广深珠三校2020届高三第一次联考试题及答案理数

广深珠三校2020届高三第一次联考数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求..已知集合A={xIy=lg(2一%)},B={xIx2—3x<0},则AAB=.A.{xI0Vx<2} B.{xI0<x<2}C.{xI2<x<3} D.{xI2<x<3}3B，21D，2.若复数z的共轭复数满足(1-i)Z=—1+2i,则I3B，21D，2A右A.2C雨C. 23.下列有关命题的说法错误的是.3.下列有关命题的说法错误的是.A,若“PVq”为假命题，则Pq均为假命题;B.若a、P是两个不同平面，mla,mup，则a±P；TOC\o"1-5"\h\z.1 九C.“sinx=2”的必要不充分条件是“x-石”；D.若命题p：3x0GR,x02>0，则命题：「P:VxgR,x2<0；4.已知某离散型随机变量X的分布列为X012384m1P27927则X的数学期望E(X)=.TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.1 C.3 D.23 2

5.已知向量a、b均为非零向量，，口=0｝则a、b的夹角为5.已知向量a、b均为非零向量，，口=0｝则a、b的夹角为.6.若cos(兀--a1817A—18兀B.3D.16，则cos17B.-18的值为.18c19D.1819.若直线mx+ny+2=O(m>0、n>0)截得圆(x+3>+(y+1)2=1的弦长为2,的最小值为.A.4B.12C.16D.6A.4B.12C.16D.62.设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为q的直线与C交于M,N两点，则FM•FN=.A.5 BA.5 B.6C.7D.89.已知定义在R上的偶函数f（x）9.已知定义在R上的偶函数f（x）=<3sin（①x+中）-cos（①x+中）（①£（0,兀）,①〉0）对任意xgR都有f(x)+fx+£卜0，当3取最小值时，f1^1的值为.27 VA.1 B.<31C.2.在如图直二面角A-BD-C中，△ABD、^CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E,将4ABE沿BE翻折到△A1BE,在^ABE的翻折过程中，BC与平面A1BE内某直线平行CD〃平面A1BEBC与平面A1BE内某直线垂直BC±A1BF列不可能成立的是.定义,n为n个正数p、乙、…、P的“均倒数”，若已知正整数数列｛a｝的p+p+ +p 1 2n n1 2 n力 1 7a+1 1 1 1前n项的“均倒数"为罚,又bn=—,则而+诃+…+宙=•12 23 1011A.11B.——1210C.11D.A.11B.——1210C.11D.1112.已知函数f(x)=xex—mx+5在(0,+s)上有两个零点，则m的取值范围是.A.(0,e) B,(0,2e) C.(e,+⑹ D.(2e,+8)第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分'y>-1.设x,y满足约束条件jx-y>2，则工=4x+y的最大值为；3x+y<14.若(3八三卜的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为；x.已知点P在双曲线x——y—=1(a〉0,b〉0)上，PF1x轴(其中F为双曲线的右焦点)，a2b2点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为3,则该双曲线的离心率为 ；16.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA1平面ABC,AB=AC=2,<3ZBAC=120。，若三棱锥P—ABC的体积为—，则球O的表面积为 ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)如图，在^ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,2bsinCcosA+asinA=2csinB；(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)若D为BC边上的点，BD=2DC,且ZADB=2ZACDa=3，求b的值.

