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文档简介

对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.

一、含参变量正常积分的定义四、含参变量正常积分的可积性三、含参变量正常积分的可微性二、含参变量正常积分的连续性一、含参量正常积分的定义设是定义在矩形区域上的

定义在上以

x为自变量的一元函数.倘若这时

在上可积,则其积分值

是定义在上的函数.一般地,设为定义在区域二元函数.当

y取上的定值时,函数是上的二元函数,其中c(x),d(x)为定义在上的连续函数(图1),

若对于上每一固定的

x值,

作为

y的函

图1含参变量的积分示意图

y=c(x)y=d(x)x定理1

()

若二元函数在矩

形区域

上连续,则函数在[c,d]上连续.证

设对充分小的(若

y为区间的端点,

则仅考虑),于是

二、含参变量正常积分的连续性由于在有界闭区域

R上连续,从而一致连续,

即对任意总存在对R内任意两点

只要就有所以,即I(y)在

上连续.同理可证:

若在矩形区域

R上连续,则含参

量的积分

在[a,b]上连续.注1

对于定理1的结论也可以写成如下的形式:定理2

若二元函数在区

域上连续,其

中c(x),d(x)为

上的连续函数,则函数

在上连续(教材上的定理3).证

(与教材证明方法不同)

令当y在c(x)与d(x)之间取值时,t在[0,1]上取值,且所以由于被积函数在矩形区域上连续,

由定理1得函数

F(x)在[a,b]连续.

定理3

()若函数

与其偏导

数都在矩形区域

上连续,

则函数

在上可微,且三、含参变量正常积分的可微性上连续,a(y),b(y)为定义在上

定理4其值含于[a,b]内的可微函数,则函数在上可微,且证明(比教材证明方法简单直观)把F(y)看作复合函数:由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有例1解由定理4，得注1

有时当被积函数含有对数函数，用“凑微分”、“分部积分”等常规方法求解较困难时，注意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故采用“先导后积”法，是求积分的高级方法.注2

有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰当地“嵌入”参数.所以因而另一方面所以注本题也可令x=tanθ，直接积分求出.定理5若在矩形区域

上连续,则证

记

其中对于

则有因为与都在D上连续,由

定理3,故得因此对一切有条件,所

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