高中数学竞赛讲义(免费)

中数竞赛料一高中学竞大纲全国中数联赛全国高中数学联赛（一试所涉及的知识范围不超出教育部年通高级中数学学纲》中所规的教要和内容，但方法要上有所提高。全高数联赛试全国高中数学联加试（二试）与际数学奥林匹克接轨在知识面有所展；适当增加些教学大纲之的内容，所增加的容是：1.平几几个要定：涅劳定理塞瓦理托勒定理西姆定。三形中几个特点旁心费马不式何值题几何的换对、平、旋转。圆的幂和轴。面积方法，数方法向量方法解析几何方法。2.代数周函，绝对值的数三公式三恒式，三角程三不等，三函。归递归数列其质一阶二线常系数递数的项公。第二学归法均值式西不等式排序不等式比夫等式一元函数。式三角形式，欧理单位根。多项式分解理，项的相等，整数多式有理*，项的值公式。n次多项式根个数根系数的关系实系多式虚根成对理。函数迭，简单的函数程3.初数论同，几得除法，蜀理完全余，次剩余，定程方程，斯数，马小定理，格点及其性质，无递降法欧拉定*孙子定*。4.组问圆排列，有重复元的排列与组合，组合恒等式。组合数，组合几何。抽屉原理。容斥理极原理。图问。合的分覆。平面凸、包应用*。注有号内加试中暂考但在冬令中能。三、高数学竞赛基础识第一章合易辑一、基知识定1一般，一组确的互的、无序对的全体构集，简称集用写母来表集的对为写来素x在合A中称属A，记为

A

，否称x不属于，作xA

。如，通常，Z，，，Q+分别表自然集、数集有理、实数集正理数集不含何元的集称为空集用来表示。合分有限集和限集两种。集合的示方法有列举集合的素一在括内并逗号开表集合的方，如{，2，3}；描述法：将集中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例{数}，{x}别表示有理数集和正实数集。定2子：两合A与，果合中的任一个元素都是合B中素，则叫做的集记为B，如Z。定集是任何集合的子集，如果A是的子也是的，称A与相等。如果是的集且B存在元素不属文档于，则A叫的子集。定义交，且xB}.定义并，或xB}.定义补，若AI,则xxI且xA称为A在中的。定义差，xxA,x}。定义集合{xax,xR}

作开间(ab，集合{xax,R,a}

作闭间[,]，记作理集的性质：对任意集合，，C有：（）)A

)A

C);

（2）BC)AB)

(C)

；（）A(A1

（4）CABCB11【证】里证1由读自己完成。（若(B)则且B或所以(A)

或(A)

，即x(A

B)A

)

之xA)A

)

则x()或(A)

，即

且xB或C即xA

且(BC

，xA

().（若x则A或B11

以x

或以x()

，又

xI

，以xC(B1

，CABCA1

B)

反之有C(AB)CA.1理加原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有种同的方法，第二类办1中有种的方法…，n类办法中有m种同的法那完成件一有2Nm12

n

种不的方法。定理乘法原理做事n个步骤第有不方第有种同12的方第n有种不同的法那完成件事共有m的方。二、法与例．利用中的，元否集。文档

n

种例设Maax

y

y}

，求：2kkZ)4kM(Z

；；（）若MqM则[明]（）为,，且kk)2

，以kM（设4k(kZ

在,使k2

2

于和xy有同的奇偶性，所以x2y2假设成立所以k.

yx

是奇或的倍数，不可等于4k，（）设x2y,q22xy,

，则pqy2a2)a

2

a

2

2

b

2

x

2

b

2

y

2

a

2

xa

2

xbya)

