与正态总体有关的抽样分布定理证明_第1页
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与正态总体有关的抽样分布定理证明_第3页
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文档简介

定理：设X“X2,•…X”是来自正态总体N(“b)的一个随机样本，记_土Xi —乂=一,S== n n则有如下性质存在：(1)(2)(3)证明：已知(1)已知i.i.d…,X”〜w(“b)根据正态分布的性质有X]+/+…+X〃〜样本均值为乂_X]+ +・・・+X”n它的抽样分布为X〜N(〃,cr'/〃)(2)对样本进行正交变换Z=AX其中X=(X1,X2,...,Xn)\Z=(Z1,Z2,...,Zj\4为正交矩阵1Jlx2]72^3•••11Jlx2]72^3•••1y/nX(,7-1)1頁1VT7T1•••1y/nX(7?-1)10•••n-l

yjnX(7?-1)1正交变换之后，Z,,7=1,2,…,〃相互独立，且Z产护厂护厂N(0&)1[2IRX严丽X厂丽X,〜N(Ob)X”~W(Ob)Z”T= 乙+ X,+ _X”~W(Ob)yjnx(/?-1)y]nx(〃_1)・ x(/?-1)Z”=A/+AX,+…+厶X”〜N(丽“,k)7〃yjn yjn即正交变换之后Zj〜N(0。‘)，心12・・・/一1由乙相互独立，且乙〜j=12…川―1，推导出7丄〜N(OJ),i=l,2,…戶一1cr标准正态分布的平方和服从分布，即有//-1工Z；旦l〜z2(h-i)cr又因为

n - n n n-1工亿-可m腔工z：_z：工z；i=l _Z=1 _i=l _c=lT 1CT CT CT CT所以fd)2—n等价于«52 廿“亍〜小1）(3)根据正交变换町知7 1归x=4l,s2=-Yz；y/n “幺X-N/A—I“)nS2(J2由于zj=12…/X-N/A—I“)nS2(J2经过线性变换后有兰

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