数学教案－双曲线的几何性质3篇

数学教案－双曲线的几何性质3篇数学教案－双曲线的几何性质1一、教学目标：

1.了解双曲线的定义及几何性质；

2.掌握双曲线的标准方程以及其图像的基本特征；

3.了解双曲线与焦点、离心率的相关性质。

二、教学重难点：

1.掌握双曲线的标准方程；

2.了解双曲线与焦点、离心率的相关性质。

三、教学准备：

1.教师备课资料；

2.教材资料。

四、教学内容：

1.双曲线的定义及基本性质

双曲线是一种与直线对称的曲线，其基本方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

双曲线有如下几何性质：

(1)双曲线的两支相互分离，与直线$x=0$和$y=0$分别相切，且在$y轴$正半轴和$y轴$负半轴分别有一个渐近线；

(2)两支双曲线在$x$轴上有交点，该点称为双曲线的顶点；

(3)双曲线与$x$轴交于两点，称为双曲线的两个$x$截距点；

(4)双曲线的中心为原点，其两支的对称轴分别为$x=0$和$y=0$轴。

(5)双曲线的离心率为$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$，与焦点的距离的比例为$\frac{PF_1}{F_1O}=e$，$\frac{PF_2}{F_2O}=e$。

2.双曲线的标准方程及图像特征

双曲线的标准方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

当$a>b$，且$b^2=a^2+c^2$时，双曲线的标准方程可表示为

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2}=1$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

双曲线的图像特征为：

(1)当$a>b$时，两支双曲线分别沿$x$轴伸展，对称中心在原点，顶点在$x$轴上；

(2)当$a<b$时，两支双曲线分别沿$y$轴伸展，对称中心在原点，其顶点在$y$轴上。

3.双曲线与焦点、离心率的相关性质。

双曲线有如下焦点和离心率的性质：

(1)双曲线有两个焦点$F_1$和$F_2$，坐标分别为$(\pmae,0)$，其中$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$为双曲线的离心率；

(2)焦点$F_1$、$F_2$到曲线上任一点$P$的距离之差等于$2a$，即$PF_1-PF_2=2a$；

(3)双曲线的离心率$e$是两个焦点到对称轴的距离之比，即$e=\frac{F_1C}{OY}=\frac{F_2C}{OY}$，其中$C$为对称轴上离中心最近的点。

4.综合例题

例1：求通过点$(4,0)$，焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程。

解：由于焦点在$y$轴上，设双曲线方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。

又由于过点$(4,0)$，代入双曲线方程得到$\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，

化简得到$4-y^2=\dfrac{4a^2-b^2}{a^2}y^2$，

将$a=\sqrt{(4+f)^2+16}$，$b^2=4f^2+16$代入方程得到

$y^2=\dfrac{80-12f-3f^2}{3f+4}=\dfrac{3}{4}(4-f)-\dfrac{(f-2)^2}{4(4+3f)}$。

因为要求通过点$(4,0)$的双曲线方程，

所以$f=2$，代入得$y^2=2-\dfrac{1}{7}x^2$，

即为所求双曲线的标准方程。

例2：以下叙述是否正确：“双曲线有两个焦点，两焦点到曲线上任一点的距离之差等于$2a$”。

解：这个叙述是正确的，可以通过双曲线的定义，或者求两个焦点到曲线上(P点)的距离得到。

设双曲线方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，两个焦点坐标为$(ae,0)$和$(-ae,0)$，

则过曲线上任一点$P(x,y)$的两条直线分别为$PF_1:y=k(x-ae)$和$PF_2:y=k(x+ae)$，

其中$k=\dfrac{y}{x}$，因为点$P$在双曲线上，所以它在曲线的两支中的一支上，不妨假设在$x>0$的那支双曲线上，

又因为$k=\dfrac{y}{x}>0$，所以$PF_1$和$PF_2$在$x$轴的两侧，不互相干扰。

代入双曲线方程，得到

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x-ae))^2}{b^2}=1$和$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x+ae))^2}{b^2}=1$。

两式消去$x$的平方项，得到$k^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=\dfrac{1}{e^2}$。

将$k$代入$PF_1$和$PF_2$的式子，得到$PF_1=\dfrac{a}{e}$，$PF_2=\dfrac{a}{e}$，

所以$PF_1-PF_2=\dfrac{a}{e}-(-\dfrac{a}{e})=2a$，

即为所述的性质。

五、教学反思

双曲线是高一数学中比较重要的内容之一，需要同学们掌握其标准方程以及图像的基本特征。本课时通过双曲线的定义及基本性质、标准方程及图像特征以及双曲线与焦点、离心率的相关性质三个方面进行了讲解，希望同学们能够通过课上讲解和课下练习掌握双曲线的相关知识，为后续高中数学的学习打下坚实的基础。数学教案－双曲线的几何性质2教案内容：双曲线的几何性质

一、知识背景

双曲线是一种重要的二次曲线，也是一种基本的函数曲线。在数学中，它有着重要的应用，涉及到许多重要问题，如高速公路的规划、天体轨道的计算、综合布线的设计等。

二、教学目标

1、能够熟练地描述双曲线的定义、基本形态。

2、了解双曲线的坐标方程、参数方程、极坐标方程的求法。

3、认识双曲线的离心率、渐近线、对称轴等几何性质，并能将其运用到具体问题中。

三、教学过程

1、双曲线的定义

双曲线是由一个点P和两条互相垂直的直线（焦点直线）F1F2上的点集合成的，P点到F1、F2两点距离之差为常数2a（a>0），称为双曲线的参数，表示为e。双曲线可以分为两支，称为第一支和第二支。

