第6章无限冲激响应(IIR)滤波器设计

第6章无限冲激响应(IIR） 滤波器设计6.1滤波器的基本概念；6.2模拟低通滤波器设计；6.3模拟高通、带通及带阻滤波器设计；6.4冲激响应不变法；6.5双线性Z变换法；6.6数字高通、带通及带阻滤波器设计；11.滤波原理6.1滤波器的基本概念2若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将有效去除.分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)2.滤波器的分类经典滤波器加法性噪声3每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,转移函数分别为:FIRDF:IIRDF:分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)4现代滤波器维纳滤波器是这类滤波器的典型代表种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。53.滤波器的技术要求低通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减:通带容限；：阻带容限；决定于63.滤波器的技术要求低通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减:通带容限；：阻带容限；决定于7单位(dB)若在处幅度下降到0.707,则幅平方下降0.5（半功率点）：若在处幅度下降到0.01：8高通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减9带通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减ω1ω3

ωslωshω1ωslωshω310带阻：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减ω1ω3

ωslωshω1ωslωshω3ω11数字滤波器设计的一般步骤:1.给定所设计的滤波器的技术指标：LP,HPBP,BS2.设计出一个，使满足给定的技术要求没有考虑相位？如何设计阻带起始频率12给定数字滤波器的技术指标（更多）得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器？得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器？转换成模拟低通滤波器的技术指标？设计模拟低通滤波器？转换成模拟滤波器的技术指标（更多）？数字IIR滤波器设计的步骤：136.2模拟低通滤波器的设计一、概述1415将按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的表达式：1.巴特沃思(Butterworth)滤波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器163.切比雪夫II型滤波器4.椭圆滤波器：Jacobian函数本课程只讨论Butterworth和Chebyshev-I 滤波器的设计17二、Butterworth滤波器的设计1.将实际频率归一化，得归一化幅平方特性2.求和由：有：求出二式相除18对Butterworth滤波器，通常，所以如何由上述的幅平方特性得到系统的转移函数？193.确定20即个极点均匀分布在平面半径为1的圆上，应取左半平面的个赋予，右半平面的个赋予？21则：2223反映了实际频率244.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:25“最平”幅频响应滤波器.26例：给定如下技术指标，设计模拟低通 Butterworth滤波器Step1.

Step2.

Step3.

阻带起始频率解：27Step5.

Step4.

28三、切比雪夫I型模拟低通滤波器设计切比雪夫多项式的特点：令：双曲余弦29

的多项式所以：30的确是的多项式首项系数是31切比雪夫多项式用于滤波器设计时，自变量换成归一化频率。32n为奇数时,过零点，33设计步骤：2.求和为求滤波器的阶次，还要利用另外的条件：34利用另外的条件：则35归一化转移函数(6.2.33a)36等式两边虚部与虚部相等，实部与实部相等3738最后导出极点:切比雪夫滤波器的极点分布椭圆39切比雪夫滤波器的极点分布40最后：

反映了实际频率41模拟高通,带通,带阻滤波器设计流程6.3模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标频率转换低通滤波器技术指标得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换42一、模拟高通滤波器的设计想办法实现高通到低通的转换：低通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标：先作频率归一化：43或44由：如何：？（HP）实现：设计出（LP）归一化高通滤波器的复变量归一化低通滤波器的复变量45得：于是得到了模拟高通滤波器的转移函数后面带通、带阻滤波器和低通滤 波器间的转换过程大体相同。46对带通滤波器，如何实现频率的归一化？二、模拟带通滤波器的设计定义：有：然后实现带通滤波器技术指标向低通滤波器技术指标的转换。关键问题是找到对应关系：用带宽归一化定义：通带的中心频率474849整理得：N阶低通滤波器转换到带通后,阶次变为2N.50三、模拟带阻滤波器的设计带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波器定义：有：用带宽归一化5152得到：及带阻滤波器的转移函数：以上讨论的是模拟低通、高通、带通及带阻滤波器的设计，然而这并不是我们的目的。我们的目的是设计数字滤波器。首要的问题是如何将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，最后再实现模拟滤波器到数字滤波器的转换。536.4用冲激响应不变法设计IIRDF给定数字滤波器的技术指标（更多）转换成模拟滤波器的技术指标（更多）转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器得到模拟高通、带通、带阻滤波器得到数字高通、带通、带阻滤波器？54利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器最直接的方法，将：利用：？55但这样做，将不再是的有理多项式，给极－零点分析带来困难。怎么办？？令：冲激响应不变法模拟滤波器单位冲激响应数字系统单位冲激响应频率响应传递函数56例如：若57基本转换单元：58步骤:线性转换关系59缺点:？？606.5用双线性Z变换法设计低通IIRDF频域的混叠61放弃上一节的线性转换关系，找新的关系，满足：只映射为平面的单位圆一周(1)S平面的整个（2）G（S）稳定，相应的H（z）也应稳定(3)映射是可逆的，满足以上条件的映射关系：双线性z变换62非线性关系，但是一对一的转换636465DFLP的设计步骤：Step1.Step2.频率转换：Step3.Step4.66所以：So：系数可省略，双线性Z变换可定义为：这一组定义和前面的定义，对最后的DF而言，结果是一样的，区别是中间设计的AF，由于缺少了频率定标，将无法给出符合要求的幅频响应。67例6.5.1：设计IIRLPDF，给定及可求出：【解】(1)(2)68求出：幅频响应曲线见书P.245由：691．buttord.m确定LPDF、或LPAF的阶次；（1）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)；（2）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)：与本章内容有关的MATLAB文件(1)对应数字滤波器。其中Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值在0～1之间，1对应抽样频率的一半(归一化频率)。对低通和高通，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻，Wp,Ws是1×2的向量。Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。(2)对应模拟滤波器，各变量含意和（1）相同，但Wp,Ws及Wn的单位为弧度/秒，它们实际上是频率。702．buttap.m设计模拟低通(Butt)原型滤波器。[z,p,k]=buttap(N):N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z,p,k是设计出的极点、零点及增益。3．lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带通及带阻滤波器。b,a是AFLP的分子、分母的系数向量，B,A是转换后的的分子、分母的系数向量；(1)中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；[B,A]=lp2lp(b,a,Wo)[B,A]=lp2hp(b,a,Wo)(1)[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)(2)(2)中Wo是带通或带阻滤波器中心频率，Bw是其带宽。714．bilinear.m：双线性变换，由模拟滤波器得到数字滤波器。[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B,A分别是G（s）的分子、分母多项式的系数向量，Bz,Az分别是H(z)的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。725．butter.m用来直接设计Butterworth数字滤波器，实际上它把buttord.m,buttap.m,lp2lp.m,bilinear.m等文件都包含了进去，从而使设计过程更简捷。格式(1)～(3)用来设计数字滤波器，B，A分别是H(z)的分子、分母多项式的系数向量，Wn是通带截止频率，范围在0～1之间。若Wn是标量，(1)用来设计低通数字滤波器，若Wn是1×2的向量，则(1)用来设计数字带通滤波器；(2)用来设计数字高通滤波器；(3)用来设计数字带阻滤波器，显然，这时的Wn是1×2的向量；格式(4)用来设计模拟滤波器。