2

（因为yaya

．利用的证合，证B，再证BA，则B。例设，是个合又设合M足A

MB

M

BABMAB

，求合（，表【证(A)M若x(AB为A以A,M，所以)M；再证(B)，若xM，则AB

）若，则xAA

B

；）若x，则xAB

。所以().综上，B．分类思应。例Axx

2

x}Bxx

2

}Cxx

2

mx

，若，求a.AA,A【解依题设，A1}，再由x2a0

解

xa

或，因为，所以BA，以A，所以a或，所以或。因为，所以，若C，则0文档

，2m22

，1nnn1nnn若C，则1C或，解得.上所，a或；m或2m22

。．计数的。例集，，C是I={，2，，4，，6，，8，子集）若B，求有集合对，的个）求I非真子集的个数。【）集合I可划分为三个相交的子集；\B\，AB,I

中每个元素恰属于中一个集个元素共3种，一可确一满件集对所集合有10

。（）I的集分三类：空集，非空真子集，集合I本身确一子集分十，一，或者属于该子集或者不属，有两种；第二步2有种…第10，0也，乘法理子共2101024．配对方法

个，空真集个例给集I1,2,3,n

的个集,,12k

，满足任何两子集的集空并且再添I的任何一个其子集后不具有该质求的。【】将I的子作下配对：每子集和它的补集为一对共得2n对不能同在这个集，此，k2n

；其，每一中必有个在这个中，若有一对子集未现，设A与，并设A1

，则CA，以在k个1中再加C，已矛，以k2n1

。综，竞常方例题。理4斥；A表集A元数则AABCA

B

BC

xy此结论可推到个集合的情，

Ai

i

Ai

Aj

Ai

Aj

Ak

n

Aii

i

ij

i定集的分：若AI1

，且A1j,ijij

，则这些集的集I的一

-划。定5最小数理：自然数集任何非空子集必有小数。定6抽屉原理mn个放入(n)

个屉一抽放不于个元素也必一抽屉放有不于m个元素；无穷多元放n个抽必一抽文档23510222351022放有穷个素。例求，，3，，100中不能被，3整除数的数。【解】I2,100},,且能被2除（，B{1100,},C{100,}

，由斥原理，ABCAB

BB

AA

B

IBC26个。

74

，所以不被，，5整的数有例集{12，，的集，S中的意两数差等于或，问中最多含多个素？【】将任意连续的整数排成一圈如右图所示。由题目条件可每相邻两个数至多有一个于，将这个按连续成组，其一组只有一个数，若含有这个至少则有数一已知矛盾所以至有中数。又为，以共含有182×5+2=912个素，另一面，当rrt24710r,k}

有912且满足题条，所以最含有912个元。例所有自然数n(2)，存在实数a,a满足：12{a}j}2,,ij

n

}.【解】，a0当时，,a12

；当4，a,2,51234

。下当时，在,a,a满足。12令a1

n

(则

所必存在某两个下标ij使得i

j

an

，以n

n

1

a

n

或ann

2

(n，即a，以,a

(或，

。(n（）若,

，虑n

，有或annnn

2

，即2

，aann

，则n

n

an

n

，导矛，只有a22考n

，有an

n

或an

3

，即a，设3n

n

，则a

n

n

2a2

0

推矛盾设3则3n

n

3

2

又，文档(n(n)i所以,4故当时，不存满足条的数。n（）

(

a

，虑an

，an

n

或ann

3

，3

时出矛盾虑322nn

n

n或aan

3

即=3于是33

2

n

n

，矛因an

an

所以a

n

n

2

1

，又矛，所只有n

a

2

，以n故当，不存满足条件的实数。例设={1，，3，，5，6}，={7，89，，n}在中取三个数中两数成五个元素的集A，i,20Aii

A1ij20j

求n的最小值。【】

n

min

.设中个数在所A中重复现k次，必k。不，数m出次i（4

在m出所有中至一中数现3次不妨是i，就有合{，a,a,11

}

{,,a,b{a,a,}342

，中A1i

，为满题的合a必各不相同能26这个不以.i20i

中，B的有，此少10个不的所以n当时下20满足要求：{12，3，，，，14}，，15，，，9，10}，{13，4，10，11}，，，5，14}，，，，，，，79}，{14，6，13，，，68，，，15}，，，911}，{23，6，，16}，，4，，，10}，，11}，12，{34，5，，16}，，，，，9}，10}，14，15}。例合{23}以成个互不相交的三元集{z}中xy求满足件的最小正整数n.

