(专题)勾股定理相关模型(含答案解析)

模型一：勾股树模型例1.11.如图，以Rt△血C的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若卫讣,则图中阴影部分的面积为()A.25B.—25C.—A.25B.—25C.—D.5【答案】D【解析】【分析】先用直角三角形的边长表示岀阴影部分的而积，再根据勾股定理可得：AB-=ac2+bc1,进而可将阴影部分的面积求出.【详解】解：=^AC2+^BC2+^AB2=^(AB2+AC2+BC2),•・•在RtZABC中，ABS+Bd=(⑸=5,.,..is2+^c2+bc2=io,S阴形——X10=5.故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理的知识，能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的而积之间的关系是解决本题的关键.变式1.1-12.如图，分别以RtAJBC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为Si,S2,S3.若Si=36,52=64,则S3=()

S2.A.8C.80D.100S2.A.8C.80D.100【答案】D【解析】【分析】由正方形的面积公式可知Si=AC2,S2=BC2,Ss=AB2,在RtZABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即Si+S2=S3,由此可求S3.【详解】解：•・•在RtDABC中，AC2+BC2=AB2,又由正方形面积公式得Si=AC2,S2=BC2,S3=AB2,•••S尸S1+S2=1OO.故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理及正方形而积公式的运用.关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的而积.变式1.1-23・三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为（）【答案】D【解析】【分析】己知四边形OGMN和四边形OECD是正方形，而枳分别为64和100,即可求得OG和OD的长，再利用勾股定理即可求得GD的长.【详解】•・•四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100.e.OG2=64,OD2=100OG=&OD=10

-GD=yJOD2-OG2=V102-82=6故而积为A的正方形的边长为：6故选:D【点睛】本题考查了正方形的基本性质，四边形各边相等，面积等于边长的平方,本题还考查了利用勾股定理解直角三角形.例124•下图是一株美丽的勾股树，其中所右•的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的而积之和是C.72cm2D.108cmC.72cm2D.108cm2【答案】D【解析】【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的而枳和等于最大正方形而枳的3倍.【详解】根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是

F的而积；而EZF的而积的和是G的而积.即A匚B二C二D匚E3F的而积之和为3个G的面积.TM的而枳是62=36cm2D・•・A匚BZCEDZEZF的而积之和为36x3=108cm2D故选D3【点睛】考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的而积公式证明结论：6个小正方形的面积和等于最大正方形的而积的2倍.变式1-2-1如图，这是一株美丽的勾股树，所有.的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形丄、B、C、Q的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的边长是（）A.13B.A.13B.何C.47D.VT3【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为X、〃最大正方形£的边长为z,根据勾股定理进行求解.【详解】设中间两个正方形的边长分别为心丿，最大正方形£的边长为z,由勾股定理得：x2=32+52=34,尸=2?+32=13,z2=x2^=47,即最大正方形疋的而积为：z2=47,边长为z=妬,故选B.【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的而枳等于两个以直角边为边长的正方形而枳之和是解题的关键.变式1.2-2有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生岀两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长''后，变成了上图，如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算岀“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A.1B.2021C.2020D.2019【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律，根据规律解答即可.【详解】解：由题意得，正方形A的而积为1,由勾股定理得，正方形B的而积+正方形C的而积=1,・•・“生长'‘了1次后形成的图形中所有的正方形的而积和为2,同理可得，“生长''了2次后形成的图形中所有的正方形的而枳和为3,・•・“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的而积和为4,・•・“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,