[B,A]=butter(N,Wn);(2)[B,A]=butter(N,Wn,’high’);

(3)[B,A]=butter(N,Wn,’stop’);(4)[B,A]=butter(N,Wn,’s’)73例6.7.1(例6.5.1)clearall;fp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Fs=Fs/Fs;%letFs=1%Firstlytofinishfrequencyprewarping;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);%[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s')%Note:'s'![z,p,k]=buttap(n);%[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)%[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)%%Note:s=(2/Ts)(z-1)/(z+1);Ts=1,thatis2Fs=1,Fs=0.5;[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2)%[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h));gridon;设计IIRLPDF，74例6.7.1(例6.5.1)clearall;wp=.2*pi;ws=.6*pi;Fs=1000;rp=3;rs=20;%%Firstlytofinishfrequencyprewarping;wap=2*Fs*tan(wp/2);was=2*Fs*tan(ws/2);[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%Note:'s'![z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)w1=[0:499]*2*pi;h1=freqs(bs,as,w1);[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs)%Note:z=(2/ts)(z-1)/(z+1);[h2,w2]=freqz(bz,az,500,Fs);plot(w1/2/pi,abs(h1),w2,abs(h2),'k');gridon;设计IIRLPDF，75例6.7.1(例6.5.1)clearall;wp=.2*pi;ws=.6*pi;Fs=1000;rp=3;rs=20;[n,wn]=buttord(wp/pi,ws/pi,rp,rs);[bz,az]=butter(n,wp/pi)[bz1,az1]=butter(n,wn)[h,w]=freqz(bz,az,128,Fs);[h1,w1]=freqz(bz1,az1,128,Fs);plot(w,abs(h),w1,abs(h1),'g.');gridon;设计IIRLPDF，76非线性关系设计的AF并不是按给定的技术指标，但当再由变回后，保证了DF的技术要求。又称为频率的预变形（Freq.Warping)。例如：抽样频率77

给出数字高通的技术要求

得到模拟高通的技术要求得到模拟低通的技术要求设计出得到模拟高通转移函数最后得到数字高通转移函数数字高通滤波器设计步骤7.6数字高通,带通及带阻滤波器的设计78对带通（BP）、带阻（BS）数字滤波器的设计，只需改变图中Step2和Step4：带阻带通79要求：按上述转换办法，可以求出：例6.6.2：设计一IIRBPDF,要求：通带频率范围：300Hz~400Hz;阻带频率范围：200Hz、500Hz801．buttord.m确定LPDF、或LPAF的阶次；（1）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)；（2）[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)：与本章内容有关的MATLAB文件(1)对应数字滤波器。其中Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值在0～1之间，1对应抽样频率的一半(归一化频率)。对低通和高通，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻，Wp,Ws是1×2的向量。Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。(2)对应模拟滤波器，各变量含意和（1）相同，但Wp,Ws及Wn的单位为弧度/秒，它们实际上是频率。812．buttap.m设计模拟低通(Butt)原型滤波器。[z,p,k]=buttap(N):N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z,p,k是设计出的极点、零点及增益。3．lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带通及带阻滤波器。b,a是AFLP的分子、分母的系数向量，B,A是转换后的的分子、分母的系数向量；(1)中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；[B,A]=lp2lp(b,a,Wo)[B,A]=lp2hp(b,a,Wo)(1)[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)(2)(2)中Wo是带通或带阻滤波器中心频率，Bw是其带宽。824．bilinear.m：双线性变换，由模拟滤波器得到数字滤波器。[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B,A分别是G（s）的分子、分母多项式的系数向量，Bz,Az分别是H(z)的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。835．butter.m用来直接设计Butterworth数字滤波器，实际上它把buttord