，【解】设其第i个三元集{,y,z},i2,nii

则

n

4i所以2i

i当为时83n所以当n为奇时83，所以n，当时集{，，，，，，{3，156}{9，，{10，，满足条所以n小值为5。文档00000121212121210000000000012121212121000000000第二章二次函数与命题一、基知．二次：时

++或fx)=2bx+称为关于x二次数，对称轴为线

b2a

b，外配方可fx)=a(xx)+(x，其x=-，同2a．二次数的质：当>0时f(x)的开向，区（-∞，x]上随自变量x增函数值小（简称递减[,∞上随自量大函数增（简称增<0时况相。当>0时方f)=0即++c…和式2bx+c…及2

+bx+<0…③函f)系下（eq\o\ac(△,记)-4）eq\o\ac(△,当)>0时程有两个不等根设xx(<)，等②和等式的解集分别是{<x或>x和{x<<，函数f()图象与x轴两个不同的交点，f()还写fx)=a(xx)(-).当eq\o\ac(△,)时方程①有个相等的实根x=xx=

b2

不等②和等③的解集分是{x

b2a

和空集，f(x)的图与轴唯一公共点）<0时方无，不式不③解集别是和.f(x)图与x无共。当a<0时，读者己析。函的值x=时)最小值fx

44a

2

若a<0=x=

b2时，f)取大f(x)=

44a

2

对于给定区[]上的二次函数(x

+bxc(>0)，x∈[m,n]时，()在[n]上的最小值fx);当x<m时。f)在[m,]上的最小值为f；当x>n时f)在[]的最小值为(n（上结论由二次函数图象即可得出定1能判句叫命题，如3>5是题卜好大不是题不逻联结词“或叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注“或q”合题有当，q同为假题时为，否则真命题且”合命题只当，q时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非即”恰一真假定命若则（p条q结题q则否命题若非则；逆命题：若非则非。注原命题与其逆否命题同真假。一个题的逆命题和否命题同真假。注反证法的理论依据是矛盾的排中律，而必是证明原命题的逆否命题定义3果“p则q”，为否记作q在命题若p则q”，如果知pq则q的充；如果，称p是q的必要条件果q但

，则称是充分非必要条件；如果不q但，称的要非充分件；若p且p，pq的充要条件二、法与例．待定法例设程x-+1=0的根，求足f(α)=fβαf的函f().文档程12足1Ⅰ）求求0以12212Ⅰ）12所11212程12足1Ⅰ）求求0以12212Ⅰ）12所112121Ⅱ）22112【解】)=ax+bx(

0),则由知α)=βfβα相减并整（-β）[（α+β）a++1]=0，因为程2-xeq\o\ac(△,中)，所α所(β)+b+1=0.αβ=1,所以+又为(1)=++=1，所以-1=1，所以又=-(+1)，以x)=ax+1)再由α)=得α-(+1)β所以α2α+2=α+β=1，以α-α即(2-α=0,即a=0，所以所以)=-2x+2.．方程想。例已知x)=ax-c满-4≤(1)≤-1,-1≤f(2)，求的取值范围。【解】f-≤所以≤fca≤4.85又-1≤f(2)=4a-c≤5,f(3)=ff338所以3

53

8≤f≤33所-1≤(3)≤．利用函性。例知函f)=++cb∈R,0)程(xx无实程fx))=x无实。【明】若a>0，因为x无实，二函数(x)=f(x图与轴公共点且口向，所以对任意的∈f(x)-x>0即)>x，而ff))>f()。以(f))>，方程(())=x无实根。注：读者考例的题否确。．利用函达题。例设函f(x)=2bx+(>0)方根x,x满x<（)，(x)<；

1a

（Ⅱ）函f)的图象关于=对称，

x

【证】xx是程x=0的两根，所=(xx)(-x)，即()=a(xx)(xx（)时-<0,-<0,a>0，以(x.1次fx)-x=(xx)[a(-)+1]=a-x)[-x+]<0，)<.a综上，<fx)<（)(xxx=+[1-(x+)]xx,文档1200220in1200220ina所以2a

xx22

所以x12

222a

，x所以x2．构造次函解题。例已知于的方程(ax+1)2=a2-2),a>1求证方的根比，比-1大。【证】2x2+2+1-构造a2x2

ax

f(1)=(+1)2>0,f(-1)=(a

>0,f(0)=1-a2<0,

>0，所以)在间）和（，1）上有一根。即程的正根比，比-1大。．定义区间上的二次函数的最值。4x例当取时数(2

取小值？求出这个最小值。1【】2(x

令x

,则0<u。y2

11920

119且当u即=，.101例设量满足+bx≤(<-1)，且+bx的小值是，求值。2【】bx≤-x(<-1)，得≤≤bⅰ

b2

b21≤+1)即-2时2bx的值-,所以2=2所以b442（舍。bⅱ->-(+1)即>-2时，x+[0b上是函数，21所以+的值为+1,+1=-,23综上b.2一元二次不等式问的解法。例已知不式

