北京大学2020年强基计划数学试题-版含答案

北京大学2()20年强基计划招生考试数学试题选择题共20小甄；在每小题的四个选项中，只有一项符合题口要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分..正实数X,%Z,加满足％2v27U和1+VW2(2+⑼，则£+：的最小值等于(D)前三个答案都小时(D)前三个答案都小时.在(2019xZOZO)2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数.则最多可选因数个数为(A)1G(B)31(C)32(D)前三个答案都不对.整数列{an}n>l满足«1=1,"2=4,且对任意74>2有—an^\(ln-\=2时I则做0如的个位数字是(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案都不对.设a.Ac,(I是方程/4+2〃+3/+41+5=0的4个复根，则忌+*+舄+痣<4十/。十/C十/4十/的值为2-3

2-3-B)2-3

2-3-B)(D)前三个答案都不对.设等边三角形A13C的边长为1,过点。作以/I”为直径的网的切线交A13的延长线与点£),AD>BD,则三角形BCD的面积为(A)埠圾(B)埠还，(C)吗奢(D)前三个答案都不对.设1，V,Z均不为(Zr+1)7T,其中k为整数，己知疝i®+z-i),sill(1+z-g),sin(x+V—z)成等差数列，则依然成等差数列的是(A)sinx,sinjy,sinz(B)cos%,cos?/,cosz(C)tanx,tan?/,tanz(D)前三个答案都不对.方程19t+93//=4题/的整数解个数为(A)4(B)8(C)16(D)前三个答案都不对.从园/+/=4上的点向椭圆。：亨+犷=］引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆。内不与任何切点弦相交的区域而枳为(A)f(B)f(C)f(D)前三个答案都不对.使得5工+12行<a(工+y)对所有正实数小y都成立的实数a的最小值为(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对.设P为单位立方体力以GLM1B1C◎上的一点,则尸4+尸a的最小值为⑸，年海(B)72+2^2(C)2—挈⑺前三个答案都不对.数列｛。埠｝耨>1满足山=I,a2=9,旦对仟意北巳1有在“十£=4为叶］—2an—20,其前h项和为Sn,则函数&的最大值等F(A)28(B)35(C)47(D)前三个答案都不对.设直线y=3/+中与椭圆喧斗(=1交于477两点，O为坐标原点।则三用形QAB面积的最大俏为(A)8(B)10©12(D)前三个答案都不对13,正整数『£>3称为理想的.若存在正整数1£*三"-1使得C^~\4C廿】构成等差数列，其4二扇*为组合数，则不超过202()的理想数个数为(A)40(B)41(C)42(D)前三个答案都不对14,在△八国7中，Z-4=150°.4,D»…D期却依次为边BC上的点，H町=小口工~。汨3=,+,=绅用=。期口(\设/艮4Z?i=<t|,Z^D\AD2=n展…t"刈a加乳=口利如/必皿金c=口.，则，窗;X二郛翦的值为(A)忐(B)薪(C)忐①)前三个答案都不对.函数j3+2v<ic0«H+i：o«"J+ -2v/3(^)sfl+cos24-1shi20的最大值为(A)松卡。(B)2?2+v/3©6+A/5(D)前三个答案都不对.方程，£+5-4>/^1+7'*+2-2\<FTT=1的实根个数为(A)l(B)2(C)3(口)前三个答案都不对17,昌五边形百伙/用的对角线C*分别与对角线HJ)和AD交于点P和己知BF:FD=5AG:CD=I■.1,CF:FG.GE=2.2;3,S^cfd和S^AJiE分别为△CFO和△ABE的面积，则S^cfd：Sawm的值等于(A)8:15(B)2：3(C)11：23(D)前三个答案都不对18,设p,q均为不超过1U0的正整数.