2、双曲线的基本形态

双曲线的基本形态有两种：右双曲线和左双曲线。由于双曲线是轴对称的，因此我们只讨论右双曲线。

右双曲线有如下特征：

（1）焦点F1、F2在x轴上，且距离为2a。

（2）双曲线的顶点在x轴上，且距离为a。

（3）双曲线的渐近线分别为x=a和x=-a。

（4）双曲线的坐标轴为对称轴。

3、双曲线的方程

（1）坐标方程：

对于右双曲线，它的坐标方程为：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)

左双曲线的坐标方程为：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=-1

（2）参数方程：

右双曲线的参数方程为：

x=asecθ,y=btanθ

左双曲线的参数方程为：

x=-asecθ,y=btanθ

（3）极坐标方程：

对于右双曲线，它的极坐标方程为：

r^2/a^2-cos^2θ=1

左双曲线的极坐标方程为：

r^2/a^2-sin^2θ=-1

4、双曲线的几何性质

双曲线的几何性质有很多，这里只列举部分重要的。

（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于参数2a。

（2）双曲线的离心率大于1，且等于c/a，其中c为焦点与顶点的距离。

（3）双曲线的渐近线分别为x=a和x=-a，斜率分别为±b/a。

（4）双曲线的对称轴在y轴上。

（5）双曲线与x轴的交点在x=±a处。

（6）双曲线上任意一点的切线与焦点连线的夹角等于对应焦点线段与横轴的夹角。

5、例题解析

（1）问题：求由双曲线x^2/16-y^2/25=1所确定的图形的面积。

解：根据该双曲线的方程，可知a=4，b=5。求出其焦点的坐标，为(±3,0)。再求出双曲线与x轴的交点坐标为(±4,0)。因此，该双曲线确定的图形为一个椭圆和它上下方两个无限大的扇形。根据椭圆的面积公式和扇形的面积公式，可求出该图形的面积为π×4×5+2×(1/2)×4^2×π/2=30π。

（2）问题：求由双曲线x^2/9-y^2/1=1所围成的面积。

解：根据该双曲线的方程，可知a=3，b=1。求出其焦点的坐标，为(±(√10)/2,0)。因此，该双曲线确定的图形为两个对称的分支，它们的交点坐标为(±3,0)。由于双曲线的对称轴在y轴上，因此可以通过将一个分支分别绕y轴和x轴旋转一周，得到两个体积相等的旋转体，再求出它们的体积之和即可。根据旋转体的体积公式，可求出该图形的体积为Π×（∫0³y^2×dx+∫³√10³y^2×dx）。化式可得该图形的体积为（33/2-3Π）/2，所围面积为（33/2-3Π）。

四、总结

本节课对双曲线这种常见的曲线进行了详细的介绍。包括双曲线的定义，基本形态，方程，以及其几何性质。了解这些知识，能够帮助我们更好地理解并应用双曲线。数学教案－双曲线的几何性质3一、教学目标

1.了解双曲线的基本概念和方程；

2.理解双曲线的几何性质；

3.掌握画出双曲线的方法；

4.能够解决与双曲线有关的问题。

二、教学重点难点

1.双曲线的方程和概念；

2.双曲线的几何性质。

三、教学内容

1.双曲线的基本概念和方程

双曲线是一种具有两支的曲线，它的定义方式是在平面上选取两个点F1和F2以及一条直线L，使得F1、F2都在L的同一侧且在L上的任意点P满足PF1-PF2的差恒定，这个差就是双曲线的离心率，表示为ε。

双曲线的主轴是连接两个顶点的线段，离心率ε=a/c，其中a和c是顶点到主轴距离的一半和焦点到顶点距离的一半。双曲线一般表达式为x²/a²-y²/b²=1或y²/a²-x²/b²=1，分别表示竖直方向和水平方向的双曲线。

2.双曲线的几何性质

（1）双曲线有两条渐近线，水平方向的双曲线的渐近线为y=±b/a×x，竖直方向的双曲线的渐近线为x=±b/a×y。

（2）双曲线有两个对称轴，分别是x=0和y=0；

（3）双曲线的离心率ε>1，离心率越大，双曲线的形状越扁，当ε趋于无穷大时，双曲线趋近于两条渐近线的距离越来越小的平行线。

（4）双曲线的焦点是曲线两支的交点。

（5）双曲线是一对共轭的曲线，即两支曲线互为中心对称。

（6）双曲线上每一个点的切线都与离心线成同一个角度。

3.画出双曲线的方法

（1）根据双曲线的方程，初步判断双曲线的形状；

（2）确定离心距和焦点位置，根据离心率确定双曲线的大小；

（3）确定曲线上两点的坐标，作出双曲线中心O；

（4）求出两条渐近线的位置，并画出；

（5）根据曲线的几何性质，如对称性等，画出整个双曲线。

四、教学方法

讲授、演示

五、教学过程

1.导入

通过展示一地球仪和一个椭圆形、一个双曲线形的篮球，向学生展示椭圆和双曲线的形状。询问他们是否了解这两种曲线，然后引入双曲线的定义和基本概念。

2.知识讲解

讲解双曲线的概念、方程及几何性质。

3.画出双曲线

演示如何画出双曲线，让学生通过练习画出多种不同类型的双曲线，强化对双曲线的理解和掌握。

4.解决问题

通过解决一些相关问题，练习学生的能力，帮助他们巩固双曲线的概念和几何性质，提升应用能力。

5.总结

对双曲线的基本概念和几何性质进行总结，巩固所学内容。

六、教学评价

检测数学教案－双曲线的几何性质

1.双曲线的离心率表示为（）。

A.a/b

B.b/a

C.a+c/b

D.a/c

2.双曲线的主轴是连接（）的线段。

A.两个顶点的点

B.两个焦点的点

C.两个渐近线的点

D.双曲线的中心和焦点

3.双曲线的一般表达式为（）