判定平行四边形五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1如图1，在平行四边形ABCD中，E、F在对角线AC上，且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=DO。又AE=CF,所以AO-AE=CO——CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由。分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形。同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形。因为AE=DB=2AB=DE=1，所以四边形ABDE也是平行四边形。三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DFIIBE，试说明四边形ABCD是平行四边形。分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知,由已知条件可得4ADF^ACBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DFIIBE，所以/AFD=/CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE。又DF=BE,所以^ADF^ACBE,所以AD=BC,/DAF=/BCE,所以ADIIBC.所以四边形ABCD是平行四边形。1/12

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4如图4,在平行四边形ABCD中，/DAB、/BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析:由平行四边形的性质易得AFIIEC,又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形'进行判别。解:四边形AECF是平行四边形。理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADIIBC,ZDAB=/BCD,所以AFIIEC.又因为/1=1/DAB,Z2=-/BCD,2 2所以/1=/2。因为ADIIBC,所以/2=/3,所以/1=/3,所以AEIICF.所以四边形AECF是平行四边形。判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、 两组对边分别平行如图1,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE,连结AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证△BDE^^FEC证明：•・•△ABC是等边三角形，7.BC=AC,/ACD=60°•CD=CE，,BD=AE,△EDC是等边三角形7.DE=EC,/CDE=/DEC=60°「./BDE=/FEC=120°又;EF=AE，,BD=FE，二△BDE^^FEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由：由(1)知，△ABC>△EDC>△AEF都是等边三角形:/CDE=/ABC=/EFA=60°「.ABIIDF,BDIIAF2/12

••・四边形ABDF是平行四边形.点评:当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2已知：如图2,在正方形ABCD中，G是CD上一点,延长BC到E，使CE=CG,连结BG并延长交DE于F(1)求证:△BCG^ADCE;(2)将4DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE',判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有AB//DC,又通过旋转CE=AE已知CE=CG,所以E'A=CG,这样就有BE=GD，可证E'BGD是平行四边形.解：(1);ABCD是正方形，「./BCD=/DCE=90°又:CG=CE,△BCG^ADCE(2)VADCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE,：.CE=AEf,VCE=CG，,CG=AE,•.•四边形ABCD是正方形「.BEIIDG,AB=CDAB—AE==CD-CG，即BE=DG「•四边形DE'BG是平行四边形点评:当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形.解::△ABD和△FBC都是等边三角形「./DBF+/FBA=/ABC+/FBA=60°「./DBF=ZABC又;BD=BA,BF=BC /.△ABC^^DBF：.AC=DF=AE同理4ABC^^EFC...AB=EF=AD3/12「•四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AE1BD于E,BF1AC于F,CG1BD于G,DH1AC于H,求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG,OF=OH,则问题可获得解决。证明:「AE1BD,CG1BD,「./AEO=/CGO,•「/AOE=ZCOG,OA=OC/.△AOE^ACOG ,同理△BOF^ADOH：.OF=OH「•四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。(1)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1clD1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形4/12

吗？说出你的结论和理曲。分析:因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABC。是平行四边形，理由如下：NABC=NABD+ZDBC=300+90°=120°,NADC=/ADB+NCDB=900+30°=120°又/A=60。，ZC=60°,：.AABC=AADC,ZA=ZC(2)四边形ABC,1是平行四边形，理由如下：将RtABCD沿射线方向平移到RtABiCiDl的位置时，有RtAC]BBiqRtAADDiZq吗=/A。]。，ABClB=ZDADl有ZCiBA=AABD+AC[BB[=Ngo声]+/AO乒/A。£,ABCfl=ZBC[B]+z51c1。尸zdyad+zdab=zd{ab所以四边形ABC[。]是平行四边形点评：(2)也可这样证明：由(1)知ABCD是平行四边形，「.A5//CD,将RtABCD沿射线BD方向平移到RtABlClDl的位置时，始终有A5//C。故A5Gq是平行四边形.判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1如图1所示，在△A5C中，ZACB=90°,BC的垂直平分线。£交5。于。，交AB于E,方在。£上，并且AF=CEO求证：四边形ACEb是平行四边形。证明:,:DE是BC的垂直平分线,：.DFVBC,DB=DC.：.ZFDB=ZACB=90°.1：.DFIIAC...CE=AE=-ABo27./I=N2o又•：EFIIAC,AF=CE=AE,「./2=/1=/3=/凡：.AACE^AEFAO5/12

7.AC=EF。••・四边形acef是平行四边形。思路2:证明两组对边分别平行例2已知：如图2,在4ABC中，AB=AC,E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB。连结FC.求证:四边形AEFC是平行四边形。

