初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案

初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案一、选择题1.今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是()A.20000(1A.20000(1+x%)2=16000C.20000(1+2x%)2=16000B.20000(1-x%)2=16000D.20000G-x2%)=16000【答案】B【解析】【分析】已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.【详解】解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即20000(1-x%)2,进而可列出方程：20000(1-x%)2=16000故选B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1土x%)n=b的应用，理解公式是解决本题的关键.2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(。/0),下列说法：①若b=2弋ac，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2-bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2,其中正确的()A.只有①②③ B.只有①②④ C.①②③④ D.只有③④【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式』b2-4ac的值的符号就可以了.④难度较大，用到了求根公式表示”.【详解】解：①若b=2V£，方程两边平方得b2=4ac，即b2-4ac=0,所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2-4ac>0方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac>0,所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c工0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得％0=-" 4a,把x0的值代入(2ax0+b)2,可得b2-4ac=(2ax0+b)2,综上所述其中正确的①②④.故选：B.【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用.尤其是④难度较大，用到了求根公式表示为，整体代入求b2一4ac=(2ax+b)2.0总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>00方程有两个不相等的实数根；△=0o方程有两个相等的实数根；△<0o方程没有实数根..方程x2+x-1=0的一个根是( )A.1-S B.一 C.-1+S D.「【答案】D【解析】【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断.【详解】a=1,b=-1,c=-1,；.△=b2-4ac=12-4x(-1)=5,故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则..某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()A.x(x+1)=1892B.x(x-1)=1892x2C.x(x-1)=1892D.2x(x+1)=1892【答案】C【解析】试题分析：•・•全班有X名同学，・•.每名同学要送出(X—1)张；又•・•是互送照片，・•・总共送的张数应该是X(X—1)=1892.故选C.点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键..方程％2—5x=0的解是()A.x=一5 b.x=5 C.\=0,x2=-5 D.\=0,x2=5【答案】D【解析】【分析】提取公因式X进行计算.【详解】提取公因式X得：X(X-5)=0,所以x1=0/2=5.故本题答案选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.用配方法解方程x2+6x+4=0时，原方程变形为()A. (x+3)2 =9 B. (x+3)2=13 C. (x+3)2 =5 D. (x+3)2 =4【答案】C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断.【详解】解：方程配方得：X2+6x+5+4-5=0,即(x+3)2=5.故选：C.【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键..如图，AC±BC,AC：BC=3：4,D是AC上一点，连接BD,与NACB的平分线交于点 8 一 32E,连接AE,右S=-,S=—，则BC=()AADE3 卜BCE 3

A.4<3 B.8 C.5<3 D.10【答案】B【解析】【分析】过E作EF±BC,EG1AC,垂足分别为F,G,由角平分线的性质可得：EF=EG,利用8c32,dAD,S丁§,SAbce=T可以求得五,进而求得SACDE,SaBCD的面积,利用面积公式列方程求解即可.【详解】解：如图，过E作EF1BC,EG1AC,垂足分别为F,G.QCE平分/ACB,「.EF=EG,QAC:BC=3:4,设AC=3x,BC=4x,32工'32工'QS=8,SAADE 3 ABCE1 81 32—AD•EG=-,-BC•EF=——,2 32 3ADBC:.SACDE:.SACDE—2SAADE16・•・s-吗32-16.abcd3 31•2x•4x—16,2・二x―2,（负根舍去）」.BC—4x—8.故选B.【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键.8.已知，m，n是一元二次方程x2—3x+2=0的两个实数根，则2m2—4mn—6m的值为()A.8 B.10 C.-8 D.-12【答案】D【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2-3m=-2,则2m2-4mn-6m=2(m2-3m)-4mn=-4-4mn,再根据根与系数的关系得到mn=2,然后利用整体代入的方法计算.【详解】•二m是一元二次方程x2-3x+2=0的实数根，二m2-3m+2=0,二m2-3m=-2,；.2m2-4mn-6m=2(m2-3m)-4mn=-4-4mn,•••m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根，,mn=2,；.2m2-4mn-6m=-4-4x2=-12.故选：D.【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若Fx2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aM)的两根时，x1+x2=--,xx=c.12a12a9.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m—1的图象不经过第()象限.A.四 B.H C.二 D.一【答案】D【解析】【分析】【详解】・•一元二次方程X2-2x-m=0无实数根.、△=4+4m<0,即m<-1•・一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限截距m-1<0，则图象与y轴交与负半轴，图像过第三象限•・一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限，故选D.10.已知x「凡是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是()1 2 ,A.x。