【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a«+尸=49勾股定理x—y=2小正方形边长=长直一短直2卩，+4=49«+尸=49勾股定理x—y=2小正方形边长=长直一短直2卩，+4=49面枳算两次例2.1设直角三角形的较长直角边长为X,较短直角边长为儿若罚=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）模型二：赵爽弦图模型赵爽弦图的由来：三国时期吴国的数学家赵爽创制了这幅“赵爽弦图”，用数形结合的方式，最早完成了对勾股定理的证明.正方形尸E—HG由四个全等的直角三角形和一个小正方形OR0P构成，设EF的长为5£7?的长为终弘的长为儿△吨+S△吨+S疋方形。妙,=4x尹b+（b—d），,整理得到c2=a2+b2.四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案，人正方形面积为49,小正方形面积为4,若x、y表示直角三角形的两直角边（x>y）,则有:【答案】D【解析】【分析】设小正方形的边长为0,根据图形而积关系可得S大正方形=S，J、正方形+4阳角三旳形，再根据^=8,可列方程求解.【详解】设小正方形的边长为a(。＞0),*.*S大正方形=冷小正方形+4S直角三他形,S直角三和形=yxy,:.25=/+丄x4x8,2所以d=3.故选D.【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型.变式2.1-1&如图是“赵爽弦图”，厶ABH、△BCG、和△DIE■是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和都是正方形，如果脑=10,EF=2,那么2丹等于()【答案】B【解析】【详解】根据而积的差得出a+b的值，再利用a匚b=2,解得a二b的值代入即可.解：・・・AB=10二EF=2D・・・大正方形的面积是100,小正方形的面积是4口・•・四个直角三角形而积和为10004=96,设AE为aCDE为b,即4x|ab=9602ab=96Za2+b2=100□□a+b□2=a2+b2+2ab=100+96=196□/.a+b=14QVaOb=2,解得：a=8Zb=6^.*.AE=8匚DE=63二AH=8C]2=6n故选ED变式2.1-29.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的而积是17,小正方形的而积是5,直角三角形较长直角边为0,较短直角边为b,则必的值是（）【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用Q"表示，进而两式相减即可求出ab的值.【详解】由勾股定理，得大正方形的而积为：a2+b2=17,又小正方形的而积为（a-b）2=5即a2+b2-2ab=5・・・17—2ab=5ab=6故选：B.【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的而积，关键是用a、方表示大小正方形的面积.变式2.1-310.“赵爽弦图”巧妙地利用而积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为〃，较短直角边长为方，若（a+b）'=21,大正方形的面积为13,则小正方形的而积为（）A.3【答案】CB.4A.3【答案】CB.4C.5D.6【解析】【详解】如图所示，口(a+b)2=21Za2+2ab+b2=21,□大正方形的而积为13,2ab=21-13=8,□小正方形的而积为13-8=5.故选C.考点：勾股定理的证明.变式2.1—4H.由4个直角边长分别为d,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示.根据大正方形的面积F等于小正方形的而积(a-b)2与4个直角三角形的而积2血的和证明了勾股定理a1^b1=c\还可以用来证明结论：若a>0,b>0且R+沪为定值，则当d—b时，"取得最大值.拓展：如图所示，在正方形ABCD的四边AB.BC.CD.DA上分别取点E,H,G,F,使得BE=CH=GD=AF,求证：四边形EHGF是正方形.若EQ//BC,HP//CDyGO//DAyFR//AB,求证四边形OR0P是正方形.【答案】=:拓展：(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】由c2=@—b)'+4x*“可得”=匚，由此可得当eb时，血取222得最大值；拓展：易证Rt/\AEF竺RfMHE竺Rf/\CGH◎RtHDFG,从而可得结论；由四个平行条件可得四边形件RE、四边形EBH0、四边形HCGP、四边形FOGD均为长方形，从而可证得4EF^RFE^BHE^QEH^CGHm、PHG玉DFG◎厶OGF,则问题可解决.【详解】•・•由"赵爽弦图”知，大正方形的面积以等于小正方形的而积(a-b)2与4个直角三角形的而积lab的和，即c2=((i-b)2+4x^ab,・・・“丄g旦222•••当a=bdb取得最大值，口最大值为匚；2故答案为：=;拓展：•••在正方形中，BE=CH=GD=FA,:.AE=BH=CG=FD,又vZ4=Z^=ZC=Zr)=90°,.RaAEF竺MaBHES斑厶CGH^R^DFG,..EF=HE=GH=FG,ZAFE=ZBEH.vZAEF+ZAFE=90°,.•.ZAEF+ZBEH=90。,:.ZFEH=90°f•••四边形E7/GF是正方形.•••EQ//EC,HP//CD,GO//AD,FR//AB,且ZA二ZB=ZC=ZD=90°,

