专题24 有理数与无理数(拓展提高)(解析版)

专题2.4有理数与无理数（拓展提高）一、单选题1.下列各数中，无理数是（)A.兀 B.01C.-9D.3.14【答案】A【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解．【详解】A选项：兀为无理数，故A选项正确；B选项：0为有理数，故B选项错误；1C选项：-9为有理数，故C选项错误；b选项：3.14为有理数，故D选项错误.故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有n的数.2．下列各数中最小非负数是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解．【详解】解:V-2.-1是负数，0、1是非负数，且0<1，・•・题中最小非负数是0，故选C．【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键．3.在下列各数：2.01001000100001...（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0,0.333,3n,0.101101101中,无理的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项【详解】解：无理数有：3n,2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个.故选：B.【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：n2n等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001...,等有这样规律的数是解题的关键．4．下列各数中，既是分数又是负数的是（ ）A.—3.1 B.—4 C.0 D.2.8【答案】A【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案.【详解】解：A、-3.1既是分数又是负数，故本选项符合题意；B、 -4是负整数，故本选项不合题意；C、 0不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D、 2.8是正分数，故本选项不合题意；故选：A.【点睛】本题考查了有理数，利用小于零的分数是负分数判断是解题的关键.小强在笔记上整理了以下结论，其中错误的是（）有理数可分为正数、零、负数三类 B.—个有理数不是整数就是分数C.正有理数分为正整数和正分数 D.负整数、负分数统称为负有理数【答案】A【分析】根据有理数的分类逐一分析即可.【详解】解：A.有理数可分为正有理数、零和负有理数，故该项结论错误；整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，故该项结论正确;正有理数分为正整数和正分数，故该项结论正确；负整数、负分数统称为负有理数，故该项结论正确；故选：A.【点睛】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键.兀下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④--不仅是有理23数，而且是分数；⑤丁是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中错误的说法的个数为（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数；错误；有理数包括正有理数数、0和负有理数；错误；非负数就是正数和0；错误；兀--是无理数；错误；23万是无限循环小数，所以是有理数；错误；绝对值等于本身的数有正数和0；错误；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.正确；故选：B．【点睛】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题14在有理数一3,7,2,23,-3,0,一0.01,—10.1%中，属于非负数的有 个.【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数,可得答案.1【详解】解：7,2,2亍,0,是非负数，共4个，故答案为：4.【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数.11有六个数：5,0,32，—0.3,-4，一兀，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b一c- .【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a,b,c的值，即可求解.11【详解】解：分数有32，一0・3，一4，•:a-3非负整数有0,5,：・b=2有理数有5,0,3—,—0.3,—4，•:c=5a+b—c=3+2—5=0故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键．若三个互不相等的有理数,既可以表示为3,a+b,b的形式，也可以表示为0,半，a的形式，则4a—bb的值 .【答案】15【分析】根据分母不等于0,可得b和,进而推得a+b=0,再求出3=-3,解得b=-3.a=3,然后代入4a—b进b行计算即可.【详解】解：•・•三个互不相等的有理数,既可以表示为3、a+b、b的形式，也可以表示为0、--、a的b形式b丰0b=—3,a=34a—b=12+3=15故答案为15.【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得审、a+b=。、电=-3是解答本题的关键.TOC\o"1-5"\h\z（1）、字母a没有“-”号，所以a是正数.（ ）（2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来.（ ）3）一个数的绝对值必是正数.（ ）4）符号不同的两个数互为相反数.（ ）5）有理数就是自然数和负数的统称.（ ）

答案】（1）错，（2）对，（3）错，（4）错，（5）错．分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0,或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3） 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0,可得绝对值是非负数^0,故错误；（4） 只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5） 有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11•把下列各数填在相应的大括号内：一511•把下列各数填在相应的大括号内：一5,-4－12， 0，0.1．2．，一3.14，＋1.99，＋6，227…｝；…｝；1…｝；…｝；2）负数集合：｛TOC\o"1-5"\h\z（3）分数集合：｛ …｝；（4）非负整数集合：｛ …｝．\o"CurrentDocument"22 3 3【答案】（1）0.12，+1.99，+6, ；（2）一5,—4，一12,一3.14；（3）—4，0.12，一3.14,+221.99,万；（4）0,+6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．22TOC\o"1-5"\h\z【详解】解：（1）正数集合：｛0.12，+1.99，+6,丁 …｝；3（2）负数集合：｛-5,-4，-12,-3.14 ...｝；322（3）分数集合：｛一4，0.12，一3.14,+1.99,丁...｝；（4）非负整数集合：｛0，+6 …｝.点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．U 1-U 1-2.5,5—,0,8,-2,I，-1.121121112......正数集合：｛｝；负数集合：｛｝；整数集合：｛｝；无理数集合：｛｝；「1【答案】正数集合:｛52，8,-｝；负数集合：｛冗2｝；无理数集合：｛2，-1-121121112......｝；12.将下列各数填入相应的括号内:2.5,-2,-1.121121112......｝；整数集合：｛0,8,-【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案.【详解】-2.5,【详解】-2.5,51，0，8,-1.121121112正数集合：｛5*,8,2｝；负数集合：｛-2.5,-2,-1.121121112......｝；整数集合：｛0,8,-2｝；无理数集合：｛㊁,-1.121121112……｝.「1 兀 兀故答案为：5亍,8,-；-2.5,-2,-1.121121112......；0,8,-2；-,-1.121121112【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键.观察下面一列数：—1,2,—3,4,—5,6,—7,…，将这列数排成下列形式.2-34•56-78-910-1112-1314-1516按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ；数—201是第 行从左边数第 个数【答案】90, 15, 5.【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平

