基本内容 线性有界泛函

第四章习题课基本内容线性有界泛函f:DuXta满足f(以尤+py)=以f(x)+pf(y)，线性.若VxeD,If(x)l<MIIxII.——称f有界.线性有界泛函的范数IIfII=IIfII=supx^0If(x)IIIxIIIIfII=supIf(x)I=supIf(x)I.IIxII<1IIxII=1共轭空间(Banach空间)(Rn)*=Rn,(lp)*=lq，(Lp[a,b])*=L,H*=H.基本定理：延括定理：GuX是线性子空间，f:GuXta是线性有界泛函，则BFeX*,使(i)当xeG时，F(x)=f(x)；(ii)IIFIIx=IIfIIg.两个推论：(I)(Hahn一Banach定理)设Xl.n.s，VxeX，xW0，则BfeX*，IIfII=1，f(x0)=IIx0II.(II)设Xl.n.s，GuX是线性子空间，x0eX，d(x0,G)>0，则BfeX*，满足(i)VxeG，f(x)=0；f(x)=d；0IIfII=1.线性有界算子X1，X2——l.n.s，DuX1线性子空间，T:DuX2满足T(以x+Py)=aT(x)+0T(y).线性有界算子，算子范数.基本定理引理：(开映射原理)：若X1,X2是Banach空间，TgB(X1rX2)，且R(T)=X2，则T为开映射.逆算子定理：设X1，X2都是Banach空间，T:X1rX?满射，可逆的线性有界算子，则T的逆算子T-1是有界算子.闭图像定理：设X1，X2都是Banach空间，T:D(T)uX1rX2是闭算子，其中D(T)是X1的闭子空间，则T是线性有界算子.共鸣定理：设X1是Banach空间，X2是l.n.s.｛X.ligA｝是一族X1rX2的线性有界算子，则｛IITIIIigA｝有界oFxgX1，｛IITxIIIigA｝有界.强收敛与弱收敛l.n.s中的点列的强、弱收敛.若IIxrxIIr0，称｛x｝强收敛于x，记为xrx；若PfgX*，If(x)-f(x)Ir0，称xrx(弱收敛).有限维空间中，强弱收敛等价.弱收敛的判别(等价条件)xrxo(i){IIXII}有界；(ii)BM*uX*(稠密)，使PfgM*，If(x)-f(x)Ir0.n0算子列的各种收敛性：一致收敛：IIT-TIIr0；n强收敛：IITx-TxIIr0；n弱收敛：IIf(Tx)-f(Tx)IIr0，PfgX2*，xgX1.特别泛函列f:n(i)强收敛：IIf-fII—0(对应一致收敛)；(显)弱*收敛：IIfn(x)-f(x)II—0(对应算子列强收敛).共轭算子设X1，X2是同一数域A上的l.n.s.TgB(X——1X2），T*:X2*—X1*，如果对任何xgX1，fgX*，都有(T*f)(x)=f(Tx)或(x,T*f)=(Tx,f)成立，就称T*是T的共轭算子(也称伴随算子).共轭算子的范数：TX1X1*T*X*定理(共轭算子的范数)：设TgB(X1—X2),T*是T的共轭算子，则T*是X2*—X1*的线性有界算子，且有IIT*II=IITII.定理(共轭算子的性质)：(aT)*=aT*；(T•T)*=T*•T*；2112(T+T)*=T*+T*；1212I:X1—X2，则/*:X1*—X2*.自共轭算子H是Hilbert空间，若Vx,ygH,(Tx,y)=(x,Ty).T——自共轭算子.Th.(自共轭算子的充要条件)：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子oVxgH,(Tx,x)为实数.性质：(1)特征值为实数；（2）不同特征值的特征向量正交.投影算子：Px=x.(x=x+z,xgM,zeM1).000举例例1.设X],X2是l.n.s，Te(X1—X2)，则TeB(X1—X2)oT应某个内部非空的有界集为有界集。证：(u)设AuX,A0。中(A0是A的内部)TAuX2有界,取O(a,r)uA(vA0。中)，r>0,令p=supIITxll<8，xeAVxeX,x丰0,有a+rIIxII-1xeO(a,r)，因此IIT(a+rIIxII-ix)II<p可以推出r_IITxII=IIT(a+x)一TaIIIIxII/r<2pIIxII/rIIxII因此T有界。(n)显然成立。例2.设TeB(A—Y)，A是X的稠密子空间，Y完备，则3唯一的TeB(X—Y)，使得T=T,IITTI=IITII。A证：VxeX，取｛x｝uA,使x—x(n—8)。