•••四边形AFRE、四边形EBHQ、四边形HCGP、四边形FOGD均为长方形，.qAEFe^RFE企BHE企QEH©4CGHJaPHG企DFG企OGF,FR=EQ=HP=GO,ER=HQ=GP=FO,「.OR=RQ=QP=PO,且ZPOR=180°-ZFOG=90°,•••四边形OR0P为正方形.【点睛】本题考查了弦图的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等是关键.模型三：风吹树折模型(雷劈模型)“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)【答案】4.55尺【解析】【分析】己知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为X,通过勾股定理建立方程，求出答案.【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为(10-x)尺.由勾股定理得x2+32=(10-x)2,解得：x=4.55答：折断后竹子的高度是4.55尺.【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程.例3如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）.A.7米B.8米C.9米D.12米【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度.【详解】解：由题意可知，AB=4,BC=3・••在RtAABC中，AC二JaB'+BC?=5・•・木杆在折断前的高度为4+5=9米故选：C.【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键.变式3—1一棵大树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，倒下部分与地而成30夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A.12米B.18米C.24米D.30米【答案】B【解析】【分析】如图，由于倒下部分与地而成30。夹角，所以ZBAO30。,由此得到AB=2CB,而离地面5米处折断倒下，即EC=6米，所以得到AB=12米，然后即可求岀这棵大树在折断前的高度.【详解】解：如图，VZBAC=30°,ZBCA=90°,・•・AB=2CB,而BC=6米，.*.AB=12米，・•・这棵大树在折断前的高度为AB+BO18米,故选E.【点睛】本题利用了直角三角形中30。的角所对的边是斜边的一半解决问题，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题.变式3-2如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A.8米B.12米C.5米D.5或7米【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出折断部分的长，再加上没折断的部分即可.［详解］+42=5米，3+5=8米.故选A.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为。和4斜边为C,那么於+沪=。2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.变式3—3如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地而6m处折断，则树顶端落在离树底部（）处A.5mA.5mB.7mC.8mD.10m【答案】C【解析】【分析】首先设树顶端落在离树底部X米，根据勾股定理可得62+x2=(16-6)2,再解即可.【详解】设树顶端落在离树底部x米，由题意得：6，+宀(16-6)‘，解得：x=8.故选C.【点睛】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列岀方程是解题的关键.变式3-4一阵大风把一根高为9m的树在离地4m处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m处，一头高lm的小马正在吃草，小马有危险吗？为什么？【答案】小马危险，理由详见解析【解析】【分析】构建模型进行解题，如图，折断树高为43=4,离树AD=3.9,小马高CD=1,此时只要计算BC的长，即可判断小马是否有危险【详解】解：如图，过点C作CE丄肋于点E・・・仍=4,CD=1:.BE=3・••在RtbBCE中，由勾股定理得BC2=BE2+EC2=32+3.92=24.21・・•树高为9也.-.（9-4）2=52=25>24.21・••小马危险故答案是：小马危险，理由详见详解【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题.变式3-5«丸章爭》旳何氐“令有竹鬲一丈・木折牴地#枫三尺・何捕才馬几何？"题套北：有一根铃子眾高一丸1一丈“0尺＞・中部有一比捕斷・地而处・试糾斯斯处诃地B多高？«丸章爭》旳何氐“令有竹鬲一丈・木折牴地#枫三尺・何捕才馬几何？"题套北：有一根铃子眾高一丸1一丈“0尺＞・中部有一比捕斷・地而处・试糾斯斯处诃地B多高？【答案】9120【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可.【详解】解：设竹子折断处离地而x尺，则斜边为（10・x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2,91解得："帀91故答案为：爲.【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题.模型四：出水芙蓉方法说明：根据题意构造出直角三角形(即荷花吹歪与不歪时恰好构成直角三角形)，再根据已知条件运用勾股定理求解.例4读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”.【答案】4.5尺【解析】【分析】设出水深2P的高，PB=PC=(x+3),根据勾股定理解答即可.【详解】设水深AP=x尺，PB=PC=(x+3)尺，根据勾股定理得：P42+.4C2=PC2,x2-F62=(x+3)2.解得：x=4.5,答：水深4.5尺.【点睛】本题比较简单，考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是设岀的长，再根据勾股定理求出SP的值.变式4一120.【答案】□□□□□-!2【解析】【详解】□□□二口口口口二匚卫"43=□□二□□二xm：］□二□二QC匚BC□□二□口□□二□二□□口口□□□znnnnznnnnzxm^匚Rt2U8C二□二x+lD2=22+x2二二二十二二二w二二□□□=□□□□=□□□□=□□□□□□=□□□□=□□□□=□□□□=□!□变式4一2如图是一个饮料罐，下底而半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A.12WdW13E.12WaW15C.5WaW12D.5WaW13【答案】A【解析】【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答.【详解】解：由题意可得：0的最小长度为饮料罐的高，即为12,当吸管斜放时，如图，此时。的长度最大，即为肋，・・•下底而半径是5,

•9^-iB=yl52+l22=13，••/的取值范围是12玄三13,故选A22【点睛】本题考查正确运用勾股定理.主要是运用勾股定理求得d的垠大值，此题比较常见，难度不大.变式4-3《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士索好奇，算出索长有几.”(注：1步=5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长・”【答案】〒尺【解析】【分析】设秋千的绳索长为X尺，根据题意可得23=(a-4)尺，利用勾股定理可得x2=102+(x-4)2,解之即可.【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+(x-4)2,解得：x=—,乙29・•・秋千的绳索长为#尺.2【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出-」B、-4C的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.变式4一4我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，岀水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读悚题意了吗？请回答水深尺，葭长.解：根据题意，设水深尺，则葭长=(x+l)尺.可列方程正确的是()A.x2+52=(x+1)2B.x2+52=(x-1)2C.x24-(x+1)2=102D.x2+(x-1)2=52【答案】A【解析】【分析】首先根据图形将题目中的数字对应起来，再根据题意设出未知数，用勾股定理求解即可.【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52=(x+1)2,解得：x=12,则x+1=13,答：水深12尺，芦苇长13尺，

故选-【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程，将其化简成一元一次方程.模型五：梯子滑动模型例5如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时40为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端3外移的距离()liDA.小于2米E.等于2米C.大于2米D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理可求出OE、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长即可得答案.【详解】VAB=5,OA=4,AC=2,AB=CD=5,OB=^/aB2-OA2=3，OD=JaBJOA-ACF=>/21，BD=(21»V16<21<25,・・・4<VH<5,.M<Vn-3<2,即BD的长小于2米，故选：A.【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法''估算无理数是解题关键.变式5-1如图，一个梯子43斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=8米.若梯子的顶端沿墙而向卞滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯

