幂级数测试题

第十四章幂级数单项选择题：1设幕级数召曲'的收敛半径为R(0<R<_RM),则以下断语中正确的选项是£岁1Rm〔A〕N-1尚在上一致收敛。2>劭犬fng〔B〕甚」 在L&用内某些点处非绝对收敛。〔C〕的收敛半径大于应。厂30,22-"r'〔D〕对任意的 m孔，在门上一致收敛。tv7 ’,・2。假设幕级数M-口 在冗=2处收敛，在羌二一3处发散，则该级数(A)在走=3处发散； (B)在n=—2处收敛；(C)收敛区间为Jt21； (D)当*’3时发散。2-.幕级数级数甚」比的收敛域是(C)(T) (D)(-LL.假设幕级数甚一0 的收敛半径为R,那么11m也二尺 lim-^=A?tfg内 &Teo疗(A)的, (B) %+1 ,1沁%+1如即=氏 嗖丁丁三―(C尸Ts , (D)不不一定存在..如果产口)能展开成芯的幕级数，那么该幕级数(A)是丁⑴的麦克劳林级数； (B)不一定是丁㈤的麦克劳林级数;学习文档仅供参考(C)不是丁⑴的麦克劳林级数； ①)是丁⑴在点演处的泰勒级数。6.如果3，则幕级数6.如果3，则幕级数x-UT<2T<2(A)当' 时,收敛;1工〉一(C)当S时,发散;(B)当工'时,收敛;1I)一(D)当2时，发散£附(元+7..设级数制” 在先二一1处是收敛的，则此级数在先二1处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。£(73炉8幕级数£乎而I在其收敛区间的两个端点处A全是发散的. B.全是收敛的C.左端点发散,右端点收敛.D左端点收敛,右端点发散9.函数x展开成〔苫一可的幕级数的方法是1 1B⑷一二 4=&q7%一歹(-1门汇1)x3十"―3)3H.o.(0<x<6)1_1 1 _1春『(0<x<6)TOC\o"1-5"\h\z元3]+某'3s_(> 331 1o<v_3>①)'殳T=㈠一步k 3M I3 11 1& fx-(口)-二5二(-1)1R(0<jc<6)汽 3x_ci I3 /02-10.幕级数格㈤[T2] ⑻(-2,2) ⑹(-2,2] ⑷[-2,2)(-电答案：1—10DDBDAADDDA学习文档仅供参考

位＞0）填空题：1.假设幕级数i 在eg内收敛,则厘应满足 犬 £叫（工+1户.设幕级数的收敛半径为2,则级数的收敛区间为..级数1+或一句十克"1一疗+…+^（17）、…的和函数为..设陶，/…，是一等差数列（附*U＜则幕级数M 收敛域是 .ynMPH H-1乙阳克乙题/N.N-1与M 有相同的..si口兀的幕级数展开式..幕级数只有在 区间内才有和函数..经过逐项微分或逐项积分后幕级数 不变.d产”9产I的1的幕级数表达式..级数A（m―/）+（｛-户]+…+住I婷）+…在区间收敛.(0<a<1), 2.(-3ex<1) 3一式琦二 壬答案：1. 1—x十工.4.(-1,1) 5.收敛区间.2m-L——+…2m-L——+…(2盟一1)!(-00CX<4-00)2A 10.H1]7.收敛.8.收敛半径.9.”-口加计算题S2M-1题K.求幕级数的收敛域及和函数..求幕级数L2元+2召工口+…+内S+D犬+…的收敛域及和函数..求幕级数的收敛半径与收敛域七■D [ [ B...M（1） 乙 冷 4士学习文档仅供参考

2 _3 4.将函数了⑺=1n…+R+工）展开为X的幕级数,并指出收敛域..求函数了（为='+2工-4M+7^在x=i处泰勒展开式.96,设幕级数M-0X，当H＞］时有-或总-D%=&且固=4%二L求该幕级数的函数.7,将“乃E+M*展成x的幕级数.工（~“胃㈠…D.求幕级数的和函数.Z（2题+1*.试求幕级数的收敛区域及和函数了⑴二方（-1加4Z（2题+1*.试求幕级数的收敛区域及和函数了⑴二方（-1加4.设«-11确定了⑴的连续区间，并求积分勺值答案:lim也二1,1-71•解因&且当X=±1时级数都发散,故该级数的收敛域为(-1,1),令「汇 r不s 陌f0y©成=｝二内广出=工»-1。—刈1+KLT汇fs+l);?

_J!-1汇fs+l);?

_J!-1立二lim双超+D=12•解：收敛半径 …5+1）5+2）,当无二±1时,原级数发散,故原级数的收敛域为（-1,1）.设其和函数为武力,=£程5+口K*=X>理［用+1)汽*7%』 L学习文档仅供参考3.(1)解记3.(1)解记lim=1,故收敛半径R=1,收敛区间为（-1,1）

=1时，由于%T2（网T⑹,故级数发散,所以该级数的收敛域为（-1,1）.（2）解记2因为lim——lim——NTS2012-+00所以收敛半径R=1,收敛域为[-1,1].'.'/(X)=1所以收敛半径R=1,收敛域为[-1,1].'.'/(X)=1口(14十+中+炉+x4)=lil4.解1-?x--I-In口一段=-的收敛域都是[-1,1],故当—1工冗＜1时lti(l+x+/+/+f)=ln(l-x) 十・・・+ 2 十・・・+ 2RX无十一25.解因"i"1)=(2f+2喝[5ni>(-8+42x)|^=34,r(l)=42,尸)①=Ci°34)：./(x)=S+15(t-1)+17^-1)2+7(x-1)\xe(—叱4w)s⑺=已/惠印㈤=£阴4六1.设和函数 制3则I学习文档仅供参考

k・3 R・Z R■口即洌⑴5加。，即）二曲二4济⑼一口.5 3s S㈤=T*I解上述关于认制的二阶微分方程,得 2 2.解易看出。十巾,二⑺：而1!21?