.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC//AD，且AD=2AB=2BC=2,/BAD=90°,APAD为等边三角形，平面ABCD1平面PAD；点E、M分别为PD、PC的中点.,(1)证明：CE//平面PAB；,19.(本小题满分12分)(2)求直线DM与平面19.(本小题满分12分)已知椭圆C:二+号=1(a〉b〉0)的离心率为亘a2b2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1；3,0/作直线/与椭圆C交于不同的A、B两点，试问在X轴上是否存在定点Q，使得直线0A与直线QB恰好关于X轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由..(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-lnx-2.(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)函数f(x)在区间(k,k+1)(keN)上有零点，求k的值；(3)若不等式(x-m)(x-1)〉f(x)对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.x.(本小题满分12分)某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数y(万人)300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：•'2<—O0000000000000000000987654321年->12模型①：由最小二乘法公式求得•'2<—O0000000000000000000987654321年->12y=50.8x+169.7；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y="e法的附近.(1)根据表中数据，求模型②的回归方程y=M(a精确到个位，b精确到0.01).(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位).回归方程①y=50.8x+169.7②y=aebxZ(y-y)2i ii考公式、参考数据及说明：①对于一组数据”,与)包，Q，，叶，其回归直线W=a+刖的斜率和截距的最小Vz-z-、乙(w-W)(v一v)i i — —一二乘法估计分别为P= ——=——,a=w-Pv.Z(v-v)2ii=1Z(y-j)2ii②刻画回归效果的相关指数R2=1-主1 乙(y-y)2ii=1③参考数据：”462235,e1.4324.2.xyuZ(x-x)2ii=1Z(x-x)1-y)i ii=1Z(x-x)(u-u)i ii=15.54496.058341959.00表中u=lny,u=-1Zu.ii10ii=1请考生从第(22)、(23)两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分..［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)\x=2cos0,在平面直角坐标系xOy中，曲线R的参数方程为jy=2s.n0(0为参数)，已知点Q(4,0),点P是曲线C1上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M的轨迹C2的极坐标方程；(2)已知直线/：y=kx与曲线C2交于A,B两点，若04=3AB，求k的值..［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知函数f(x)=|ax+1|+12x-1|(1)当a=1时，求不等式f(x)>3的解集;f(x)>—(2)若0<a<2，且对任意x£R, 2a恒成立，求a的最小值.

数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.题号123456789101112答案BCCBBADDADCDm12、已知函数f(x)=xe-mx+—(e为自然对数的底数)在(0,+8)上有两个零点，则m的范围是()D.(2e,+8)A.(0,e) B.(0,2e) C.D.(2e,+8)【详解】由f由f(x)=mxex-mx+—=0得xex1 1当x=5时，方程不成立，即xw-，xex、八h(x)=xex、八h(x)=设xex贝Uh'(x)=Qx)一xexexx2——x——1ex(x—1)(2x+1)2m=m=故：要使x>0且xw1,・,.由h'(x)=0得x=1,2当x>1时，h'(x)>0，函数为增函数，当0<x<1且xw1时，h'(x)<0，函数为减函数，2则当x=1时函数取得极小值，极小值为h(D=2e,当0<x<1时，h(x)<0,且单调递减，作出函数h(x)的图象如图:xex1有两个不同的根，则m>2e即可，x——2即实数m的取值范围是(2e,+8).二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分2V313. 19； 14.15； 15. 3； 16.2。兀；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 一17.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,2bsinCcosA+asinA=2csinB；(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)若D为BC边上的点，BD=2。。，且ZADB=2ZACD,a=3，求b的值.TOC\o"1-5"\h\z【详解】(1) 2bsinCcosA+asinA=2csinB，由正弦定理得：2bccosA+a2=2cb 2 分••由余弦定理得:：b2+c2-a22bc +a2=2bc； 4分2bc化简得：b2+c2=2bc,所以(b—c>=0即b=c, 5分故qABC为等腰三角形. 6分(2)如图，由已知得BD=2,DC=1,ZADB=2ZACD=ZACD+ZDAC,••.：.ZACD=ZDAC,.・.AD=CD=1,……8分又cosZADB=-cosZADC,10分12+22-C2即 2x210分12+22-C2即 2x2x112+12-b2,2x1x1得2b2+c2=9，由（1）可知b=c,得b=<3.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC//AD/BAD=90°,APAD为等边三角形，平面ABCD1平面pad 12分且AD=2AB=2BC=2,（1）证明：CE//平面PAB；（2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值.【详解】（1）设PA的中点为N，连接EN,BN,E为PD的中点，所以EN为^PAD的中位线，则可得EN//AD,且EN=1AD.2 ，1…在梯形ABCD中，BC//AD，且BC=-AD,2，BC//EN,BC=EN,所以四边形ENBC是平行四边形，:.CE//BN，又BNu平面PAB,CEa平面PAB:.CE//平面PAB.；点E、M分别为PD、PC的中点. 2分 4分 6分法二：设O为AD的中点，连接CO,OE,E为PD的中点，所以OE是&DP的中位线，所以OE//AP,AD2+BD2—AB2 AD2+CD2—AC22AD-CD22AD-CD又OEa平面PAB,APu又OEa平面PAB,APu平面PAB,OE//平面PAB,又在梯形ABCD中，BC//AD，且BC=1AD,所以四边形BAOC是平行四边形，BC//BA,又OCa平面PAB,AB平面PAB,OC//平面PAB,又OEcOC=O,所以平面OEC//平面PAB,又CEu平面PAB,・•.CE//平面PAB. 2分 4分 6分系.已知点(2)设AD的中点为O,又PA=PD，.二PO1AD.••因平面PAD1平面ABCD,交线为AD,POu平面PAD,:.PO1平面ABCD，又由CO//BA，ZBAD=90。，・CO1AD.即有OA,OC,OP两两垂直，如图，以点O为原点，OA为X轴，OP为y轴，OC为Z轴建立坐标7分A(1,0,0),B(1,0,1),M]。1A(1,0,0),B(1,0,1),M]。1I227,D(-1,0,0),AB=(0,0,1),AM--1,走1)2，277, 8分则有＜m•ABm•AM=-x+1 ，可得平面ABM的一个法向量为m=y+—z=02(；3,2,0),DM=力4设平面ABM的法向量为：m=（x,＞，工）.cosm,DM-cosm,DM-m•DM