子43的长度为（）【答案】A子43的长度为（）【答案】AC•米7D.8米【解析】【分析】设BO=xin,利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求岀x的值,即可求出AB的长度.【详解】解：设BO=xim依题意，得AC=2,BD=2,AO=8.在RtAAOB中，根据勾股定理得AB2=AO2+OB2=S2+x2^在RtACOD中,根据勾股定理DC2=CO2+OD2=(8—2)2+(x+2)\二82+x2=(8-2)‘+(x+2)‘,解得x=6,/.AB=V62+82=10,【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB=CD是解题的关键.变式5-2一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米.如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（）A.9米B.15米C.5米D.8米【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理进行解答.求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离.【详解】梯子顶端距离墙角的距离为（25?-7?勺加口24-4=20m□梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为如-20’=15m二15m-7m=8mH即梯角水平滑动8mD故选D3【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意梯子的长度是不变的.变式5-3如图，一架长2.5加的梯子斜靠在垂直的墙40上，这时AO为2加.如果梯子的顶端A沿墙卜•滑0.5m,那么梯子的底端B向外移动皿.【答案】0.5【解析】【分析】由题意先根据勾股定理求岀OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得岀结论.【详解】解：VRtAOAB中，AB=2.5m,AO=2m,OB=AB2-AO2=y/2.52-22=1.5m；同理，RtAOCD中，VCD=2.5m,OC=2-0.5=1.5m,OD=y/CD2-OC2=y/2.52-1.52=2m‘.e.BD=OD-OB=2-1.5=0.5(m).

答：梯子底端B向外移了0.5米.故答案为：0.5.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.变式5—4如图，一架13加长的梯子45斜靠在一竖直的墙川C上，这时刃C为12加.如果子的顶端丄沿墙下滑7加，那么梯子底端B向外移加.仃CBD①②【答案】7.【解析】【分析】先根据勾股定理求出CE的长，在根据勾股定理求出CD的长，进而求解.【详解】*：ZACB=90ofAB=13mfAC=12mt:・BC=ylAB2-AC2=5加，•:AE=Pn,:.CE=U-7=5加,CD=y]oE2-CE2=12加，:・BD=CD・BC=Pn,梯子底端B向外移7加，故答案为：7.【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.模型六：最短路径模型（蚂蚁爬行模型）模型1（长方体）蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从厦到3的最短路径怎么算？

【作法】Aa$图1图2B图3【作法】Aa$图1图2B图3蚂蚁爬行的方式有6种，但是汇总起来，每两种的爬行长度一样，所以共有三大类(图1,图2,图3).假设长方体的长、宽、高分别为a,b.c9则这三人类的爬行长度分别为①AB=yja2+(b+c)2=yja2+b2+c2+2bc；®AB=yjc2+(a+b)2=Ja2+b2+c2+2ab；③AB=J，+(a+c)2=yjcr+c2+2ac•由此可见，gab,be谁小，该类爬行方式所得结果就小.例6.1如图，长方体的长为3,宽为2,高为4,一只蚂蚁从点A岀发，沿长方体表而到点3处吃食物，那么它爬行最短路程是()A.4A.4B.5C.^29D・V37A.^29A.^29B・5/4!C.^45D.V53【答案】B【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【详解】如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况:AB2=(2+3)2+42=41；AB2=32+(4+2)2=45；AB2=22+(4+3)2=53；综上所述，最短路径应为(1)所示，所以AB2=41,即AB=V4T故选：B【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解.变式6.1-1如图，长方体的长为3cm,宽为2cm,高为4伽，点3到点C的距离为kw,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点3,需要爬行的最短距离是【答案】B【解析】【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧而展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.【详解】解：将长方体展开，连接A、B,根据两点之间线段最短，BD=l+2=3,AD=4,由勾股定理得：AB=^AD2+BD2=V32+42=5.故选B.【点睛】考查了轴对称-最短路线问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键.变式6.1-2如图，正方体的棱长为2,E为一条棱的中点.已知蚂蚁沿正方体的表面从AA.VioB.4C.-717D.5【答案】C【解析】【分析】正方体侧而展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短、勾股定理即可求出最短路径长.【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=J（2+2）‘+F=717【点睛】本题考查了正方体的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理，掌握正方体的侧而展开图是解题关键.变式6.1-332•如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点G处（三条棱长如图所示），问最短路线长为【答案】5【解析】【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解.【详解】图1【详解】图1如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6,宽是AD=1,路径长为AG=y/AC2+CG2=血+F二Q；如图2,当展开的长方形的长是AB=4,宽是BG=2+1,路径长为ag=Jab'+BG，=丁舉+3?二5；如图3,当展开的长方形的长是CD=4+1=5,宽是AD=2,路径长为AG=7AD2+CG2=V22+52=>/29；故沿长方体的表面爬到对而顶点G处，只有图2最短，其最短路线长为：5.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，平而展开最短路径问题，展成平而，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解.变式6.1-433.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=13ctnfBC=\2cm,BF=10cm点血在棱上，且4M=6c〃?，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点皿爬行到点N,它需要爬行的最短路程为（）HGA.20cmB.2^106cmC.（12+2辰）cmD.18c加【答案】A【解析】【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：如图1,VAB=18cm,EC=GF=12cm,BF=10cm,点N是FG的中点，/.BM=18-6=12cm,BN=10+6=16cm,AMN=V122+162=20cm；如图2,VAB=18cm,EC=GF=12cm,BF=10cm,点N是FG的中点，APM=18-6+6=18cm,NP=10cm,•••MN=JlF+lO,=\/^=2>/^cm.V20<2V106,

