专题4：阿氏圆练习

专题4阿氏练习P为0CP为0C上一动点，连结AP,()D.2历DO1ACAP-ACPI)I一一-AP=I>P1jAlVBF^DP+Bl^BD^S2专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿1 I波罗尼斯圆，简称为阿圆.其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮■ I:马型求最值，难点在于如何构造母子相似.1.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=7,CA=9,OC半径为3,BP,则|ap+BP的最小值为A.7 B.5迈 C.4+帀的最小值为 BC的最小值为 BC2.如图，在RtAABC中，CB=4,CA=5,OC半径为2,P为圆上一动点，连结AP,BP,则AP+±BP作(：D=vBC=14.ACBP-ACTD1£BP|AP=I»P-AP>/\]>=2623.如图，正方形ABCD边长为2血内切圆O上一动点P,连接AP.DP,则AP+^PD的最小值为

BP+*CP的最小值为 4易対K.'O—养()11-2fl-IAODP-AOPC1P11--PCPC=BP+DP>BD=V21£5.如图，在平面直角坐标系中，M(6,3),N(10,0),A(5,0),BP+*CP的最小值为 4易対K.'O—养()11-2fl-IAODP-AOPC1P11--PCPC=BP+DP>BD=V21£5.如图，在平面直角坐标系中，M(6,3),N(10,0),A(5,0),点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM+|PN的最小值为 <2AOPB-AONPPB=|p>I N5PM+-PN>BM=^-£ 土6.(反向操作)如图，ZAOB=90°,OA=OB=1，圆O的半径为迈，P是圆O上一动点，求P4+；2PB的最小值.点在團内，应向捷作建松OH樂点(A(：<)=2()»=2OPOC，-丄oc-o|i"/2^A01aB-AO<PPA4IPIJ-PA+PC^^O.-S的最小值.DZ)点在盟内，反向操作DZ)延长04卒一点K,EOMOA=12Ol1OAI辰二而电皿皿心枠21壮+PB=E‘E+PE=138.(2019日照)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B(1)求抛物线解析式及B点坐标；⑵若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积⑶如图2,若P点是半径为2的©B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+1PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由(2)S=_]d-■|>,m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18

9.(2017兰州)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC：y=-丄x-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF丄x轴交AC2于点F,交抛物线于点G.求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为©E上一动点，求1AM+CM它的最小值.10.抛物线旳解析式为y二-戏-加+4的最小值.10.抛物线旳解析式为y二-戏-加+4:.E(一2’0).H(0,-1);(2016・济南)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(aHO)与x轴交于点A(4,0),与y轴交过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,于点B,在x轴上有一动点E(m,0过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设APMN的周长为C1,^AEN的周长为C2,若長，求m的值;(3)(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设APMN的周长为C1,^AEN的周长为C2,若長，求m的值;(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为a(0°<a求ea+Zee的最小值.3yti<90°),连接E'A、E'B,直线肿解析式为尸.4BEOEA由unmszne’推出轻列出方程閒可is决问题.AN5创丄ABtPE丄CM,〔P昭=厶4；厶化\胃二厶l,Ur•-V6 、卜：WAE~B~OA"Vy(4-m)d4析式却二-加十头+九4 4.F、――'—ft\'■——/rt+弓一[——jri—j}———rfi"-.斗4 斗^ 4■ _匕扌(4-码亍斛f!F/n=2.fl.训由丨取-点性辱门订二扌辻按恥〕1仁诃|取—.加「佚得仪『二处一BM2A()VrE,-A()BE,^>-ETB=MtEt薮AETITK,lt=AET+Vri7>AMT=TH.（2。18•东台市一模）如图，抛物线y-討BX+C（B为常数）与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为16（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标;（2）已知点M（m,0）是线段与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为16（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标;（2）已知点M（m,0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线1分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，ABDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?（3）在（2）问条件下，当ABDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM，绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0。到90°之间）；①探究：线段0B上是否存在定点P（P不与。、B重合），无论0N如何旋转，墙始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由;（na+3nb）的最小值.4②试求出此旋转过程中,⑵:点M（mf0）「过点翊乍疋轴的垂线0分别与直线肋和抛物线交干认E两点「、Qm勲十學），当QE为底时「9j如盟】，作*&丄DE\Gr.WHAGGD*0 y,■.DM-DG-GMOB..「1帚1 「4U16血169 3 2 9 9 3 9B3丽1彳叮：in\~-4/ —0（不介题赢，舍如|.，当秋二7时'△砲弗好是以0总为底边的等腰三角形:⑶①存在「如图2.OB-—3■：or-av3®OP=-OJ\T=-X4=3r4 4鈔“a以O为画》斗为半径的半回上「由CALL24的民值二再貝十a屮』4A,.屮二点共注「WA^NB）的最小值二你蒔=3<?・阿波罗尼斯圆在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆"，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆.【在初中阶段的应用】阿氏圆主要应用于求系数不相同的线段和的最小值【基本解法】构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC+kPD1、 连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD;2、 计算出所连接的两条线段OP、0D长度3、计算两条线段长度的比OP ；=mOD4、 在0D上取点M使得om；=mOP5、 连接CM,与圆0的交点即为点P.【例题】(2017•南山十校联考)如图，若00的半径为，PO=,MO=2,ZPOM=90°，点Q在00上运动，求PQ+QM的最小值.【简释】：连接QO、QM,有OQ=乜，在OM上取M'吏得QM=12OM2 oq~2显然有△QM'O〜△MQO，AQM'=QM・•・PQ+QMNPM'==00的半径为4，P为00上一动点，求PA+PB的最小值.(2)如图，00是正方形ABCD的内切圆，AB=4,点P是00上一动点，则AP+DP的最小值是 变式：如图，正方形ABCD的边长为4，其内切圆上有一点E，求DE+AE的最小值(3)如图，AB=BD=2AC=2,AC、BD分别切半圆于A、B,求CF+DF的最小值(4)如图，正方形ABCD的边长为4,P是BD上一点，BG丄AP,点M、N分别是线段CD、BC的中点,求NG+MG的最小值.(5)正方形(5)正方形ABCD的边长为4,以D为圆心，2为半径作圆求2BE+AE的最小值此时△ABE的面积£1£1(6)菱形ABCD边长为2,ZABC=60°，圆A的半径为3,BC与圆相切于点E,点P在圆A上运动，求PB+lfpD的最小值专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆.其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动型求最值，难点在于如何构造母子相似.

(7)【结合隐形圆】已知A(4,0),B(0,4),C(8,0),D(6,4),点P是\AOB外部第一象限一动点，ZBPA=135°，求2PD+PC的最小值【点在圆内，反向操作】(8)如图，圆0半径为2,AO=BO=1,ZAOB=90°，求BP+2AP的最小值

练习】1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则-PA+PB的最小值为 .22.如图，在AABC中，ZACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是3.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