推荐学习高中数学竞赛联赛导引函数数列数学归纳法整数

生活的色彩就是学习联赛导引(二)函数数列数学归纳法整数一,基础知识导引<一〉,数列：1,等差数列：(1),定义：a1一a=d(常量)或2a+1=a+a2.(2)，通项公式：a=a1+(n-1)d.〃 (aaa)n n(n-1),(3)，前n项和公式：S=-1——n—=nad -d.n2 1 2(4)，任意两项a,a有a=ad(n-m)d.(5)，对于任意正整数m,n,k,l，若mdn=kdl，则ada=akda(.反之不行.(6)，若｛an｝,｛”均是等差数歹ij,则｛canddbn｝也是等差数列.(c,dgR)2,等比数列：(1),定义：J1=q(常量)或an+2=^d!.(2)，通项公式：a=aqn-1.a aa n1n n+1n'na (q=1)1(3)，前n项和公式：Sn=ja(1-qn)( .(4)，任意两项a,a有a=aqn-m.〃I11-q(qw ""m 11m(5)，对于任意正整数m,n,k,l，若mdn=kdl，则aa=aa^.(6),无穷递缩等比数列所有项和公式:S=limS=7a一(0<|q<1).n-8n1-q3,一些常用递归数列的通项:(1),形如and1=andf(n)的一阶递归式,其通项求法为an=a1dn-1(a-a)=ad—f(k).(累加法)k=1 k=1(2)，形如a=f(n)a的递归式,其通项求法为nd1a=a・a•a•・…4=a,f(1)f(2)f(3)…f(n-1)(n>2).(累积法)n1aaa112 n-1(3),形如and1=pan+q(pw1)的递归式，由an讨=pandq及an=pan_1dq,两式相减得and1-an=p(an—an/,有｛an讨-an｝是首项为a2-a1，且公比为p的等比数列,先求出a1-a,再求出a.K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习(4),形如an+1=pa“+q(n)(p丰1)的递归式,两边同时除以pn+1,得a—n+1pn+1aq(n) 7an+-^―,令b=fpn pn+1 n a—n+1pn+1aq(n) 7an+-^―,令b=fpn pn+1 n pn，得b=b+织n)，求b，再求a.n+1n pn+1 n(5)，形如a=paq(p>0,a>0)的递归式,两边取对数有lga =qlga+lgp,n+1 nn+1令b=lga，则b=qb+1gp，仿⑶得b，再求a.nn+1n〈二〉数学归纳法形式1:⑴验证p(n)成立；(ii)假设p(k)(k＞n)成立，那么可推出p(k+1)也成立.形式2:⑴验证p(n+1),p(n+2),…，p(n+r)(ii)假设p(k)成立,那么可推出p(k+r)也成立.＜三＞，整数：1,整数的分类:'负整数(1),1正整数!奇数:形如2n土1的数,它的平方被4,8除余1.⑵［禺数:形如2n的数，它的平方被4整除.「质数(素数)：只有1与本身两个约数. 「质数(系数)只有与本身两个约数［完全平方数:形如他的数,m为整数.⑶，i1 ⑷，［非完全平方数合数：约数个数大于2个. 〔非完全平方数.2,不定方程的常用解法:(1),公式法x二x0是方程ax+by=c的一组整数解，则该方程的所有解为Iy=y0(2)，数或式的分解法；二,解题思想与方法导引1,归纳-猜想-证明；法.三，习题导引＜一〉,选择题1,删去正整数数列1,2,3,项是A,2046(3)，不等式法;(4),奇偶分析法;x=x+bty二y-at•(o(5),换元法.2,数形结合；3,整体处理；4,换元法；5,配方法；6,估算中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003B,2047C,2048D,2049n+1n2,已知数列｛a｝满足3a +a=4(n＞1)且a=9，其前n项之和为Sn+1nK12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习TOC\o"1-5"\h\z|S—n-6\<-1-的最小整数n是n 125A,5 B,6 C,7 D,83,设等差数列｛an｝满足3%=5%，且a1>0,Sn为其前n项之和,则Sn中最大的是C,S20 D,S21用C,S20 D,S21用nn表示它的前n项之积,则nn中最大的是c,n12 d,n13x=a,x=b，,己S=x+xH—Fx，贝°4,等比数列｛a｝中，a=1536，公比q=-1,n1 2a,n9 b,nn5,已知数列｛a｝满足工讨=x-x1(n>2),下列结论正确的是B,x=-b,S=2b-B,x=-b,S=2b-a