•••蚂蚁需要爬行的最短路程为20cm.故选:A.图1【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解.模型2(圆柱或圆锥)蚂蚁沿着圆柱体表面爬行，从2到C的最短路径怎么算？【作法】将圆柱的侧面展开如图所示.由图可知蚂蚁爬行的最短路径的长度为直角三角形的斜边长，所以AC=y](7rr)2+h2=J亍严+泊•注：关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间，线段最短”解决问题.例6.234.如图，圆柱的底而半径是4,高是5,—只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物,需要爬行的最短路径是（兀取3）（）A.9B.13C.14D.25【答案】B【解析】【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平而内.根据两点之间,线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程.【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底而周长的一半，即4欣12,矩形的宽是圆柱的高5.根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即5/51+1?=13.故选：B.【点睛】本题主要考查了平而展开图中最短路径求法，两个不在同一平而内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平而内.根据两点之间，线段最短.确定要求的长，再运用勾股定理进行计算.变式6.2-13035•如图，一个底面直径为—cm,高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖兀罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）

A.24cmB.10>/13cmC.25cmA.24cmB.10>/13cmC.25cmD.30cm【答案】C【解析】【分析】根据题意首先将此圆柱展成平而图，根据两点间线段最短，口J得AB最短,由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程.【详解】解：将此圆柱展成平面图得：□有一圆柱，它的高等于20cm,底面直径等于—cm,7t30□底而周长=—・/r=30cm,兀匚BC=20cin,AC=—x30=15(cm),2匚AB=y]AC2+BC2=>/202+152=25(cm).答：它需要爬行的最短路程为25cm.故选：C.【点睛】本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键.变式6.2-2如图，圆柱形容器的高为0.9加，底而周长为1.2加，在容器内壁离容器底部0.3加处的点8处有一蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2加与蚊子相对的点/处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为()A.linB.1.1?;/C.1.2mD・13”【答案】A【解析】【分析】将容器侧而展开，建立〃关于防的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求.【详解】解：如图，将容器侧面展开，作加关于EF的对称点川，连接A'B,则£8即为最短距离，由题意知,加=0.6加,』E=AE=O.2加，:,BD=0.9-0.3+0.2=0.8加，3B=yjA'D-+BD2=>/0.62+0.82=1（〃厂）・故选：A.【点睛】本题考查了平而展开•最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.变式6.2-3如图，圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为BB【答案】10cm【解析】【分析】将圆柱沿过点A和点E的母线剪开，展开成平而，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于1.5个底面周长，从而求岀解题中的AC,连接AB,根据两点之间线段最短可得小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长，然后根据勾股定理即可求出结论.【详解】解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于1.5个底面周长，如下图所示：AC=1.5X4=6cm,连接AB，根据两点之间线段最短，・•・小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长・・•圆柱体的高为8cm,BC=8cm在RtAABC中，AB=yJ^C2+BC2=10cm故答案为：10cm.【点睛】此题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，将圆柱的侧而展开，根据两点之间线段最短即可找出最短路径，然后利用勾股定理求值是解决此题的关键.如图所示，在RbABC中，ZACB=90°,已知AC=6,BC=&40是厶ABC的角平分线，求DC的长.A【X】3【解析】【分析】作£疋丄脑于£,根据角平分线的性质得到DE=DC,AE=AC=6,根据勾股定理计算即可.【详解】解：作a丄于&:・DE=DC,AD=AD:.Rt^ACD^Rt^AED(HL)J.AE=AC=6,VZACB=90°9AC=6.BC=89・s=10，・•・EB=AB-AE=lO-6=4f^DE=DC=x,则BD=8—x,在Rt/\DEB中，DE'+EB‘=BD，，即x2+42=(8-x)2,解得：x=3,则CD二3.【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.模型七：翻折问题一：三角形中的折叠问题例7.139.如图，在RtMBC中，ZB=90,AB=6,BC=8,将AABC折叠，使点3恰好落在斜边AC上，与点歹重合，AE为折痕，则的长度是.【答案】3【解析】【分析】首先根据折叠可得BE=EB\AB*=AB=6,然后设BE=EB^=x,则EC=8-x,在Rt匚ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtDBFC中，由勾股定理列方程即可算岀答案.【详解】解：根据折叠可得BE=EB\AB*=AB=6,设BE=EE—x,则EC=8-x,VZB=90°,AB=6,BC=8,・••在RtZABC中，由勾股定理得，AC=a/6?78?=10,.•.B*C=10-6=4,在RtCBTC中，由勾股定理得，x2+42=(8-x)2,解得x=3,故答案为:3.【点睛】此题主要考查了翻折变换，以及勾股定理，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.变式7.1-1如图所示，有一块直角三角形纸片，□C=90°,AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使点E落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CE的长为

