完整全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题

（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角一、倍长中线（线段）造全等,AB+AC+形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等,AB+AC+例1.已知：如图3所示,AD为4ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。分析：要证AB+AC>2AD,由图形想到：AB+BD>AD,AC+CD>BD+CD>AD+AD=2AD,图3即加倍中线，把所要证的但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD线段转移到同一个三角形中去。即加倍中线，把所要证的证明：延长AD至E,使DE二人口，连接8£^£。3图例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.因为BD二DC二AC,所以AC=1/2BC因为E是。。中点，所以EC=1/2DC=1/2AC（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题NACE=/8。4，所以48。464人。£所以/ABC二NCAE因为DC二AC，所以/ADC=NDACNADC=NABC+NBAD所以/ABC+NBAD=NDAE+NCAE所以/BAD二NDAE即AD平分NBAE应用:二、截长补短例1。已知：如图1所示，AD为4ABC的中线，且N1=N2,N3=N4。求证：BE+CF〉EF。分析:要证BE+CF〉EF,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知N1=N2,N3=N4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中.证明:DD取AB中点E,连接DE•・・AD=BDADE±AB,即NAED=90【等腰三角形三线合一】•・・AB=2AC・•,AE=AC（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题又・.,NEAD二NCAD【AD平分NBAC】AD=AD・・・/AEDg/ACD(SAS)AZC=ZAED=90ACD±AC2、如图，AC〃BD,EA,EB分别平分NCAB,NDBA,CD过点E,求证；AB=AC+BD在AB上取点N,使得AN=ACZCAE=ZEAN,AE为公共边，所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ANE二NACE又AC平行BD所以/人。£+/8。£=180而NANE+NENB=180所以/ENB二NBDENNBE二NEBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在abc内，/BAC=600,/C=400,P,Q分别在BC,CA上，并且人「，BQ分别是C/BAC,/ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPC△证明：做辅助线PM||BQ,与QC相交与M。（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题（首先算清各角的度数）VZAPB=180°—ZBAP—ZABP=180°—30°—80°=70°且NAPM=180°-ZAPB—ZMPC=180°—70°—ZQBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°ZAPB=ZAPM又TAP是BAC的角平分线，•・ZBAP=ZMAPAP是公共边••△ABP〃ZkAMP（角边角）・・AB=AM,BP=MP在△MPC中，ZMCP=ZMPC=40°JMP=MC・・AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中.・ZQBC=QCB=40°•・BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=AC・・BQ+AQ=AB+BP4、角平分线 如图，在四边形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分/ /ABC,求证：ZA+ZC=1800 / \延长BA,作DF_LBA的延长线，作DE_LBC・・・DE=DF（角分线上的点到角的两边・・・DE=DF（角分线上的点到角的两边等）・••在Rt^DFA与Rt^DEC中距离相（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题・.・N1=N2AA\吧〜)2\{AD=DC,DF=DE}ARt△DFA^Rt△DEC(HL)AZ3=ZC因为N4+N3=180°・・.N4+NC=180°^ZA+ZC=180°5、如图在△ABC中，AB>AC,N1=N2,P为AD上任意一点，求证;AB-AOPB-PC延长AC至E,使AE二AB,连结PE。然后证明一下△ABPgAEP得到PB二PE备用（角边角证很容易△PCE中，EC〉PE—PC•・・EC=AE-AC,AE=AB・•・EC=AB-AC又PB=PE・•・PE—PC=PB—PCAAB—AOPB—PC三、平移变换例1AD为4ABC的角平分线，直线MN^AD于A°E为MN上一点，△ABC周长记为q,4EBC周长记为PBO求证PB>p.（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题例2如图，在4ABC的边上取两点口、E,且BD二CE,求证：AB+AC〉AD+AE。四、借助角平分线造全等A1、如图，已知在4ABC中，NB=60°,4ABC的角平分线人口^£相交于点0,求证：OE二ODA在AC上取点F,使AF=AETAD是角A的平分线•・角£40=角FAE/TAO=AO.三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）.EO=FO，角4。£=角AOFCE是角C的平分线角。。。=角FCO角B=60°角A+角C=180—60=120°角COD二角CAO+角。。4=角A/2+角C/2=60度.角OCF=180一角AOF-角COD=180—60—60=60角OCF=角COD・OC=OC（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题・・・三角形OCD与CFO全等（两边夹角相等）・•・CF=CDAAC=AF+CF=AE+CD即：AE+CD=AC2、如图，△ABC中，AD平分NBAC,DGLBC且平分BC,DELAB于E,DF，AC于F.（1）说明BE二CF的理由；（2）如果人8二a,AC二b，求AE、BE的长.证明：连接BD,CD。6,8。于6且平分BC所以GD为BC垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD平分NBAC,DELAB于E,DF，AC的延长线于F所以DE=DFTOC\o"1-5"\h\z在RT^BED,RT^CFD中 ADE=DFBD=CD B // /RTABED^RTACFD（HL）BE=CF D五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EFBEC又AE=AE,AF=AG,BEC所以三角形AEF全等于AEG

（完整）全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题所以/EAF=ZGAE=ZBAE+ZGAB=ZBAE+ZDAF又ZEAF+ZBAE+ZDAF=90所以NEAF=45度例2D为等腰&AABC斜边AB的中点，DM±DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当/MDN绕点D转动时，求证DE二DF。若AB=2,求四边形DECF的面积.做DP_LBC,垂足为P,做DQ_LAC,垂足为Q•・・D为中点，且AABC为等腰RTAABCDP=DQ二%BC二%AC又•・•NFDQ=NPDE（旋转）ZDQF=ZDPE=90°.,.△DQF^ADPE.*.SADQF=SADPE又TS四边形DECF=S四边形DFCP+SADPEAS四边形DECF=S四边形DFCP+SADQF