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08-09工科数分(上)答案(A)LtDPAGE第4页共10页北京邮电大学2008——2009学年第一学期《工科数学分析》期末考试试题(A卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.极限.解答：2.当时,的最大值是.解答：3.设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于.解答：24.已知则.解答：.又因为故当时有由此知.两边取极限得,故.四、(10分)设抛物线过原点,且当时,.又知该抛物线与直线及轴所围成的图形面积是.求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积V最小.解:由于抛物线过原点,所以c=0.由围成图形的面积可知,整理得,即于是旋转体体积令,得唯一驻点,又知该问题存在最小值,故当时旋转体体积最小.五、(7分)设在上连续，在内可导,且求证：使得.证明：令则在上连续，在内可导,且.故由罗尔定理：使得，而,因此.六、(7分)设证明证明：设当时因此函数严格单调递增，且从而当时,七、(12分)(本大题共两个小题，每小题6分)(1)求摆线第一拱的长度.解:(2)判别积分的敛散性.解：为的奇点..因为，而收敛,故收敛；又因为，，且收敛,所以绝对收敛.综上所述，可知收敛.八、(10分)求微分方程的通解,以及满足条件的特解.解：(1)特征方程，特征根，故所对应的齐次线性方程的通解为注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为其中分别为方程(1)(2)的特解.由于不是特征根，故设的特解为则代入(1)比较系数得于是的特解为由于不是特征根，故设的特解为代入(2)比较

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