AAA.1cmB.ID5cmC.2cmD.3cm【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求岀，根据折叠的性质知，AE=AB,已知AC的长，可将CE的长求出.【详解】解：在RtZABC中，AB=JAC?+BC，=Jf+32=5根据折叠的性质可知：AE=AB=5□AC=4□CE=AE-AC=1即CE的长为1故选A.考点：勾股定理：翻折变换（折叠问题）.变式7.1-2如图所示的三角形纸片中，ZZ?=90°,AC=13,BC=5.现将纸片进行折叠，使得顶点8落在4C边上的点Q处，折痕为AE,则BE的长为（）AlLBECA.2.4【答案】AB.2.5C.2.8A.2.4【答案】AB.2.5C.2.8D・3【解析】【分析】由ZB=90。，/C=13,BC=5,可求得曲的长，设BE=x,由折叠的性质可得：'DEC是直角三角形，ED=BE=x,EC=5~xfCD=1,然后由勾股定理求得肛的长.【详解】解：VZB=90°,AC=13fBC=5,:・£=Jac2_EC2=12，设BE=x,由折叠的性质可得：CD=AC~AD=AC-AB=13-12=1,DE=BE=x,厶以=ZB=90。，:・EC=BC-BE=5-x,在Rt/\DEC中，EC1=CD2-\-DE2f(5-x)2=1+x2,解得：x=2.4,:・BE=2.4.故选：A.【点睛】此题考查了折叠的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用.二：矩形中的折叠问题解决矩形翻折问题：1利用折叠和矩形性质找出线段之间的关系；2在折叠后形成的直角三角形中设未知数，利用勾股定理列方程求解.例7-2(折在里)已知，如图所示，折叠矩形的一边乂D,使点Q落在BC边的点F处，如果J5=3cm,BC=5cm,求FC的长.HD、r-【答案】lcm【解析】【分析】根据折叠的性质得4F=AD=BC=5cm,DE=EF,在Rt^ABF中，利用勾股定理计算出肿，进而即可求解.【详解】解：•・•四边形ABCD为矩形，/.-lD=BC=5cm,ZB=90°,・・•折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，\AF=AD=5cm,在RtAABF中，BF=JaF?—血=J5—曲:.FC=BC-BF=\cm.【点睛】本题主要考查了折叠变换问题，解决本题的关键是结合图形根据翻折的性质得到一些相等的线段，然后灵活运用勾股定理进行解答.变式7.2-143.如图，在矩形纸片肋CD中,AB=69AD=S9折叠该纸片,使得■拐边落在对A.3B.4折痕为则线段的长为（C.5D.【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质可得BC=AD9Z5=90%利用勾股定理可求出4C的长，根据折叠的性质可得AF=AB,ZB=ZAFE=90%BE=EF,在RtDCEF中利用勾股定理列方程求出W的长即可得答案.【详解】•••四边形脑CD是矩形…Q=8,AZB=90°,BC=AD=3,#c==10，・・•折叠该纸片，使得-拐边落在对角线JC上，点3落在点F处，折痕为4E；:.BE=EF.AF=AB=69ZAFE=ZB=90。,:.CF=AC-AF=10-6=4,在Rt^CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2=CE2f:.EF2+CF2=(BC-EF)2,即护心2,解得：EF=3,故选：A.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答.变式7.2-2如图所示，沿着折叠长方形，使点Q落在边BC上的点F处，已知A.3cmB.4cmC・5cmD・6cm【答案】A【解析】【分析】利用矩形的性质和翻折的性质求得CD=ScnhAD=BC=10cnhZB=ZC=Z90°,AF=AD=\Ocm,EF=DE，在RtAABF中，利用勾股定理可得BF,在RtACEF中，由勾股定理可得CE的长.【详解】•・•四边形肋3是矩形，:.AB=CD=8cm,-Q=8C=10c〃？，ZB=Z90°由折叠的性质可得：-疔=-Q=10c加，EF=DE,在RiAABF中，由勾股定理可得：BF=JaF、-43’=JlO?+F=6cm在RtACEF中，设EC=xcm,则EF=DE=(8-x)cm,FC=BC-BF=4cm,由勾股定理得：CE2+FC2=EF2,即亍+42=(8—解得：x=3:.EC的长为3cm.故选：A.【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握上述性质，熟练掌握勾股定理解直角三角形.变式7.2-3如图，在矩形ABCD中，AB=3匚BC=5,在CD±任取一点E,连接EE,将△ECE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为□【答案】|【解析】【分析】设CE=x,由矩形的性质得岀AD=BC=5,CD=AB=3,ZA=ZD=90°.由折叠的性质得出BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD-CE=3-x.在RtAABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求岀DF的长度；然后在RtADEF根据勾股定理列出关于X的方程即可解决问题.【详解】设CE=x.・・•四边形ABCD是矩形，.\AD=BC=5,CD=AB=3,ZA=ZD=90°.・・•将ZiECE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD-CE=3-x.在RtAABF中，由勾股定理得：AF2=52-32=16,・・・AF=4,DF=5-4=1.在RtADEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2,即x?=(3-x)2+12,解得：X=-,故答案为扌.例7.3(折出去)如图所示，矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边4D的中点C'处，点8落在处，其中AB=18,3C=12,求FC'的长.【答案】10【解析】【分析】设FC=x,则由折叠的性质得：FC=x,从而DF=lS-xf在Rt/\DFC'中，由勾股定理建立关于x的方程，解方程即可.【详解】•・•四边形ABCD为矩形：・AD=BC=\2,CD=AB=1S・・•C'为3的中点・•・DC,=-AD=62由折叠的性质，FC=FC设FC'=x,则FO=x:.DF=CD・FC=\&x在沁DFC中，由勾股定理得：(18-x)2+62=x2解得：x=10,即FC=10【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，用到了方程思想.变式73-1如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为()

