余数问题ABC级学生版

知识框知识框架-、 带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（厚0），若有a:b=q……r，也就是a=bxq+r,0<r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：（1）当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r中0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。2、余数的性质⑴被除数=除数x商+余数；除数=（被除数-余数）+商；商=（被除数-余数）+除数；⑵余数小于除数.二、 三大余数定理：.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版 Page1of14—1=2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5—4=4.余数的乘法定理。与b的乘积除以c的余数，等于。,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23x16除以5的余数等于3x1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23x19除以5的余数等于3x4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a与b除以m的余数也相同.弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的。MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版 Page2of14

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。四、 同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：。三b（modm），左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以（1711）能被3整除.（2）用式子表示为：如果有a三b（modm），那么一定有a—b=mk,k是整数，即m1（a—b）3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是：为了求出W被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数凡使得：N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.1）整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2）整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3）整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4）整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5）整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6）整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.1）重难点理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了店例题精讲MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page3of14【例1】1013除以一个两位数，余数是12.求出符合条件的所有的两位数.【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。【例2】有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4,除以11余3。这个三位数是_【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是 .【例3】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page4of14【巩固】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1.那么，n最小是多少?【例4】222…2除以13所得余数是【例4】" V '2000个"2"【巩固】77777【巩固】77777除以41的余数是多少？^ /1996个7【例5】著名的斐波那契数列是这样的：1、【例5】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少?【巩固】有一列数：1，3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1，第二个数是3,从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是 .MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page5of14【例6】将从【例6】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A=13579111315171921则数a共有位，数a除以9的余数是___。【巩固】将12345678910111213……依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是.【例7】有一个整数，用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版 Page6of14【例8】在图表的第二行中，恰好填上89〜98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3.因敏89909192939495969798很被【巩固】求478x296x351除以17的余数.【例9】求1〜2008的所有自然数中，有多少个整数a使2a与a2被7除余数相同?【巩固】今天是星期四，10100天之后将是星期几?MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版 Page7of14【例10】22008+20082除以7的余数是多少？【巩固】Q1【巩固】Q130+303113除所得的余数是多少?【例11】3个三位数乘积的算式abcxbcaxcab=234235286（其中a>b>c），在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少?【巩固】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page8of14【例12】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是【巩固】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33.求这个数是多少?【例13】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版 Page9of14

【例14】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值.【巩固】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10，则这个自然数是【例15】一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1，除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【巩固】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page10of14课堂检测课堂检测【随练1】3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 【随练2】6666…667的余数是多少？" V '1995个6【随练3】有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【随练4】商店里有六箱货物，分别重15,16,18,19,20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 千克.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page11of14【随练5】求3199的最后两位数.glue；家庭作业【作业1】在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有 个.【作业2】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。则c除以b，得到的余数是 。【作业3】有两个自然数相除，商是17,余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.余数问题（ABC级）.学生版Page12of14【作业4】已知a=20082008…2008，问：a除以13所得的余数是多少？2008个2008【作业5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够.如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够.问：第二组有多少人？【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是 .（第五届小数报数学竞赛初赛）【作业7】求2461x135x6047