刚体力学课件

（上）

电子课件经典力学（上）第四章刚体力学4.1刚体的运动刚体

各质点（质元）之间距离均保持不变的质点系，或整体及各部分的形状、大小均保持不变的物体一、刚体自由度

描述一个力学体系在空间的几何位置所需要的独立变量数二、刚体的自由度受到约束的质点系，其自由度会降低。N个质点的质点系，并有k个约束，描写该质点系运动的自由度为：S=3N－k距离保持不变的二质点系，在直角坐标系下，两质点的位矢为约束条件为该二质点系的自由度为：S＝3×2－1＝5三、刚体运动的几种形式平动

在刚体上选任意两点连一条直线，在运动过程中，该条直线的方位保持不变（与最初始的方位保持平行）运动特点

刚体上各点的运动状态完全一样自由度

S＝3可将作平动的刚体视为质点来研究，常将质心作为代表点彼此距离保持不变，且不共线三个质点构成的质点系。其自由度为：S＝3×3－3＝6刚体的自由度自由刚体的自由度S=6平面平行运动

在刚体运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动为称平面平行运动运动特点

刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动状态完全一样在研究作平面平行运动的刚体时，只需考察刚体上与固定平面相平行的任一剖面即可自由度

S＝3定点转动

在刚体运动过程中，在空间总存在固定点，其位置保持不变，刚体绕着该点转动，这种运动为称定点转动。运动特点

作定点转动的刚体，在任一瞬时总可视为是绕过固定点的瞬时轴转动。（瞬时轴的方位在变化）自由度S＝3一般运动（自由刚体）

刚体不受任何约束的运动。可视为刚体随某基点（通常是质心）的平动与刚体绕基点作定点转动的组合。自由度S＝3＋3＝6角速度

角速度定义为（弧度/秒）大小方向

转动平面的正法向（逆时针转动）角加速度

（弧度/秒2）角量与线量的比较角量

线量

线量与角量的关系

线速度与角速度的关系速度加速度二、转动定理作定轴转动刚体的角动量OωαiO’z在转轴上任选一点O为参考点，刚体上任一小质元Δm，其位矢，线速度，相对于O的角动量为即有总角动量在直角坐标系中的描述当转轴为刚体的对称轴时，J与ω方向平行。在轴对称位置的任意两质元Δmi和Δmj，总有令I称为刚体相对于转轴的转动惯量则刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式转动定理据质点组的角动量定理（方向与轴向垂直）令（轴向）说明刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用当转轴为刚体的对称轴时，

称为转动定理当ω为常量时，刚体相对于转轴的角动量守恒几种典型形状刚体的转动惯量圆环圆柱圆筒圆球细棒球壳回转半径圆环转动惯量总可以写成如圆筒圆球细棒球壳k

称为回转半径外力矩作元功：外力矩作总功：刚体作定轴转动的动能定理4.3刚体的平面平行运动一、基点法处理平面平行运动

平面平行运动＝刚体随基点的平动＋刚体绕过基点的定轴转动说明基点可以任意选择角速度与基点的选择无关通常将质心作为基点OPAABCDABCDA’B’D’B”D”Δφ1Δφ2C”Δφ1＝Δφ2几何证明ω与基点的选择无关，通常将质心选作基点证明：O为固定参考点，P为刚体上任一点，考察P点的速度PABO以A为基点以B为基点以A为基点，考察B点的速度将（3）式代入（2）式得即或而即所以二、刚体作平面平行运动的动力学方程质心（基点）的平动刚体绕过质心的固定轴转动三、刚体作平面平行运动的能量动能重力势能在任何瞬时，作平面平行运动的刚体上（或其延伸体）总有一点P，其速度vP＝0，该P点称为瞬时转动中心，

