专题14 排列组合真题汇编与预赛典型例题(解析版)

全国高中数学历届（2009-2019）联赛与各省市预赛试题汇编专题14排列组合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题1．【2019年全国联赛】将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 .【答案】498【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！2、0相邻的不同8位数：土51-411、 9相邻的不同8位数：，：2、 0与1、9均相邻的不同8位数：」故所求的8位数个数为： ^ .（百！一5!〕一严-宁+圭=4982．【2011年全国联赛】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）.【答案】15000【解析】由题意知满足条件的方案有两种情形：1•有一个项目有3人参加，共有EW-三応=36CC种方案；2•有两个项目各有2人参加，共有 种方案.ai故所求的方案数为軽m:二二故答案为：150003、 【2017年全国联赛】将33-33的方格表中毎个格染三种颜色之一，使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。【答案】56【解析】记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。17 161116一1733此时，共有56条分隔边，即L=56。其次证明：L256。将方格表的行从上至下依次记为土，-4==,列从左至右依次记为•汀葺。行4中方格出现的颜色数记为叭-丄；,列$中方格出现的颜色个数记为；。三种颜色分别记为•一心£，对于一种颜色「设：「为含有「，色方格的行数与列数之和。定义⑷勺）=1类似地定义匸£■<由于染「，色的格有：汇二个,设含有「，色方格的行有a个、列有b个，贝叽色的方格一定在这a行和b列的交叉方格中。从而，“"咒所以二、二：—！三1、、［三淀'二:3S=■y.'.c三込I二 ①由于在行丄中有叽4；种颜色的方格，于是，至少有叭4；-】条分隔边。类似地，在列3,中,至少有■-:条分隔边。则】二空二门；-丄；——工工—三:；—/=二：；：；-丄；—y\—弘②面分两种情形讨论。有一行或一列所有方格同色。不妨设有一行均为6色则方格表的33列中均含有匚色的方格,又丄色方格有363个，故至少有11行含有匚色

方格.于是，H；二二一聲=匚匚由式①、③、④得L>江（tj■+?i（c2］+ -66>44439+39-66=56（2）没有一行也没有一列的所有方格同色.则対任意亠：乞抚均有忙一4：.：三2,\3：;三二从而，由式②知；i 66>33x4-66=66>56f=1综上，分割边条数的最小值为56.4．【2016年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【答案】15【解析】以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图G.下面证明：图G的边数不超过15.设图G的顶点为厂，匸，・；七,共有k条边，用“实八.；表示顶点「：的度.若hg；：；三5对：二一丄■」：均成立，贝狀=二二三;芯沢「：；兰f」讥=二.假设存在顶点「满足込I三七•不妨设沁'—=^^-，且［与-■<-■.均相邻•于是，2'—之间没有边，否则，就形成三角形•从而，「‘n-之间恰有n条边.对每个';X_S兰」：；■『，至多与中的一个顶点相邻（否则，设「，与4、「：H兰飞】。相邻，则「—：、「：就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾）.从而与「、：.：,J、—■ •匸［:之间的边数至多为10—（化+1）=9—九.在「71+2」吟+3…」%这勺一血个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有［先严］条边•因此，图G的边数为<n+<n+(9-??)+(9-nf【2010年全国联赛】一种密码锁的密码设置是在正■边形二一二：二"的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？【答案】当:;为奇数时，有产-：种；当儿为偶数时，有丁-E种.【解析】对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上；若颜色不同，则标上乞若数字和颜色都相同，则标上「•于是，对于给定的点月1上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点<-<■上的设置•为了使得最终回到丄一时的设置与初始时相同，标有話”的边都是偶数条.所以，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标「使得标有話氐的边都是偶数条的方法数的4倍.设标有门的边有】：〔匚艺；兰二）条，标有二的边有二〔匚兰■■:王宁）条.选取;:条边标记応的有“种方法，在余下的边中取出二条边标记！的有第匚二二：种方法，其余的边标记二由乘法原理知共有：*二二种标记方法.二二二『一辽、：-丄--J-1/:二丁一1.当:为偶数时，若：门，贝y式②仍然成立；若 ，则正::边形的所有边都标记门，此时，只有一种标记方法.于是，所有不同的密码设置的方法数为综上，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当:;为奇数时，有汀-：种；当儿为偶数时，有琳-己种.各省预赛典型题1．【2018年广西】把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 .（用数字作答）【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9-弋=216.【2018年安徽】把1，2,…，■「按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格…，第一行是1，2,…，n.例123'如：孙=894.设2018在人血的第i行第j列，则（i,j）= .1.765-【答案】（34，95）【解析】设H＜丸，则二典的第k行第k列元素是:-七口二二.因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.故答案为：（34，95）【2018年湖南】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数J ： •二二-的系数•若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有 个.答案】24解析】可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成二「二—“的形式.所以其顶点坐标是（一 壬〕.若顶点在第一象限，则有三:—三:故“匚匕因此，这样的二次函数有七土=工个.若顶点在第三象限，则有一二，：：■：；一二，：：匚故匸：：：，：』：-〉■：.这样的二次函数有立=二个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有社七-七二其个.故答案为：24【2018年湖南】（冈+古一2）的展开式中常数项为 .【答案】-20【解析】因为八厂亠：.所以匚匚亠;=—址故答案为：-20【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，m>n24.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关获+魏三4。的数组（m,n）的个数为 .【答案】3解析】记“取出两个红球”为事件A,“取出两个白球”为事件B,“取出一红一白两个球”为事件C,贝ym鼻，r二亠，尹u二于.Lmfn L7n+n依题意得？丸-兀N二PU,即宀:-心二煮:C.所以W：二；.'：<-匚：，从而:V-X为完全平方数.又由m>n>4及mH■化主40，得9兰m+rt主40...t,rm-I-n=9,_prm.-+n=16,_p(m+n=25?_ilrm十二所以氐-解之得（m,n）=（6,3）（舍去），或（10,6）,或（15,10）,或（21,15）.故符合题意的数组（m,n）有3个.故答案为：3【2018年河南】将圆的一组■等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录厂:三:个点的颜色，称为该圆的一个“:阶色序”，当且仅当两个•邙介色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的•邛介色序.若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，贝y该圆中等分点的个数最多可有 个．【答案】8【解析】“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有n,暑种.一方面，：;个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个.另一方面，若!：二&则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红,蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．故该圆中等分点的个数最多可有8个．7．【2018年浙江】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数.【答案】36【解析】在7,11,13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数