Drc-TcmD.8cmDrc-TcmD.8cm【答案】B【解析】【详解】试题解析：设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,□矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，匚DF=DT,在Rt匚AETF中，匚AF2=AD,2+DT2,□x2=62+(8-x)2,25解得：x=一(cm).故选E.考点：翻折变换(折叠问题).变式73-248.如图，己知矩形ABCD沿着直线3D折叠，使点C落在C'处，BC’交AD于点、E,AD=S,43=4,则DE的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的性质知道AD〃EC,所以Z1=Z3,由于折叠得到Z1=Z2,CQ=CD、BC^BC,所以Z2=Z3,进而得出BE=DE,设DE=x,在RtADECz中利

用勾股定理即可求出DE的长.【详解】解：•・•四边形ABCD是矩形，・・・AD〃EC,即Z1=Z3,由折叠可知,Z1=Z2,CT>=CD=4、BC=BC=8,AZ2=Z3,即DE=BE,设DE=x,则ECz=8-x,在RtADEC*中，DC,2+EC,2=DE242+(8-x)2=x2解得：x=5,ADE的长为5.【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的特点，利用勾股定理解题.变式73-349•如图，将矩形脑CD沿EF折叠，使顶点C恰好落在脑边的中点C'上・若AB=6,BC=9,则财的长为（C.4.5D.5C.4.5D.5【答案】A【解析】【分析】先求出BC,再由图形折叠特性知，CfF=CF=BC-BF=9-BF,在RtDC^F中，运用勾股定理BF2+BC2=CF2求解.【详解】解：二点U是边的中点,AB=69匚BC=3、由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtQCBF中，BF1^BC,-=C,F2i匚BF2+9=(92,解得，BF=4,故选:A.【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高.同时也考查了列方程求解的能力.解题的关键是找岀线段的关系.变式73-450.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5f在CD上任取一点连接BE,将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边上的点F处，则CE的长为【解析】【分析】设CEn,由矩形的性质得出AD二BC=5,CD“B二3,ZA=ZD=90°；由折叠的性质得出BF二BC=5,EF二CE二x,DE=CD~CE=3~x.在Rt^\ABF中，利用勾股定理求岀-疔的长度，进而求出莎的长度；然后在R3EF中，根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题.【详解】解：设CEP.・・•四边形-购CQ是矩形，:・AD二B85,CD二4B二3,ZA=ZD=90o,・・•将△BCE沿折叠，使点（?恰好落在4D边上的点F处，:・BF二BC二5,EF二CE二x,DE二CD-CE二3-x。在Rt^XABF中，由勾股定理得：AF2=BF2-AB2=52-32=16,Z>F=5-4=1,在Rl'DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2f即Q二（3-x）J",解得：x=|故答案为：I.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边.模型八：378和578模型当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如呆将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.【模型】当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时，这两个三角形的面积6JJ、10JJ.3、8与5、8夹角都是60。例851.在'ABC中，4S=16,-4C=14,BC=6,则/\ABC的而枳为（）A.24./3B.56^3C.48D.112【答案】A【解析】【分析】如图，过C作CD丄于D,设BD=x,则AD=l6-x,根据RfHBCD’RtHACD中CD=C£>,利用勾股定理建立方程，求得BD,继而用勾股定理求得CD,从而求得面积.【详解】如图，过C作CD丄于D,设BD=x,则AD=l6-x,在R仏BCD,RfHACD中CD2=BC2-BD\CD~=AC2-AD2:.BC2-BD2=AC2-AD262-x2=142-(16-x)2解得兀=3CD=JBC?-BD?=>/62-32=3吳:.S,AHC=-ABxCD=-xl6x3y/3=24*故选A【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.变式8-152.已知在△-拐。中，AB=8,4C=7,BC=3,则ZB=().A.45°B.37°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】过点加作AD丄BC交8C延长线于点D,设CD=x.则8C=3+x,在Rt/XACD和RtAABD中，利用勾股定理求岀AD2，可求出CQ的长，从而得到血的长，然后利用直角三角形的性质即可求解.【详解】解：如图，过点力作AD丄BC交8C延长线于点Q,A