简称瞬心。在此瞬间，刚体绕P点转动意义刚体剖面点上所有点在瞬时都绕瞬心作转动。经无限多次绕一系列的瞬心的转动实现了平面平行运动刚体在作平面平行运动中过程中，通常瞬心在空间运动，若瞬心不随刚体的运动而变化，则该瞬心为定轴四、瞬时转动中心如何确定瞬心几何法计算法 若已知刚体上一点A的位矢、速度和角速度，则瞬心的位矢为例一半径为r的小球在半径为R的半球形碗的内壁作无滑滚动，以φ代表极角，试导出与角速度ω的关系式。ROCPφ【解】c为小球的质心，小球任一点的运动可分解为球整体随c的平动和该点相对于c的转动。因为小球作无滑滚动，所以球与碗的接触点P即是瞬心。应满足其数值关系为应为c点绕碗心o作圆周运动，故有代入上式得五.惯量张量xyzωoαβγ在o－xyz坐标系下五.惯量张量由得代入1.动量矩可得即令显然有则其中Ixx、Iyy、Izz分别是刚体相对x、y、z轴的转动惯量；Ixy、Iyx、Ixz、Izx、Iyz、Izy是交叉项，称作惯量积。若是连续的质点组，应该是积分角动量的矩阵形式以上，Ixx、Ixy、…、Izz等9个量组成了一个张量，称为惯性张量。当z轴与转轴重合时，ωx＝ωy＝0。角动量矩阵简化为即2.刚体的转动动能和转动惯量即代入可得而对比上两式，可得转动惯量I

的表达式又因为代入上式可得若将cosα，cosβ，cosγ分别记为α，β和γI的矩阵形式为对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项Iij。例如z轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（xi，yi，zi），总存在一个对称点（xj，yj，zj），并有xi＝－xj，yi＝－yj，zi＝zj

使得惯量积为0时，J、I、Ek的划简形式

①角动量②转动惯量③动能矩阵形式①角动量②转动惯量③动能例一个质量为m，半径是R的圆盘绕过其盘中心的竖直轴以匀角速ω旋转，盘面的法线与竖直轴的夹角为α。求（1）圆盘相对竖直轴的转动惯量；（2）设支撑轴承A、B距盘心O的距离为L，求A、B处附加压力。LLyxzαABωROαωωzωxzxαJJzJxJ1xzJ2以O点为原点，z轴沿盘面的法线方向，建立O－xyz坐标系，z轴、x轴和转轴在一个平面内则而则有本题可以这样考虑，将Jx和Jz分别向转轴方向投影并求和，得到J的转轴分量为J1而得到求附加压力角动量J的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴旋转，所以J是一个变量。αJJzJxJ1xzJ2J2(t)J2(t+△t)△φΔJ2＝J2ΔφτJ的变化是由于J的与轴垂直的分量J2变化所致。J2绕转轴以ω的角速度旋转。J2的大小不变，但方向变化。陀螺、又称为回转仪具有大的转动惯量对称轴，并绕该对称轴高速旋转的刚体称为回转仪，或称陀螺4.4回转运动（陀螺的运动）ωΩmgO玩具陀螺θ常平架陀螺仪杠杆回转仪无外力矩作用时，自转轴方向不变若陀螺、轴及重物系统的重心C偏离Z轴一距离l，导致有重力矩τ，杠杆仍保持水平，并按逆时针方向绕竖直轴（Z轴）缓慢地转动。一、杠杆陀螺的进动回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，自转轴还将绕某竖直轴回转的现象称为进动杠杆回转仪运动特性APZmgωlOZXO进动角速度Ω而可得矢量形式二、玩具陀螺的进动ωΩmgOθlcO进动角速度Ω矢量形式陀螺的运动特点当对着旋转着的有一点固定的陀螺施加外力时，它不顺着外力方向倾斜，而向着与外力垂直的方向即力矩方向倾斜；在外力矩作用下，陀螺并不产生与力矩成正比的角加速度，而是产生与力矩成正比的进动角速度。考虑陀螺进动所产生的附加角动量陀螺进动所产生的附加角动量它使总角动量的方向略有上翘若陀螺在初始时刻的角动量沿水平方向，然后由静止释放，在稳定进动时，陀螺的头略向下倾斜，使总的角动量仍沿水平方向。回转效应的应用自动导航枪管炮筒中的来复线例

在长为l的轴的一端，装上回转仪的轮子，轴