方数为196,即可得解.【详解】•・•第9行的最后一个数的绝对值为92=81,・••第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90,90是偶数，•:第10行从左边数第9个数是正数，为90,142=196,201-196=5,・•.数-201是第15行从左边数起第5个数.故答案为90,15,5.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键.将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6...如图所示有序排列，4所在位置为峰1,-9所在位置为峰2....处在峰5位置的有理数是 ；2022应排在A,B,C,D,E中 的位置上.4 C【答案】24A【分析】根据图示信息找出A,B,C,D,E各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：(1)观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：5n-3；B位置的绝对值可以表示为：5n-2；C位置(峰顶)的绝对值可以表示为：5n-1；D位置的绝对值可以表示为：5n；E位置的绝对值可以表示为：5n+1；•:处在峰5位置的有理数是5x5-1=24；(2)根据规律，•2022=5x405-3,.•2022应排在A的位置.故答案为：(1)24；(2)A.【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力.

三、解答题15.下列各数填入它所在的数集中：—18,22,3.1416,0,2001,—|,—0.142,95%,nTOC\o"1-5"\h\z正数集：｛ •••｝;整数集：｛ ...｝；自然数集：｛ •••｝；分数集：｛ •••｝•【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案.22【详解】解：正数集：｛-,3.1416,2001,95%,n｝整数集：｛-18,0,2001｝22 3分数集：｛—,3.1416,—|,-0.142,95%｝非负整数集：｛0,2001｝【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：不是有理数.4-1有理数.4-1,+3,+5.【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可【详解】负整数，即既是负数，也是整数；正整数，即既是正数，也是整数；负分数，即既是负数，也是分数；正分数，即既是正数，也是分数；故负整数集合为：一1；正整数集合：20、+5；

负分数集合为：一0.08、—2*正分数集合为：4.5、3.14、+—1+1+2'—3217•把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6,-3,2.4,——,0,-3.14,|-1.414,-17,—•TOC\o"1-5"\h\z正数：{ ...}非负整数：{ ...}整数：{ •••}负分数：{ ...}答案】6,2.4答案】6,2.4,,+2,2—；6,0,+2；6,-3,0,+2,-17；1-3・14'-32'亠414【分析】根据大于零的数是正数,可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数,可的非负整数集合根据分母为1的数是整数,可得整数集合；根据小于零的分数是负分数,可得负分数集合．22【详解】正数：{6,2.4,9,+2,3•••}非负整数：{6，0，+2.}整数：{6，-3，0，+2，-17.}31负分数:{_4,-3.14,-32,-1414...}【点睛】本题考查了有理数熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别注意0是整数但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：2 2 3+1g、-5%、200、-3、6.8、0、一15、0.12003407、1、-43.555、77%、-34（1）非负数集合： （2）负有理数集合： （3）正整数集合： （4）负分数集合： 2【答案】（1）+15、200、6.8、0、0.12003407、1、77%；⑵…—1|、-43.555、町3)200、1；23(4)-5%、一15、-43.555、-3才.分析】根据有理数的分类，可得答案2【详解】解：(1)非负数集合：+1-、200、6.8、0、0.12003407、1、77%；23(2)负有理数集合：-5%、-3、一15、-43.555、-3才正整数集合：200、1；23负分数集合：-5%、一 、-43.555、-3才.【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．119.把下列各数填在相应的横线处：15，—，0・81，-3，25%,-3.1,-4,171,0,3.14TOC\o"1-5"\h\z正数集合： ；负数集合： ；整数集合： ；负分数集合： ；有理数集合： .【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可.1【详解】解：正数集合：15，-，0.81，25%，171,3.14；负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1；11有理数集合：15，-，0.81，-