则有有理根的多项式〃幻=*+联：+］的个数为(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对19.满足对任意n“有2=2"-30n且严格递增的数列&｝*i的个数为(A)0(B)l(C)无穷名个(D)前三个答案都不对2a设函数八不也力=|+走一左，其中小以方均为正实配则有(A)『既有最大值也行最小值(B厅有最大俏但无最小值(C”力最小位但f士大4也卬,前三个答案都不对专注名校自主选拔解析：如图所小，l<C7--CM则根据比例可褥WT〃皿则可；=例=I,因为《；为/⑺中市Gl)GM2因此八O—OG」GD・Ml)-4HE2 5Ml)2OE,则OI.:2/%.不妨4q \1W.，S则又皿=2Sj=4.S…=4x；=.因此•%〃〉“皿=8:15.故选A..设p.q均为不超过100的正整数，则有行理出的名项代/(.v)=f+"+g的个数为(A.99 B.133 C.I5OD.冏三个答案都不对解析：内为/(*='、+"+“仃仃理根.则仃理根必小卜零设立=一"，IL(n“)=l.则一U—四+4=0“ nn则 一〃/+p〃i〃'，显然n|nt»［Al为(/〃.〃)-1，则〃=1,故4一〃「+nip因为“=，〃+〃;”4KX).故IW，〃£2m1时.(7-1+〃(1(冷,闪此I4g499.其99组“力〃=2IU,q=32+2〃Wl()O，故1三〃三34.共34组综上所述：满足条件的(〃M)K133组，应选B.TOC\o"1-5"\h\z.满足对任意〃21有%=2”-%"L严格通用的数列的个数为( )A.OB.lC无方/个I).IW•:个答案都不对鳏析：内为《川=2”-而“，则黑=-1・3+:一 —MB则畀［=€(会［).则会］=(用佟］>则4=1■+Hk-“'必=(时.满足产格递用.当“尸(时，公出现II负文件,不满足，故逃B..没加数二)=—+二一+二一•其中、.、.二均为仁义数•则TT' >工+VV+2 Z4-.VA./既仃最大侑也仃及小值 B./仃最大值似无及小值专注名校自主选拔则、ina、in〃亡・刖岭江的他为《sina:sinu4---sina二2101(1202()— D.前三个捽案都不对2021,解析：正弦定理HD=〃，sinaxsinIfHD=〃，sinaxsinIfsinu:sin//, “因此更吗二Ml二同！*二皿sina,sin(ksina.sin(i.Hl1：.///sinli2021/;?sinli、in"•心AC2021-4CntA!\mAl)}jBC-singCE1■2021・AC*2021MC,4042'i”m故选I)15.函数/(〃)-丫3+2瓦oQcZOi/2石cm〃，c<))275/〃的最人值为( )A.6+6氏20QA.6+6氏20QC.8+26D.前二个答案都不对易知上出=：时.3・ +4因为〃〃)_拒- +«-26c。、〃+cZ〃+4$而0下而证明/(")<yJ22Vqo百十一cos0>\J52x/Jcc、"+co、〃十4、in〃T;j1*1;ill:4sin,^4-2^2cos4/<276，因为4、in812&cos，)4/n”>272cosf)=2>/6sin(<?+^>)^2>/6两个等号不同时成立，故4siif0-2拒cos〃v2«,则选D.16.力卬J；4二』JTT|+/+2-2Gt=I的实限个数为( )A.I B.2 C.3 D.前•:个答案都不对邢析：山虺意河行|GT-1+|Gi-l|二lM11<7771<2Ibj.匕C恒为1.故迄D..I7jui/［边形八依7儿的对角线Cl：分加j对角线M)filAD文1点F和G.l2知HF:FD=5:4,zAG:GD=I:\.CF:FG:G£=2:2;3,S“,〃和又如分别为ACFD和MBE的而枳,则S“〃)：S\w的值等于( )A.8:15B.2:3A.8:15B.2:3C.11:23D.