•・•在/XABC中，AC=7,BC=3,可设CD二x,则BC=3+x,在Rt/XACD中，AD-=AC2-CD2=I2-x2，在RtAABD中，AD2=AB2-BDZ=F-(x+3)2,・•・72-at2=82-(x+3)2,解得：x=l,A-SC=3+x=4,・••在Rt/XABD中，BD=：AB,2AABAD=30e,ZB=90°-乙BAD=60°•故选C.【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°是解题的关键.变式8—2已知在△-拐。中，-拐=7,AC=S,BC=5,则ZC=().A.45°B.37°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】过点〃作4D丄BC于设CD=x,则BD=BC—CD=5—口由勾股定理得—-2,得出44,则4琢再证心=30。,即可求解.BD如图所示：BD设CD=x,则BD=BC-CD=5-x,在Rt£\ABD中，由勾股定理得：九，=45?-血J在Rt^-ICD中，由勾股定理得：C^IB—BD1=AC^-CD2,即：72-(5-x)2=87,解得：x=4,:.CD=4,:・CD=打C,2.•.ZC1D=3O°,.•.ZC=90o-30°=60°,故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出ZCW=30°是解题的关键.变式8—3如图，'ABC的三边43,BC,d的长度分别为3,7,8,则'ABC的内切圆I的半径为•【答案】巫3【解析】【分析】先过点8作血丄JC,用勾股定理求出丄D和血，再用等面积求出圧即可.【详解】解：如图，过点3作BD丄•••△4SC的三边川3,BC,C4的长度分别为3,7,8,・••设-Q=X,贝|JCD=8-x,在MBD与△CBD中，BD2=AB2-AD1=BC1~CD2,A32-x2=72_（8_x）2,3解得：x=-,乙・・Q—产:・BD二过点/作出垂直8C于E,TZ为△4SC的内心，•••△48C的三边45,BC,CU上的高都等于*.*S..ABC—丄AC・BD=y（2C+8C+乂8）・ZE,.-.8x^=（3+7+8）x/E,T，•••△遊的内切阳的半径为攀故答案为：攀【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等而积法，过点3作BD—C,用勾股定理求出-ID和加是本题的关键.变式8-4边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是().A.90°B.150°C.135°D.120°【答案】D【解析】【分析】设^ABC的三边AB=5,AC=7fBC=8,过点丄作40丄BC于点Q,设分别在RtAADB和皿△1DC中，利用勾股定理求得40,从而可建立方程，求得X的值，可求得Z8,因此可得最大角和最小角的和.【详解】设HABC的三边AB=5,AC=7,BC=8,过点山作丄80于点D如图设则CZ>8-x在Rt/XADB中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=25-x2;在RtAADC中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2=49-(8-x)2则得方程：25-x2=49-(8-x)2解得：^=|即BD=-2•・•BD」AB,Q丄BC2AZ^1D=3O°Z.ZABD=90°・ZBQ=60°・・・ZB4C+ZC=180o-ZABD=\20°•:BOAOAB:.ZBAOZABD>ZC故最大角与最小角的和为120°故选：D.AA【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件.模型九垂美四边形定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.例9已知：四边形ABCD中，BDZAC相交于O,且BD垂直AC,求证：AB2+CD2=AD2+BC2.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用勾股定理证明即可.【详解】TBO丄ACU:.AB^=O^OB~3bGobSoc^:.a+cgOA^OB^OC^+OD2JD2+5C2=OA2+OD2+O^+OC2口匚ab'cd^AC^+BC2口【点睛】本题考查了勾股定理□是基础题3熟记定理是解题的关键.变式9-157.在四边形ABCD中，AC丄BD,AB=7,CD=H,BC=L3,则4£)=【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理可得ab2+cd2=bc2+ad2,代入数据计算即可.【详解】解：如图：C•:AC丄BD,・•・ZAOB=ZAOD=ZCOD=Z.COB=90°,根据勾股定理可得：AB2+CD-=OA2+OB2+OC-+OD~,BC2+AD2=OB-+OC2+OD~+OA2,AB2+CD2=BC'+AD2,即724-ll2=132+AD2,解得：AD=1,故答案为：1.【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意找岀对角线互相垂直的四边形四条边的关系是解题的关键.变式9-2定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.概念理解：如图口，在四边形ABCD中，如果AB=AD,CB=CD,那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.性质探究：如图口，垂美四边形ABCD两组对边ABDCD与BC匚AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明.问题解决：如图口，分别以RtDACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE匚BG二GE.若AC=2,AB=5,则□求证：AAGB^DACEZ匚匚GE=图①图②團③【答案】（1）是：（2）AB24-CD2=BC2+AD2D（3）①证明见解析：②Q□【解析】【分析】概念理解二根据垂直平分线的判定定理证明即可二性质探究二根据垂直的定义和勾股定理解答即可□问题解决二根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可口【详解】概念理解二四边形ABCD是垂美四边形.理由如下口AB=AD二・・・点A在线段BD的垂直平分线上口・・・CB=CD3・••点C在线段BD的垂直平分线上口・・・直线AC是线段BD的垂直平分线D：.AC丄加□即四边形-3CQ是垂美四边形□性质探究二Q’+BC2三掳2+CD?.理由如卜•二如图2□已知四边形ABCD中DMC丄反门垂足为疋口VAC丄3D二・・・ZAED=ZAEB=ZBEC=ZCED=90°□由勾股定理得匸AD'+Bd^AESDESBEXCE?LaB^C^AE^BE^CE^DE2□:.AD^+B^AB^CD1-问题解决二□连接CGZBE3如图3所示口•/ZCAG=ZBAE=90°D:.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC□即ZGAB=ZCAE二在△GH8和△ate•中，•:AG=AC□匚GAB=UC.AE~AB=AE~:.MGB竺2CE1SAS二口②丁/\AGB^^ACEU:.ZABG=ZAECQ又丁ZAEC+Z.4ME=90°Q:.ZABG^ZAME=9Qon即CE丄BGQ:.四边形CGEB是垂美四边形□由（2）得口CG2+BE2=CB2^GE2Q*：AC=2~AB=5□ABC=DCG=2匸BE=572□GE2=CG2-BE2ZCB-=37□:・GE=®□故答案为Q口图2图2【点睛】本题是四边形综合题口考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用□正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键二变式