因IITx-TxII<IITIIIIx-xII故｛Tx｝是Y中的Cauchy列；由于Y完备，必存在limTx，记为Tx，这nn—8n与｛x｝的选取无关(事实上，若x，—x(xxeA)，取｛y｝=｛x,x',x,x'，…｝，nnnn1122y—x，则｛Ty｝为Cauchy列，Ty—Tx，则Tx—Tx)，这样就定义了一个算子T:X—Y，T显然是线性的，且T=T。由IITxII=limIITxII<limIITIIIIxII=IITIIIIxIIn—8nn—8n故IITll<llTII，故TgB(X—Y)。因VxgA,IITxll=llTxll<llTllllxII，故IITll<llTII，因此IIT~\\=llTIIo若有某SgB(X—Y)亦满足S|广T，则VxgX，取{x}uA,，使x—x，则Sx=limTx=Tx，因此S=T(唯一性得证)。ns例3.设X,Yl.n.s.，dimX=3，Y丰{0}，则存在无界线性算子T:X—Y。证：dimX=3，.•.可取线性独立的可数集A={x}uX,可设IIx产1,取y20,ygY，定义算子T:Tx=nyT可以自然的扩张到SpanA(如y=W+"gSpanA,Ty=aTxf+pTx"gY)。则x可以表示X=SpanAA©B，VxgB定义Tx=0，贝VT是一线性算子，Tg(X—Y)，因supIITxll>supIITxll=supIInyll=+3TOC\o"1-5"\h\zIIxll=1nn故T是无界算子。例4.设Tx=(x,x，…,x,0,0,..•)，Vx={x}g12。证明TgB(l2—12)，n12nnn求IITII。n证：TgB(l2—12)显然。IITxll=ll(x,x，…,x,0,0,…)II<llxII,因此nn12nIITll<1。另一方面，设{e}是12的标准正交基，则IIell=1，Te=e，故innnn1=llell=llTell=llTllllell=llTII，故IITll>1，故IITll=1。nnnnnnnn例5.给定agX(l.n.s.)，令中(T)=Ta(TgB(X—X))，证明中gB(B(X—X),求II中II。解：此题中，a是固定的，T成了“自变量”，中(以T+pS)=(以T+pS)a=侦Ta+pSa=以中(T)+。中(S)(T,SeB(X—X))可见中:B(X—X)—X是线性算子。由II中(T)11=11Tall<llTIlliaII(VTeB(X—X))得II中ll<llaII；.•.中eB(X—X)—X。取T=I，得IIall=llIall=ll中(I)ll<ll中llllIll=ll中IIIIall<ll里II；.•』中ll=llaII。例6.设X,Y是Banach空间，TeB(X—Y)是一个单射，存在{x}uX，使得IITxll<-IIxII(VneN)，证明R(T)在Y中不是闭的。证：用反证法。若R(T)在Y中闭，则R(T)作为Y的子空间是一个Banach空间，于是T:X—R(T)是一个线性等距同构(T是单射，x5,Tx丰Tx)，由逆算子定理知，T-1eB(R(T)—X)，这与以下事实1212相矛盾。IIT-i(Tx)ll=llxll>nIITxII.例7.设x是l.n.s,设{x}uX，VfeX*，产If(x)l<8，证明k=1£If(x)l<MIIfII。kk=1证：定义算子T:X*—l'(X*,l'均为Banach空间)，Tf=(f(x))。k若在X*中f—f，在l'中Tf—a=(ak)，则必有f(xk)—f(xk)=a^(n—8,VkeN)/.TF=a。于是由闭图像定理知TeB(X*,l')，即得证。,•』Tll<M，故VfeX*，IITfll<MIIfII.即£If(x)l<MIIfII。k

TOC\o"1-5"\h\z彳列8.设x是泌空间，Y是,TgB(XrY),supIf(Tx)\<connn(VxGX,/Gy*)，证明supII7ll<+00o证:VxcX，由supIf(Tx)l<co?则nsupIITxll<+co。nnnn>l(事实上，Vf5*，\f(T(x)l是有界的，3C>0，使\f(Tx)\<C(C'nfnff与f有关,而与〃无关)，作映射cp:7kT(7k)**eY**，然后再对｛『｝应用共鸣定理可得supIIT11<+8。nnn例9.设f：XTR是一非零线性泛函，证明：/有界=N(f)是闭子空间；y无界<^N\f)=X。证：/^0,:.N(f)jX。若f有界，则/•连续，因而N(f)二广1(0)是闭集(设TOC\o"1-5"\h\zCGN(f),x