x2xx

2

①的整数解恰好有两个，求的值。文档程两根，程两根，11【解】方+aa2=0的a,若≤.①解集为a，由得>1-2a因为a1-a，所以≤0,所以等无。若>0ⅰ）当a

时，x<,①集为x<1-因为0<<a<1，所以不等式组无整数解。1ⅱ当=时，aa，①解。2ⅲ当>

时，a>1-，由②得>1-2，所不等式组的解集为a<a又等式组的整数解恰有个，所以且a-(1-)≤3，所以≤，且1<≤2时不组两数解，。综，a的值围≤．充分必。例设定A，，使得式Ax)(x)+(-)(yx)+C-x)(z-y≥①对切实数,,z都成立问，，应足怎样的件（要求出分必要件而限定用涉A，BC的等式或等式表示条件）【解】为A，B≥0且A+B2+C≤2(AB+CA先必要性，①可改写为(-y2

-A-Cyz-y)+(y)2

≥0②若，由②对一y∈R成立，则只=C，再由①=C=0，若，为②恒成以Aeq\o\ac(△,，)=(B-)2-)2

-4AC(y-)

≤0恒成立(-A-)2+C2≤2(AB+BCCA)同有B≥0≥0，必成。再充分性，若≥0，B≥0，≥0且A2B2C≤AB+BCCA)，）若，则由2+C2≤BC得(B-C2≤，以C，②立，①成立。）若，则由③eq\o\ac(△,≤)eq\o\ac(△,)0，以②成立，所以①成立。综上充性证。．常用结论。定若bb≤+b≤ab.【证】≤aab≤bb，ab)≤≤b,以a≤b（注：若，则-m≤x≤等价|x≤m又aa-≤+b+|b|,即a-|≤+综定得证。定若,b∈则+b2；若y∈R则+y≥2.(略注理可以推到个数的情况在不等式明一章中详细论。第三章函数一、基知定映，任个合A，B，对法则，若对A中任意素在文档11212201121220中都有唯一一个元素与之对应，则称f:→为一个映射。定射若f:是个映射且对任意x∈A,

y都有fx)

f)则之为单。定射若:是射且对任y∈B，都有一个x使fx)=y，则称f:→B是到上射定4一，f:A→B是单射又是满射，则叫做一映射，只有一映射存在映，即从到由相反则f构成的映射作f-1→。定义5数，射f:→中若，都是非空数集，这映为数称它的定义域若∈,y∈，fx)=y（x对应B中y做x的象x叫y的象。集合{(xx∈叫函数值域。通常函数由析式给出，此时函数定义域就是使析式有意义的未知数的取范围，函y=3

x

-1的定义为{≥0,x∈.定6反数函f:→（记yfx）一，的射f-1:A→B叫原函数的反数，通写yf().求数程在式=(x)中解xf-1y)然将y互得=(x)最指出反函数的定义域即原函数的值域例函y

11x

1反函是y=1-(x0).x定1互反的函图于线y=对称。定2在定义域上为增（减）函数的数，其反函数必为增（减）函数。定7数质（）单设函数(x)在间I上对的xx∈I并x<x，有f(x)<(x)(f(x)>fx))，则称f()在间I上（函区I称为单调增（减区间。奇偶性数=(x)的义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意x∈，有f)=-fx)，称f(x)是奇；若意的x∈，都有f(-)=(x)，称f(x)是函数奇数图关原对称偶数图关y轴对。周期性：于数()果存在为零的数得当取义内一数时fxfx)立，则称fx)为周期数称这函的期如果期存最小的数T，这个数做数fx)的正。定8如实<，数集{<<b∈叫开间记作（ab合{a≤x≤bx∈R}记作区[b]合{a≤b作开闭间（b]集合{a≤x<记作半半区[a,b)，合{x>记开区间（,+∞合{x≤a作开闭间∞定函，点集{y)|y=f(x),∈D}称数y=f)图其D为f)的义域。通过画图不难得出数y=(x)的象他图间系(b>0)向右平移个得yfx)的象向平移单位得到=fx+a)的象向平移个位得到=(图象）与函=f(-)象关于y轴对与数yf(-x)的图象关于原成中心称=f-1x)的象关于直y=x对称=-fx)的象关于轴对。定合数y=[g)]的性记住四字增异y=

x

x（∞）减数y=

1u

在，∞上是函数所以y=

在∞,2上函。注：合数调的断法为增减这不严论证求之是然。二、法与例．数形法

y文档

x2以f义，以期，02以f义，以期，01例求程=的根的数1【解】别出=|和=的象两唯点以程有一个正根。例求数)=

的大值。【】(

)