100 100D,x=-a,S =b-a=a+a+a,b=a+a+a,…,C,x =-b,S =b-a6,给定公比为q(q丰1)的等比数列｛an｝，设b1b=a2+a]+a，则数列｛b｝B,是公比为q的等比数列B,是公比为q的等比数列D,既非等差数列又非等比数列2,且对任意自然数n,都有a；an讨•an+2C,是公比为q3的等比数列〈二〉填空题7,设数列a1,a2,…，a，…满足a1=a2=1,a3=丰1，又a•a•a•a-a+a+a+a，则a+aH—Fa的值是 .8,各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有项.9,设正数a0,a1,a2,•••,a，…满足4a^ -^a1a2=2a1(n>2)，且a0=a1=1,则数列｛an｝的通项an=.10,将二顶式(、迁+热)”的展开式按x的降幕排,若前三项系数成等差数列,则该展开TOC\o"1-5"\h\z式中x的幕指数是整数的项共有 个.n11,正整数n使得n2+2005是完全平方数,则(n2+2005)2的个位数字是 .n112,已知数歹ija,a,a，…,a，…,满足关系式(3-a)(6+a)=18,且a=3，则工一的值是012n n+1 n 0 aK12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习〈三〉解答题13,求满足pq+qp=r的所有质数p,q,r.14,n2(n>4)个正数排成几行几列:11121314212223242n313233343nn1n11121314212223242n313233343nn1n2n3n4nn其中每一行的数成等差数歹列每一列的数成等比数列列并且所有公比相等,已知a24-，试求a+a^—^a的值.42nn16 11 2242nn15,确定所有的正整数n,使方程x3+户+Z3-nx2y2z2有正整数解(x,y,z).K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习四，解题导引1,C在数列1,2,3,•••,2003中，删去了44个(442=1936)完全平方数，现给该数列再补上44项,得2,•••,2003,…,2047.所补的44个数中还有1个(2025=452)完全平方数，把它删除,再补上一项2048即可.TOC\o"1-5"\h\z1, ,2,C 由递推式变形得：3(a—1)=-(a—1)，令b=a—1，则b=--b且b=a-1=8.n+1 n nn n+1 3n, 1 1、 1 ,C/1、 C/1、T得｛b｝是首项为8,公比为；的等比数列，于是b=8•(--)n-1,得a=8•(--)n-1+1,n 3 n3n38[1-(-3)n] 1 1 1S= 3—+n=6-6X(--)n+n，所以S—n-6|=6*(-)n<-,n1+1 3 n 3 1253得3n-1>250,所以满足这个不等式的最小整数n=7.3,C设等差数列｛%｝的公差为d,由3a8=5a13,得啊+7d)=5(a1+122d),即a1=39 1 1,八一--d>0,所以d<0,则a=a+19d=--d>0,a=a+20d=d<0,S最大.2 20 1 2 21 1 2 201 1 1n(n-19)4,c 由已知an二1536X(-2)n-1=-3X(-2)n-10,得nn=(-3)n(-2)2，知HgR,27一一27一一=勺n9>n9,n13为正数,%为负数，且n12=a12^a11^a10爪9=(一/X2X(-3)n93n13=%•"12=8n12<n12，得L最大.5,A由x=x-x=(x-x)-x=-x，所以x =-x =x,即｛x｝5,A是周期为6的数列，得x100=x4=-5=-a，又x6k1+x6k2+•••+x6k6=\+x2+…+x=x+x+x-x-x-x=0，得S=x+x+x+x=x+x-x=2b-a。