概率论与数理统计

概率论与数理统计公元1651年夏天，数学家帕斯卡在旅途中偶然遇到赌徒梅累，梅累向帕斯卡请教一个他亲身经历的“分赌金”的问题。问题是这样的:一次梅累和赌友投殷子，各押赌注32个金币。约定的赌规是:梅累若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，梅累先掷出了两次6点，赌友也掷出了一次“4点”。这时梅累奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么，两人应该怎样分这64枚金币呢?赌友说:梅累还要再掷一次“6点”才算赢，而他自己如果能掷出两次“4点”也就赢了。

概率论的诞生

这样，自己所得应是梅累的一半，即他得64个金币的三分之一，而梅累得三分之二。梅累争辩说:即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是平分秋色，各自收回32个金币。何况那一次自己还有可能得到所有的金币呢。所以，他主张自己应得更多的赌金。梅累的这个问题把数学家帕斯卡难住了。为了寻求解答这类问题的方法，帕斯卡苦思冥想了三年，终于在1654年想出一些眉目。于是，他把自己的想法告诉了当时数学界的“怪杰”费尔马，两人对此进行了深入研究，得出了许多有用的结论，奠定了一门数学分支的基础，这门分支叫-------概率论。人们确认，1654年7月29日帕斯卡写信给费尔马的日子是概率论的诞生之日。一随机事件二事件间的关系与运算三频率与概率§1随机事件的概率目录索引第一章概率论的基本概念一、随机事件自然界所观察到的现象:确定性现象,随机现象.第一章概率论的基本概念随机现象1.确定性现象

在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,实例“水从高处流向低处”,确定性现象的特征

条件完全决定结果我们称之为随机现象.比如：

降水

概率为30%

，某强队对弱队赢球

的概率为80%，某个固定群体中男女比例为54：46；在生活当中，经常接触到事件的概率，这种在个别实验中其结果呈现出不确定性；在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象，第一章概率论的基本概念2.随机现象

随机现象的特征条件不能完全决定结果如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的.问题:

什么是随机试验?概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T

（Tails）出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。

E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：随机试验（Experiment）第一章概率论的基本概念

E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。这些试验具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行；(试验的可重复性)每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；（全部试验结果的可知性）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。（一次试验结果的随机性）随机试验第一章概率论的基本概念在概率论中，把具有上述三个特点的试验称为随机试验。注：1、以后我们讲的试验都是随机试验；2、我们是通过研究随机试验来研究随机现象的;3、随机试验用字母E表示。

样本空间(Space)

定义将随机试验

E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。第一章概率论的基本概念注：样本空间的元素的个数可以是有限个也可能是无限个。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0x,yT1}

E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。P&S第一章概率论的基本概念随机事件

:称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件,用A,B,C等或一种叙述来表示(由一个或者若干个基本事件组成的随机试验的结果);基本事件

:由一个样本点组成的单点集(随机试验中每个可能产生的结果)；必然事件

:样本空间S本身(在随机试验中必然发生的事件)；不可能事件

:空集(在随机试验中不可能发生的事件)。

随机事件（Randonevent）我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．第一章概率论的基本概念例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}

表示“第一次出现的是正面”

S6中事件B1={t|0≤t＜1000}

表示“灯泡是次品”事件B2={t|t≥1000}表示“灯泡是合格品”

事件B3={t|t≥1500}

表示“灯泡是一级品”

第一章概率论的基本概念10包含关系

二、事件间的关系与运算20和事件

30积事件

40差事件50互不相容60对立事件SAB第一章概率论的基本概念事件A发生必然导致事件B发生，也可说A是B的子事件。SAB20和事件

第一章概率论的基本概念事件A和B至少有一个发生，也可说A发生或者B发生。推广：n个事件的和称为的和。记为：

30积事件第一章概率论的基本概念SAB事件A和B同时发生。也记AB.显然：推广：n个事件的积称为的积。记为：SABAS

40差事件第一章概率论的基本概念AB事件A发生且B不发生，也记A-AB或者。注：三个不相交的事件之和！S6:{t|t0}中事件A

={t|0≤t＜1000}“次品”事件B

={t|t≥1000}“合格品”事件C

={t|t≥1500}“一等品”

010001500次品一等品第一章概率论的基本概念SB50互不相容60对立事件SA第一章概率论的基本概念A事件A和B不能同时发生。注:基本事件是两两互不相容的。事件A和B必有一个发生，且仅有一个发生，A的对立事件记为。随机事件的运算规律幂等律:交换律:第一章概率论的基本概念结合律:分配律:DeMorgan律:注：大bar变小bar，开口由上(下)变下(上)。关于德摩根(DeMorgan)律的说明：至少至多转换关于德摩根(DeMorgan)律的说明：三、频率与概率1）频率的定义和性质

定义

在相同的条件下，进行了n次试验，在这

n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值n

A/n称为事件

A发生的频率，并记成fn(A)。第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念它具有下述性质:2512492562532512462440.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.002-0.0020.0120.0060.002-0.008-0.012

2）频率的稳定性nAfn(A)n=500时(硬币正面朝上的次数)实验者德•摩根蒲丰K•皮尔逊K•皮尔逊

nnHfn(H)204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005第一章概率论的基本概念频率稳定值概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义第一章概率论的基本概念3）概率的定义定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于

E