m\・]dm3)+22+02..12+<42:-，11分 10分可得:v142X2,yv142X2,y21(、已知椭圆C:一+—=1(a>a2b2；，且经过点2r-1v所以直线DM与平面ABM所成角的正弦值为12分19.（本小题满分12分）【详解】（I）由题意可得,又【详解】（I）由题意可得,又a2-b2=c2,（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（/3。）乍直线I与椭圆C交于不同的A、B两点，试问在X轴上是否存在定点Q,使得直线0A与直线QB恰好关于X轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.所以，椭圆的方程为*所以，椭圆的方程为*解得a2=4,b2=1,.（II）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，10

设直线l的方程为l+my-•巧=0,与椭圆联立可得(4+m2)y2-2/a厂1二0・设A(X1,y1),B(x2,y2),假设在x轴上存在定点Q(t,0). 6分2愿皿 -1 6分y1+y2=焉"y1y2=#.:PN与QN关于x轴对称，，匕Q+kQB=0,viy2即 -+ 二*y1(x2-t)+y2(x1-t)=0,oT1(3-my2-t)+y2(/3-1117^1)=0,TOC\o"1-5"\h\zo21rl(4-巧t)=Oot=-^-. 9分・••在x轴上存在定点Q(胃，0).使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 10分特别地，当直线l是x轴时，点Q(好，0).也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 11分综上，在x轴上存在定点Q(33,0).使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称 12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-lnx-2.(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)函数f(x)在区间(k,k+1)(keN)上有零点，求k的值；(3)若不等式(x-m)(x-1)〉f(x)对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.x【详解】(1)f(x)=1-1,所以切线斜率为f'(1)=0,x又f(1)=-1,切点为(1,-1)，所以切线方程为y=-1. 2分(2)令f(x)=1-1=0,得x=1,x当0<x<1时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x〉1时，f(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)=-1<0，又f(―)=--ln—-2=—>0,e2e2 e2 e211