TT1!21?

TT上,上,112工3工 £内+1/W=l+—+—-+--=1+2—2r\两边求导，得 1! 2! &1窃8.级数的和函数为\o"CurrentDocument"虱x)=£(-1严题口/二式(-1严^产1

»-L K-1=冗£(-1严公=K-K-1 .=冗£(-1严公=K-K-1 .冗£(_1严"Tn-1=工工yLh-1RR0+疗xyTD9,由于级数在（一1，1）上收敛，9,由于级数在（一1，1）上收敛，所以当xw（-l,1）时，有心）=£（2"1V=R-1 R-1 »-1_a-广二E10.因为幕级数的收敛域是（-1，1），所以/⑴在（T1）上的连续，学习文档仅供参考且可逐项积分。且可逐项积分。1 g1H-1/㈤=f/㈤=f&/证明题：1.设 M口在ZUKe>k+1内'''内收敛，假设3用十］ 也收敛,则「丁㈤服=£旦尸7Jo £用£卡2.设f为幕级数M-0在（-R,R）上的和函数，假设f为奇函数,则原级数仅出现奇次幕的项，假设f为偶函数,则原级数仅出现偶次幕的项.g__M3,设函数/㈤2U定义在［0,1］上,证明它在（0,1）满足下述方程:/W+/Cl-z)+ln汇1口(1—4.设厘广犯=%+%-/=2,二…），证明当1 014.设厘广犯=%+%-/=2,二…），证明当1 011 k1M-1<- 乙颠K2时，级数1敛.5.设幕级数MN-0的收敛半径分别为与我二1nm我二1nm（我1，&），证明:£（劭+瓦铝幕级数制4 绝对收敛。6.设1+X

In =X<16.设1+X

In =X<14T1一元，求证：,3 」2h-1\+凡⑴MW_211n有一甚-口 。证明：当7,设出二1，/ 2融%，=L1n有一甚-口 。证明：当方1,1）时，r㈤满足方程0一铲卜.号学习文档仅供参考

.假设幕级数4 的收敛半径为R（＞0）,且在走二区（或工二一司时收敛,则级数在, 在［0,R］（或［-R,0］）上一致收敛..设函数丁比）在区间（的句内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切底⑼,有= …，证明:对（厘㈤内任一点工与飞有B.o刈.y=E^—.证明：m（记了满足方程铲十炉一y二口.对匚凡八琦=答案：1.证明：因为当 X』 收敛，有［；九）出二£J"广威=£W产LX三L凡的N-0 必~0盟十1TOC\o"1-5"\h\z0N 00Z%旦制+1 Nh^b+1(9Z\h-0又当忑=R时,i+1 收敛，从而可知在-0融+1在x=R左连续，(9Z\h-0\o"CurrentDocument"9 1=VnPH+1

制-0用十11汽k）=£&£（H〈r）=/（—#=£（—iy防犬（H. B-0 , «-0当丁（外为奇函数时,有/团+/（一外=°（卜卜”从而%+（7%=05=12,・・）0羯,二0（此二L2…）了⑴二Z啊后产”《工卜花这时必有 制」当了（用为偶函数时,有/⑺一」（一汇）=皿水的二%一（一以％=0,5=122此式当且仅当的卜1=0防=L2,…）n=/比）=£的盛感»-0此式当且仅当学习文档仅供参考

.证明：设尸⑶二丁⑶+义1一方+由田项―戏工匕口1）则*([)=『5)一产(1-1)+工M0-工)-Jlti工X 1-X0=£»-10=£»-i£0-x产1£犬 10=£»-10=£»-iK-1砰 M-l 1一工9-1 不£（1-工产£产】|£（17产_口龙_1邛 7匐x-1巾所以斤⑶二二。<9型⑴力）故/⑴+川-幻+i门1项一幻二“）.0<x<1>4,因为叼=%=1%网=%+%-式同=23…），所以%>a%+i>%佃之2）取极限得到lim<2之曲犬-取极限得到lim<2之曲犬-1R>-,从而级数H-1 的收敛半径2ynM-l乙冉ynM-l乙冉X时,级数N-l收敛.5.对于任意a|<5.对于任意a|<A所以H-0绝对收敛。绝对收敛。绝对收敛。6.x汇14

6.x汇14

时,In(1_x)=广/ /工'-x———-——-——+—学习文档仅供参考学习文档仅供参考1+为In1+为InT ,,fl-z故【=~+屋］3 52m+1 2m4-3Z A从而IlIIlI3h+Lj（小31+1+X4+,,,lim每—,十hTga，幕级数的收敛半径是1，，幕级数的收敛半径是1，所以当xe（T,1）时，M'）可微，2yrfis-1且以TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 23 2］rcSm-1nis+1口一耳»=L泳0一乙2您r状x故 «-1 X」g=2口］X+222（Kan--〔Lm-Jx加」m-2\o"CurrentDocument"0 9_yi 3理-1 .yi 2k+-1=劭X+乙时"=的支+乙劭X怨怨J即M'）满足方