证明:<AB=AC,，/B=/ACB.•「ED=EB,，/B=/EDB.，/ACB=/EDB。 ，EFIIAC.「E是AB的中点，，BD=CD.•「/EDB=/FDC,ED=DF,

，△EDB^AFDC。 ，/DEB=/F。，ABIICFo，四边形AEFC是平行四边形。思路3:证明一组对边平行且相等例3如图3,已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形.证明:二.四边形ABCD是平行四边形，，AD=BC,/A=/CoXVAE=CF,，△ADE^ACBF。，/1=/2,DE=BFoVM、N分别是DE、BF的中点，，EM=FN.VDCIIAB,，/3=/2o，/1=/3。 ，EMIIFNo，四边形ENFM是平行四边形。二、考虑“对角”关系思路:证明两组对角分别相等例4如图4,在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点。求证：（1）AABE^ACDF;（2）四边形BFDE是平行四边形.证明：（1）在正方形ABCD中，AB=CD,AD=BC,/A=/C1 190°,VAE=-AD,CF=-BC,6/12

7.AE=CF。 「.△ABE^ACDF.(2)由(1)AABE9ACDF知，/1=/2,/3=/4.:.(BED=ZDFB.•••在正方形ABCD中，/ABC=ZADC,:.(EBF=ZEDF.「•四边形BFDE是平行四边形。三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5如图5,在平行四边形ABCD中，PpP2是对角线BD的三等分点.求证：四边形AP1CP2是平行四边形。证明：连结AC交BD于Oo•.•四边形ABCD是平行四边形，7.OA=OC,OB=OD.•BP1=DP2,，OP1=OP2o「•四边形AP.CP2是平行四边形。平行四边形的识别浅平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下.1利用定义或定理直接识别平行四边形两组对边分别平行，如图1,ABIICD,ADIIBCo1o2两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BCo3两组对角分别相等，如图1,ZABC=ZADC,ZBAD=/BCD.一组对边平行且相等，如图1ABIICD,AB=CD.两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=ODo2利用定义和定理间接识别平行四边形2o1一组对边平行且一组对角相等，如图1,ABIICD，/ABC=/ADCo证明:*/ABIICD:./ABC+ZBCD=180°又:/ABC=ZADC:./ADC+/BCD=180°/.ADIIBC/.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图7/12

1,ABIICD,OA=OC。证明：•「ABIICD:.乙BAC=ZDCA在/AOB和/COD中，/BAC=ZDCA,OA=OC"AOB=/COD「./AOB^ACOD(ASA).AB=CD.•.四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等)2。3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图1,"DAB+"ABC=180°,"ABC+"BCD=180°。证明：•「"DAB+"ABC=180° /.ADIIBC 又•「"ABC+"BCD=180°.ABIICD.四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行）3不能识别为平行四边形两组不同的邻角互补，如图2,"A+/B=180°,"C+/D=180°,可以画出梯形.识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件.两组邻边相等，如图3,AB=AD,CB=CD，不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4,"A="D，/B="C,可以画出等腰梯形.一组对边平行且另一组对边相等，3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法，如图5:①作/ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法，如图5:①作/ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点A、B、C作。01,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作。C,④以AC为弦作。01的/等圆。O2,交。C于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边形，而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即B,O1O2AB=CE，/ABC="AEC。3。5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线,不一定是平行四边形.反例作图方法，如图6：①作线段AB,②过线段AB的中点O作直线CD，③过点B作BE_LCD，垂足为E，④以点E为圆心,小于线段OE的长为半径作。E,交CD于F、G两点，⑤以点A为圆心，BF长为半径作。A,交直线CD于H、I两点，则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB.说明一个四边形是平行四边形的思8/12

山东于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形.如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明.一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.例1如图"在^ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E,EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF.图1分析：由AD是角的平分线，可知/1=/2，由DE//AC,可知/2=/3,所以/1=/3,即可得AE=ED，要说明AE=CF,可转化为说明ED=EC,因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了.解：因为/1=/2,/2=/3，所以/1=/3,所以AE=ED,又因为DE//AC,EF//BC,所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.所以ED=CF,所以AE=CF.二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”.例2如图2,AE、CF分别是LABCD的内角/DAB、/BCD的平分线,试说明四边形AECF是平行四边形.D, ~E/ C9/12图2解：在「ABCD中，因为/DAB=ZBCD,又因为；； 1Z1=/DAB,Z2=/BCD,2所以，/1=/2,因为AB//CD，所以/3=/1,/4=/2,所以/3=/4,所以/5=/6,所以四边形AECF是平行四边形.三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3如图3,在dABCD中，AC、BD相交于O,EF过O分别交AD、BC于E、F，GH过O分别AB、CD交于G、H.试说明四边形EGFH是平行四边形.图3解：在uABCD中，因为AB//CD，所以/1=/2,因为OA=OC,/3=/4,所以△AOG^ACOH，所以OG=OH,同理OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形.构造平行四边形解题山东邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长例1如图1,在正AABC中，P为边AB上一点。为边AC上一点，且AP=CQ.今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于cm.分析：作QD//AB,交BC于点D，连接PD,MD.由AABC为正三角形，易知BP=BDAP=DQ,所以四边形APDQ为平行四边形.所以AMD是平行四边形APDQ的对角线.所以

AD=2AM=2x19=38(cm).由△ABD^ACBP可得PC=AD.所以PC=38cm.二、证明线段相等问题例2如图2,在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD，延长CB至UE,使EB=AD，连接AE.求证：AE=AC. /分析:连接BD.由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE.因为AC=BD，所以AE=AC.三、证明线段和差问题例3如图3,AABC中,D,F是AB边上两