所以f(x)在区间(0,1)上存在一个零点x1,此时k=0；因为f(3)=3-ln3—2=1-ln3<0,f(4)=4-ln4—2=2—2ln2=2(1-ln2)>0,所以f(x)在区间(3,4)上存在一个零点x2,此时k=3.综上，k的值为0或3. 6分(3)当x=1时，不等式为g(1)=1>0.显然恒成立，此时meR；)可化为xlnx+xm> x—1当0<x)可化为xlnx+xm> x—1x人/、 xlnx+x x-lnx-2 f(x)令g(x)=T,则g(x)==B，由(2)可知，函数f(x)在(0,1)上单调递减，且存在一个零点x,此时f(x)=x-lnx-2=0，即lnx=x-2所以当0<x<x时，f(x)>0，即g'(x)>0，函数g(x)单调递增;i当％]<x<1时，f(x)<0，即g'(x)<0，函数g(x)单调递减.TOC\o"1-5"\h\z所以g(x)有极大值即最大值g(x)=xjn匕=xSx^—?+，1=x，于是m>x. 9分1x-1 x-1 1 11 1(x-m)(x-1) xlnx+x当x>1时，不等式 >f(x)可化为m<—x x-1由(2)可知，函数f(x)在(3,4)上单调递增，且存在一个零点x2，同理可得m<x2.综上可知x<m<x.又因为x1e(0,1),x2e(3,4),所以正整数m的取值集合为｛1,2,3). 12分21.(本小题满分12分)某景区的各景点从21.(本小题满分12分)某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位).12回归方程①y=50.8x+169.7②y=aebxZ(y-y)2i ii考公式、参考数据及说明：①对于一组数据“,％）,”,吗），,「），其回归直线W=a+pv的斜率和截距的最小--乙（W一W）（v一v）i i — —一二乘法估计分别为P= ——=——,a=w-Pv.Z（v-v）2

ii=1Z（y-y）2ii②刻画回归效果的相关指数R2=1-暂 .乙（y-y）2

ii=1③参考数据：e546h235,ei.43h4.2.xyuZ(x-x)2ii=1Z(x-x)(y-y)i ii=1Z(x-x儿-u)i ii=15.54496.058341959.00表中u=lny,u=一Zu.ii10ii=1 1分解：(1)对y=aebx取对数，得lny=bx+Ina 1分设u=Iny,c=Ina，先建立u关于x的线性回归方程。Z(x-x)(-u)…

b= 1 1—=9—Z(x-x)(-u)…

b= 1 1—=9—h0.108Z(x-x) 83ii=1c=u-bxh6.05-0.108X5.5=5.456h5.46a=eche5.46h235……6分模型②的回归方程为y=235e0.11x。（2）由表格中的数据，有30407>14607,即30407Z(y-y)2

i14607> Z,乙(y-y)2ii=1 i=130407Z(y-y)2

i14607Z(y-y)2

i 3分 5分..…7分 9分.10分i=1i=11311分模型①的相关指数埠小于模型②的&211分2021年时，x=13,预测旅游人数为y=235eo.nxi3=2350.43b235x4.2=987（万人）……12分请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系中，曲线q的参数方程为＜在平面直角坐标系中，曲线q的参数方程为＜[y二2cos0,2sin0（。为参数），已知点。（4,。），点尸是曲线q上任意一点，点"为pq的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点"的轨迹q的极坐标方程;（2）已知直线/：y=区与曲线q交于46两点，若O4=3A8，求上的值.【详解】（1）设P（2c。出,2sin。），"（%»）.且点。（4,0）,由点M为PQ的中点,所以2cos0+4x= =22sin0y= 22+cosB, 3分=sind,整理得（X—所以2cos0+4x= =22sin0y= 22+cosB, 3分=sind,整理得（X—2%+）2=1.即+J2-4x+3