baaaaaa (1+q+q2)6,C由题设a=aqn-1，贝|—n+1 =3n11 3n02 3no3= 3n11 =q3 .n1baaaaaa (1+q+q2)n 3n-2 3n-1 3n 3n-27,200由aaaa=a+a+a+a①an+an+2an+3an+4=\+15+2a\+3a\+4②两式相减得：(a—a )(a aaaa-1)=0,又aaaaaw1,有a=a.K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习a=a=1,a=2a=a=1,a=2,由①得a=4+a，所以a=4,从而a+a+a+a=8,于是a+aH—Fa=25(a+a+a+a)=200.8,8 设4,a2,…,a”是公差为4的等差数列,则an=4+4(n—1)，由已知：a;+a2+…+a<1000a2+(4+4+a”)(n_D«100oa2+(n-1)a+(2n2—2n—100)<0.n 1 2 11此关于a1为未知数的一元二次不等式有解,应有A=(n—1)2—4(2n2—2n—100)>0,3—<2816 3+<2816八 3+<12816 o有7n2—6n—401<0,得 7 <n< 7 <9,又一\ >8，所以n的最大值是8,即满足题设的数列至多有8项.工n=0 i 9,a=|n>2时，由Ooi—-Jaa-=2a变形得n11(2k—1)2,neN n-n-2”n—1n—2 n—1+Ik=1「 c "c、 八n-1，得x=2x+1(n>2)，即x+1=2(x+1),a n+1 n n+1n—2a a n 1-2-n=1a an-1 n-2,令xn得｛xn+1｝是以x2+1=2为首项，公比为2的等比数列，因此xn+1=2n-1,即nan-2n-1=2n-1—1： ―八 a- n-1=(2n-1—1)2,即 n—=(2n—1)2(n>1),于是TOC\o"1-5"\h\zan-2 1-1aaana=—•3••…—n••a=n(2k—1)2(neN).又a=1，因而得结果.naaa1 + 01 2 n—1 k=111 110,8 易求前三项系数分别是1,-n,-n(n—1).由这三个数成等差数列，有2x-n=1+2 8 28n(n—1)，解得n=8和n=1(舍去).当n=8时,T讨=Cr.(；>.x(4-1),由413r,得r只能是0,4,8.11,9 设n2+2005=m2(m>0),贝|(m—n)(m+n)=2005=1x2005=5x401,得m=203n=198m—n=1 fm—n=m=203n=198或I ，解得|或m+n=2005 [m+n=401 [n=1002由10031002=10034x250+2，知它的个位数字是9;由203198=2034x49+2,知它的个位数字也是9.K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习1 1 112,-(2n+2—n-3)设b=—,n=0,1,2,…,则(3——)(6+-)=18,3 na bb11 1即3b-6b-1=0.ab=2b+-,b+-=2(b+-)n+1 n n+1 n3 n+13n31故数列｛b+-｝是公比为2的等比数列，n3b+1=2n(b+3=2n(—+1)=1X2n+1Ab=1(2n+1-1)。TOC\o"1-5"\h\zn3 03a3 3 n30£—Zb巨1(2，+1-1)」2(2n+1-1)-(n+1)」(2n+2-n-3)。ai3 3 2-1 3i=oi i=0 i=0 L 」13,解:显然p丰q，不妨设p<q.因为r为质数，所以P与q不能全为奇数,故P=2.⑴当q为不小于5的质数时,有pq+qp=2q+q2=(2q+1)+(q2-1)c2q+1 ” “ “=3x +(q2-1)=3(2q-1-2q-2+…+1)+(q+1)(q-1)2+1由于q不是3,也不是3的倍数,而q-1,q,q+1是三个连续的自然数,则其中必有一个数是3的倍数，又q不是3的倍数,得(q+1)(q-1)必为3的倍数,所以pq+qp是3的倍数,这与r是质数矛盾！(2)当q<5时，只有q=3，这时p=2,q=3,r=17.综上所述，有p=2,q=3/=17.14,(分析)设％=a,第一行数的公差为d,第一列数的公比为q,可得a=[a+t-d)qs-1st解:设第一行数列公差为d,各列数列的公比为q,则第四行数列公差是dq3，于是可得a24〈a42=(a+3da24〈a42111=(a+d)q3=—11 8a=a+dq3=2

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生活的色彩就是学习解此方程组,得a”=d=q=±1,由