x b.x2—2x=0 c.x+x=2 d.x,x=2【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】0、X2是一元二次方程X2-2x=0的两个实数根，这里a=1,b=-2,c=0,b2-4ac=(-2)2-4x1x0=4>0,所以方程有两个不相等的实数根，即\。x2，故a选项正确，不符合题意；x2—2xi=0，故B选项正确，不符合题意；b —2。x+x=_—=一==2，故c选项正确，不符合题意；1 2a1cx，x=—=0，故D选项错误，符合题意，2a故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键., 3八.若关于x的一元二次方程kx2—x—-=0有实数根，则实数k的取值范围是()4A.k=0 B.k>—3 C.k>—3且k。0d.k>—3【答案】C【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0.【详解】, 3八•・•关于x的一元二次方程kx2-x-=0有实数根，4/.△=b2-4ac>0,即：1+3k>0,7 1解得：k>-3,•・•关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中kN0,故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况..用配方法解方程：x2-2x-3=0时，原方程变形为()A.(x+1)2=4 B.(x-1)2=4 C.(x+2)2=2 D.(x-2)2=3【答案】B【解析】试题分析：将原方程的常数项-3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1,方程左边利用完全平方公式变形后，即可得到结果.解：x2-2x-3=0,移项得：x2-2x=3,两边加上1得：x2-2x+1=4,变形得：(x-1)2=4,则原方程利用配方法变形为(x-1)2=4.故选B..关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是()A.a>1 B.a=1 C.a<1 D.a<1且a/0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是aM；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a的不等式，求出a的取值范围.【详解】解：由于原方程是二次方程，所以aM；•・•原方程有两个不相等的实数根，.,.△=b2-4ac=4-4a>0,解得a<1；综上，可得a/0,且a<1；故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1也>00方程有两个不相等的实数根；(2也=0=方程有两个相等的实数根；(3也<0=方程没有实数根.14.已知\、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是( )A.x1^x2 B.x1+x2>0 C.xjx2>0 D.x1<0,x2<0【答案】A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出4〉。，由此即可得出xFx2,结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出xjx2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出xjx2=-2,结论C错误；D、由xjx2=-2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.综上即可得出结论.详解：AVA=(-a)2-4x1x(-2)=a2+8>0,.,.xFx2，结论A正确；B、。'、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，Ax1+x2=a,•二a的值不确定，AB结论不一定正确；C、。％、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，Axjx2=-2,结论C错误；D>Vx1»x2=-2,Ax1<0,x2>0,结论D错误.故选A.点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当4>0时，方程有两个不相等的实数根〃是解题的关键.15.某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%,2018年比2017年产量的增长率为x,2018年底产量达到144吨，则x满足( )A.100(1+x)2=144 B.100(1+8.1%)(1-x)=144C.100(1+8.1%)+x=144 D.100(1+8.1%)(1+x)=144【答案】D【解析】【分析】由题意知，2017年蔬菜产量为：100(1+8.1%),2018年蔬菜产量为：100(1+8.1%)(1+x)，然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.【详解】解：•・•某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%,A2017年蔬菜产量为：100(1+8.1%),V2018年比2017年产量的增长率为x,2018年底产量达到144吨，A2018年蔬菜产量为：100(1+8.1%)(1+x)=144,故选D.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为( )A.8(1-x)=5.12 B.8(1+x)2=5.12C.8(1-x)2=5.12 D.5.12(1+x)2=8【答案】C【解析】【分析】一般用降低后的量=降低前的量x(1-降低率)，降低前的价格设为1,则第一次降价后的价格是(1-x),第二次降价后的价格是(1-x)2,可得出方程.【详解】设平均每次降价的百分比为X,则根据题意可得出方程为：8(1-x)2=5.12；故选C.【点睛】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“土〃号选"+〃，当降低时中间的"士〃号选"-〃)..已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2和3,则关于x的一元二次方程ax2—bx一c=0的根为().A.一2,-3 B.-6,1 C.2,-3 D.一1,6【答案】B【解析】【分析】由2,3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：b c2+3=--=-5,2x3=—=6；再根据问题的需要，灵活变形.a a【详解】bc因为2和3是方程ax2+bx+c=0的根，所以2+3=--,2x3=-；aaCc bb_故一兀一次方程ax2-bx-c=0的根满足x1x2=-1=-6①，x.+x_=-—=一=5②;12a 12aa将A、B、C、D的值代入①②式中，只有B项满足.故答案选B..方程x2-9x+14=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )A.11 B.16 C.11或16 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得.【详解】Vx2-9x+14=0,.,.(x-2)(x-7)=0,贝Ux-2=0或x-7=0,解得x=2或x=7,当等腰三角形的腰长为2,底边长为7,此时2+2<7,不能构成三角形，舍去；当等腰三角形的腰长为7,底边长为2,此时周长为7+7+2=16,故选：B.【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键..对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号max{a,b}表示a、b中的较大的数，如：max{2,