几种插值法的应用和比较概述

插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 13271038格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）华华林于1779.1795拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点：(−9,5),(−4,2),(−1,−2),(7,9)，拉格朗日多项式：L(x)（黑色）y

(x),y

(x),yl

(xy

(x)各穿过对应的00 11 22 一点，并在其它的三个点的x值上取零.对于给定的若n1个点(xy0 0

),(x,y1

),………(x,yn n

)，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式L只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L相差(xx0

)(xx1

)……(xxn

)的多项式都满足条件.对某个多项式函数，已知有给定的k1个取值点：(x,y),……,(x,y),0 0 k k第1页 共11页xi

yi

对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的xi式为：

都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项L(x)kj0

yl(x)，jj其中每个l(x为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：jx

(xx)

(xx ) (xx j1 j1

(xx)l(x) i 0 k ，j x xi0,ij j i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k拉格朗日基本多项式l的特点是在x 上取值为1，在其它的点x，ij 上取值为0.i j i例：设有某个多项式函数f，已知它在三个点上的取值为：f(4)10，f(5)5.25，f(6)1，要求f(18)的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式：lx0lx

(x5)(x6)；(45)(46)；(x4)(x6)；1lx2

(54)(56)；(x4)(x5)；(64)(65)p的表达式（pf的插值函数）：p(x)f(4)l0

(x)f(5)l1

f(6)l2

(x)10(x5)(x6)5.25(x4)(x6)1(x4)(x(45)(46) (54)(56) (64)(61 (x228x136)4第2页 共11页此时数值18f11.插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的k1个点：(x,y), (x,y)拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点x取值0 0 k k j为1，而在其他点取值都是0的多项式l(x).这样，多项式yl(x)在点x取值为y ，j jj j j而在其他点取值都是0.而多项式Lxkj0

yl(x就可以满足jjL(x)ki0

yl(x)00 yij

0y ，j在其它点取值为0的多项式容易找到，例如： (xx) (xx )(xx ) (xx) 0 jjk 它在点x取值为：(xx) (x x ) (x x).由于已经假定x j i 0 j jj k i上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在xj其他点取值都是0的多项式”：

取值为1，而在l

xx

(xx0

(xx ) (xx ) j1 j1

(xx)k ，j x xj i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k这就是拉格朗日基本多项式.唯一性次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：p 和p1

pp1 2

在所有k1个点上取值都是0,因此必然是多项式(xx0

)(xx1

) (xxk

p1

p不等于0，次数就一定不小于2k1pp1 2

是两个次数不超过k的多项式之差，它的次数也不超过kpp1

0p1

p2性质第3页 共11页l0

,l, ,l1

（由某一组x0

x x1 n确定可以看做是由次数不超过n

X的一组基底.首先，如n果存在一组系数：0

,, ,1

使得，Pl00

l1

lnn

0，那么，一方面多项式p是满足P(x0

)0

,P(x1

)1

, ,P(xn

)n

的拉格朗日插值多项式，另一方面p是零多项式，所以取值永远是0.所以 0 1

n

0，这证明了l0

,l, ,l1 n

是线性无关的.同时它一共包含n1个多项式，恰好等于

X的维数.n所以l0

,l, ,l1 n

构成了

X的一组基底.n拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n次多项式）.优点与缺点点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式l(x)(xx0

)(xx1

) (xx)，k第4页 共11页图（2）(2值可能会突然出现一个大的偏差（图中的1415）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：l(x)j

l(x)xxj

1 k (xi0,ij

，x)i定义重心权

1 ，j k (x x)i0,ij j i上面的表达式可以简化为：l

(x)l(x) j ，j xxj于是拉格朗日插值多项式变为：

L(x)l(x)kj0

j yxx j

， （1）即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）个数增加一个时将每个 都除以(x x )就可以得到新的重心权 计算复杂度为j j kk(n，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度(n2将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数g(x)1插值，可以得到：第5页 共11页x,g(x)l(x)k j ，xxj0 j因为g(x)1是一个多项式.因此，将L(x)除以g(x)后可得到：k jL(x)

j0xxjk jj

， （2）j0xxj这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）（1）式容易计算的特点，并且在代入xL(x)l(x)它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋分段线性插值对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.问题的重诉g(x)插值误差.

11x

,6x6用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察在[-6，65在[-6，611在[-6，621在[-6，641问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数g(x).分析问题求解方法如下：g(x)

11x

X对应的函数值YX,Y作为两个等长的（本题采用3次多项式插值30.56，6]，插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数g(x)的图象进行对比.第6页 共11页问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：g(x)为了得到理想的对比函数图象，假设g(x)0.5长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数g(x)在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.分段线性插值原理给定区间a,b,将其分割成ax0结点的函数值为

x x1

b，已知函数yf(x)在这些插值y f(x)(kn)；求一个分段函数I (x),使其满足：k k k(1)I (x)y，(kn)；h k k(2)在每个区间,x 上,I (x)是个一次函.k kh易知,I (x)是个折线函,在每个区间,x 上,(kn)h k kI(x)

xx

ky

xxk y ,h k xk

x k1

x xk

k1于是,Ih

在b于是即可得到如下分段线性插值函数：I(x)nni0

yl(x),ii其中xx

i1 ,

当x xx时，且i时舍;xixx

i1

i1 il i

i1 xxxi i1

当x xi

时，且in时舍去;i10 ,

其他.问题的求解在MATLAB中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令第7页 共11页interp1,其调用格式为:Y1=interp1(XY,X1，’method’)XYX1X,Y11X1method是插值方法，包括：nearescubic：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值.spline：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab工具软件编写代码，并分别画出图形如下：(一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：1分段线性插值g(x)1次样条插值g(x)0.8y1y20.60.50.400.20-10-5 0 510-0.5-10-50 510最近点插值 次多项式插值10.8g(x)y310.8g(x)y40.60.60.40.40.20.20-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：第8页 共11页分段线性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次样条插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近点插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多项式插值10-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：分段线性插值3次样条插值10.8g(x)y110.8g(x)y20.60.60.40.40.20.20-10

-5

5

0-10 -5 0 5 10最近点插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多项式插值10-10 -5 0 5

0-10 -5 0 5 10（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值第9页 共11页分段线性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次样条插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近点插值g(x)g(x)g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2