曲三个冬案都不对专注名校自主选拔A.X B.10 C.12 D.前二个答案部不对解析一：直按计算收<//fY«fW24Lr+15(J/nv+25/jr-400-0TOC\o"1-5"\h\z则人〃—汨**』一厢x速正巨〃二嵯'J 241 丽। on d=：^/r(24l"J品10.故而枳的最人值为10,故选B.— —fI解析二：仿射变换不妨设、=X.£=y,则x)+尸=1.I1线为4y=i5x+i5 4则51恒-20SWIU•收而枳的坡大他为10•故选H.13.亚整数，亚3称为沃坦的,工疗”「当数I4AY〃一I使，构成等左数列,JL-«PC：二，加、为组介数.则不超过2。20的理想数个数为( )妇(〃-k)!A.40 B.4I C.42 I).前三个答案都不时解析：由幽意可得c〔CC"构成笠度数列则2c=(')+《”•化忙何行〃：一(必+1)〃+以-2-()以k为E元条理必？一4m+〃？-〃-2=0,则人-a2则〃+2为完全平方数,则〃-2=〃二则442，〃23若k=二叵==("T").囚为，〃-2、，“+1奇偶性相反故则对「任意442，〃23部满足题急-Hi\n♦2IH：4m-2W+2)(J”T) .. un-.k= = =1 .囚为m+Zm-1奇偈件相反一—一故则对广(工宜44N”足3都满足题急综上：满足题意的142个.故选C14,/rAAKCd1.乙一15()・f).J)"心依次为边WI.的点.II,R1)-/>/>>.-/Z/>-•一 J ■ * —尸。”・"入「1~/人空,设/BAR4"=〃、.・・・./D、"AD、m 心•

专注名校自主选拔B.D专注名校自主选拔B.D.前一个答案都不对cos0cos0-vsin〃•\・=I- 十——r一如图所示，设£"（28s〃.2sin〃）则“门线方f7为ccs-v+23】〃、=I由「二♦匚二1，1：点（“cos〃质in。）的切线方H为a'〃・则〃=[.〃=；,因此C6〃..\I2、in〃・.v=1为树心Ur♦4r:=1的切线系方H山肺圆的面枳可寻万仙-£.故选A.9.便得"+]2历＜〃（'+、）《：所仃小:实数Q都成江的实战〃的最小曾为（A.S B.9 C.10 D.何二个答案都不对解析：待定系数TOC\o"1-5"\h\z5a+12Jx\=5.i,12.i//rv•上<(5+6/n).v+—y,令5+6，〃=—./〃=二Xm m m3则5112历*"+>).则汩幽S9-9.故选B..v+v.收。为单位立方体WJ-A司,。上的•点,则/八+”：的最小值为（ ）A.也+6B.V2+2V2C.2一当 D.前三个苕案都不对解析：鼓小值为立•故选D.数列满足4=1.%二9・11对仃.◎〃214q.、=4«,“&/“20•儿中丽〃J贞后:为S..则倒数s.的从大值等r（ ）A.28 B.35 C.47 D.前三个答案都不对解析：囚〃”.4* 2),明〃-10=3(%——⑼故《「q=10-2乂?1•则当〃23时•数列为单调递减数列可求得可=1&a=5.寸〃之5时•"CO.则S”的几大由为另=28,故选A..设“线\・二3一〃Jj桶阳:+'二】交]A.li两点.。为坐标琮户,则：向行‘1勺而取的髭大值为（

专注名校自主选拔则laiiA±lanz21却.v•收惑C.7.方程19.\+931=4.\)的繁数解的个数为( )A.4 B.8 C.I6 D.前三个答案都不对解析：固式分解与整除因为卜八.93\4at.W»J(4v-93)(4v-19)=93x19=3x19x314v-14v-19=1 r=5则「 ，此时「4.1-93=93*19 x=4554r-19=-1则• •此时无解.4.v93=93丫194v-l9=3则4a9331x19八一197 ' =4此时无解：则' .此时“4a-93=-3IxI9a=-I244v-l9=3则4a9331x19八一197 ' =4此时无解：则' .