态误差的求法如下：首先将输入信号r(t)分解为三个信号的叠加：r(t)二1(t),r(t)=1r(t)二r(t)+r(t)+r(t)。输入信号R(t)的稳态误差就是信号12态误差的和。2r(t)、1r2(t)、,r(t)=t23r(t)的稳3输入信号为r(t)二1(t时，稳态误差e1ss输入信号为r(t)=2.5t，时，稳态误差21=01+K—兰二=11.11ssK0.255v输入信号为r(输入信号为r(t)=t2时，稳态误差31e=—TgssKa所以输入信号r(t)所以输入信号r(t)的稳态误差为eTg。ss2.5绘制单位阶跃响应曲线绘制单位阶跃响应利用的函数是2.5绘制单位阶跃响应曲线绘制单位阶跃响应利用的函数是step函数。MATLAB绘制单位阶跃响应曲线编程如下：num=[4.59];den=[19184.59];syms=tf(num,den);step(tf(num,den))绘制出的单位阶跃响应曲线如图2-2所示：图2-2单位阶跃响应曲线

由图中可以看到单位阶跃响应最终趋向于 1，所以稳态误差为0，所以该系统是稳定的。2.6绘制BODE图和Nyquist曲线及求取幅值裕度和相角裕度绘制BODE图Bode图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。绘制轨迹利用的函数是bode函数：1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。4.590.225G(s)= =s(s+3)(s+6) s(s/3+1)(s/6+1)系统的开环频率特性为G(s)=0.225G(s)=j®( /3+1)(jw/6+1)由伯德标准型容易看书，开环传递系数为K二0.225,转折频率为®=3,1®=6。

2、 确定低频段：由传递函数可知该系统为1型系统，即有微分环节，所以绘制低频段，可过®二1,L⑴二201ogK二201og0.225=-12.96作一条斜率为-20dB/dec的斜线。3、 绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率«=3处。因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数频率特1性的渐近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率®=0.5处，因为也是惯性2环节，所以再下降20dB/dec。4、 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。5、 修正对数幅频特性。MATLAB绘制BODE图编程如下：num=[4.59];den=[19180];bode(num,den);gridon绘制出的BODE图如图2-3所示：〔mp〕IDpn〔mp〕IDpn七LIBln左〔fiIDpjIDwlnLIdFrequency(rad/sec)图2-3BODE图绘制Nyquist曲线

Nyquist曲线图又称开环幅相频率特性曲线图，是利用Nyquist判别系统稳定性的依据。绘制Nyquist曲线利用的函数是nyquistMATLAB绘制Nyquist曲线编程如下：num=[4.59];den=[19180];syms=tf(num,den);nyquist(syms)绘制出的Nyquist曲线如图2-4所示：NyquistDiagramM一遵AM一遵A」lnu一EilnE--0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2RealAxis图2-4Nyquist曲线2.6.3求取幅值裕度h和相角裕度Y设①为系统的截止频率c则A(®)=|G( )Hj)|=1c c c定义相角裕度为 Y=180。+ZG(j®)H(j®)cc相角裕度Y的含义是：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统处于临界稳定状态。设®为系统的穿越频率c则 p(®)二ZG(j®)H(j®)二(2k+1)兀；k=0,±l,±2xxx定义幅值裕度为 h=-201g|G(j®)H(j®)|x x

幅值裕度的含义是:对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。MATLAB求取幅值裕度h及相角裕度y编程如下：num[4.59];den[19180];sysm=tf(num,den);margin(sysm);gridon得到幅值裕度h及相位裕度y如下图2—55L〔岂£启匚豊jlj5L

diBodeDiagramGm=31dB(at4.24rad/sec),Pm=82.7deg(at0.254rad/sec)5o5L〔岂£启匚豊jlj5L

diBodeDiagramGm=31dB(at4.24rad/sec),Pm=82.7deg(at0.254rad/sec)5o5382112---〔BIDSluwlnLId图2-5幅值裕度及相角裕度图h=-20lg|Gj)H(j®)|=-29.8 ;y=180。—82.7。二97.3。xx2.7非线性控制系统的分析C(s)-Hi——kC(s)-Hi——k/ ‘—h%25Ks(s(卞型3)(s+6)图2-6加入非线性环节的反馈结构图根据系统结构图可知该非线性类型为死区特性，又其中e二1,k二20

代入描述函数公式N(A)=竺兀1-sin-代入描述函数公式N(A)=竺兀即得到描述函数为 N(A)二-冗(1)2IA丿=-sin-1即得到描述函数为 N(A)二-冗(1)2IA丿=-sin-1丄-打+2 AA\ {A2.7.2系统稳定性的判定由描述函数可知负倒数函数为14兀111(1)2A=-1/——-sin-1—--1-->N(A)12AA\ 1A丿,A>10.225对于线性环节，4.59G(s)=s(s+3)(s+6) s(s/3+1)(s/6+1)可解得穿越频率1==4.24,G(妙)TT x:12KTT12=-0.0283T+12负倒函数=-1/\4兀兀^ 1 1—sin-1 —-2 A—11-—A\IaJ则-则-=-8,- =—N(AT1) N(AT8) 2即-NA曲线此时在实轴上由-8指向-0.5的直线，而此时奈氏曲线过负实轴交于-0.02833，没有包围-馬曲线，根据非线性系统稳定判据，该系统即-NA-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02NyquistDiagramH一遵A」lnu一eicaE-RealAxis图2-6奈氏曲线放大图体会