此时“4a-93=-3IxI9a=-I244v-I9=I9 4V-I9=-I9则］ ，此时尤解:则4.93=93 4a-93=-93则八19=31，此时无解；则，4.v-93=574v-】9=-31,此时H3=-57v=-3x=94v-l9=57v=!94v-I9=-57则，此时4.v-93=3l4V-2=93.•v=31v=28则，,此时无解.4x-93=-3I4v-19=-93则，,此时4,v-93=194v19=31x)9：则］a=28r=l52，此时无一4x-93=-194v-19=-3lx|9则，，此时4,r-93=3 .r=2.4则4.r-93=-3，此时无解4Z9匚19x93则4,v-93=!4\-19=79x93 v=-437此时无解：则《. ，此时「4v-93=-I .v=23故共8然造B解析二：同余因为1%+93y=4at•则(41・一93)(4y-19)^93x］9=3x19x31因为-93三3(in(>d』)•4v-l9=1(iik)i14)4.v93=3.19.31.1767.I.57.93.5894v-19=...故大8扎选B.&从圆V+『=4上的点向怖国。：1+，=1，；|切线，两切,响的线盘成为打点弦，则梢视c内不，任何切点弦相交的। 枳为专注名校自主选拔从aJF始周期为24.则处小的个位故字是8,故选A.4.设a.b.c.d是力行Y+2v+3a2+4、+5—()的4个U根，则—+空1+」——的值〃+2〃+2c+2d+2为()A.-： B,-j C.1 D.前：个答案都不对解析：由虺意"J力$=a+〃+c4d=-2・p-ab4ac4ad+〃「+〃/+cd3. .. .,. . ....Aa-\ -1e-1d1TOC\o"1-5"\h\zq=uiK'and>acd+bed=-4•;•=abed=5.lxm= +——-+ +«+2〃+2«・+2d+2则〃j=4-jf--—+——――-—+―■-1,只:k—■———■—――■—+一-—,2b-2(+2(1-2) a+2b«2«+2d2,.(1Illiy(Z>i2)(c+2)(J+2) ”32+12$+4〃 16.+2〃+2，+2，/+2(a+2)(〃+2)(c+2)["+2)1+16+2q+4〃+8、9故〃一4一号由此可得选A.5,设等边三角形八/元的边长为1.过点C作以A8为H径的网的切线交/仍的延长线「•点O.AD>HD.则:角形8。的面枳为(.6历-3& 口4拒-3石A. n.16 16解析：如图所示，其中= =：・co=—.Wi]ci:=—从而可得也=更,放。。="OCCE 4则5…•故选仁16)C.36一?& D.前一个答案都不对16<()〃"TOC\o"1-5"\h\z6.设、，工均不为|k+g'jt.H'l1A为貂数.I」知、i【】(.v+1-.i).、in(.i+1-y).、in(.v+.v-二)成等军数列.则依然成第冷数列的拈( >A.sina.siny.sin; B.cosa.coswcos:C.Uin.v.timv.tanc D.lit,.个辞案都不对斜析：因为23n(.v+二-y)=、in(v+:-工)+*in(・1+、一二)「2sinycos(.v-r)则\in(r+：)c()、\-cc、(v-")sinysinycos(v-7)则sinf.i+二)cos\=siny\cos(a+:)+cos(.v一二"-2sinvcos.vcos二

专注名校自主选拔I.止实数v.w.记满;LCv>IL.v-fy《2（m・十三）,则州一：得以小值等「（.1 5A.- B.' C.l D.liiJ:个答案都不对4 8解析：因为n+.\・S2（m・+1），则i>匕;二更hillW二.X+\・2”、MAWIAIV-SI川］———>—+: =—+ 4--=--+—+江 .Vy.V2ya2yy22y2.vrTOC\o"1-5"\h\z、a 1 v-.v.v I v-a x x If； I2