)

(

)

，记点(,-2，（3（，1则f(表示点到点和距差。因-|PA≤AB=

2

10

当且当为AB延长线抛物线2的时号成。所

函数性质的应。例设∈，且足

19971997(

，求+.【解】)=t，证()在-∞+∞）上递增。事实上，若<，则f)-f()=b

-a3

+1997(-)=(-)(

+++1997)>0所以t递增。由设(-1)=-1=(1-)，所以-1=1-，以+例奇数在域-1，1内减函，又(1-)+f(1-a2)<0，求的值围。【解】)是奇函数，以2)=-(2-1)由设a)<fa2-1)。又(在域，1）减以aa2-1<1，得<1。例设是定∞∞上周数∈用示区间-1,k，已当∈I时f(2，求(在上的解析式。【解】则k-1<≤，所以)=(-2)

又为(是以为期的函数，所当∈I时f()=()=(-2)例解方：(392

)+(2-3)(

4

【】-1,=2-3，化为

m

+1)+

+1)=0.

①若，则由①得=0但不同为，所以0,nⅰ若m>0由得<0设(t)=tt2

+1),则(t是增函数又f(m)=f)，文档211122112212所所11211122112212所所11所以n所以x-1+2x-3=0，所以=.ⅱ若m<0且n>0。同理有=0,=4综，方程有唯一实数解x=.53.配。

但m<0矛。例求函y+

2x

的值。【解】y+

2x

1=x2

2x

1=(2

2x

1+1)-1.2当x

1时，y取最值-所以数值是[，∞2．换元。例求函y

1

+

1

+2)(

1

x[0,1]值。【解令

1

+

1

=u，因为x∈[0,1]，以≤u2=2+2

≤4,所以≤2,u所以≤2≤≤，以=,u∈[22所以函数域[2+2，8]．判别式法

+28]例求函y

x2xx2x

的值。【】由函数解析式-1)+3(+4-4=0.①当y时，是于x的方程有实根。以=9(+1)2-16(-1)

1≥0，解得≤≤1.7又y时，存使析式成立，所以数值域[

17

，7]。．关于数例若函=()定域值域均且存在函数若f)在(-∞∞递增求：yf-1x)(-∞∞)上增。【证】设x<,且y=f(),y=

(x则xfy),x=(y)若y≥y因为()在(-,+∞上递增，x与假盾，y即yf()在(-∞∞)递。例数f(

4

43x

解方：(x)=f-1

(x文档解义∞∪∞次21对及：值，定，0<，为，时为象（。aaaa解义∞∪∞次21对及：值，定，0<，为，时为象（。aaaa（4）M=nlogM，）naaa21【】首定（），x,是义内量，且3424xx<-;33x2

x1x1

=

x)2(x)()2

21所以)在-∞，-上递增，同理)在[-，+∞）上递增。34在程()=(x)，记)=f()=，则≥又由(x)=y得)=，以所以,y∈[-

14

，∞.若，设<，则x<(y)=x矛。同若y也可得出矛。所以.即()=，简得x5+2x4-4x即-1)(3+5x

x

+5x+1)=0,因为≥，以x2

+5+1>0，所以=1.第章数性质一、基知识指函及质形如=ax>0,的函数叫做指数函数，其定义域为，值域为（+∞a时=x是减当时y=x函它的图象恒定（0，。．数指数幂：na

n

a

n

a

n

。．数质如=logx(a>0,a的函数叫做对数函数其定域0+∞，域图过点）当数>1y=logx为数。．对数质M>0,N；）ax=log>0,a

1)；）N)=logM+logN；））；a1）MlogM；=M;=c(,ca,c1).naa5.函数x（a>0单调增间是和区为x和）

续的：若<f)在[ab]上连，且(a)·(b)<0，则(x)=0在（b）至少有一个根。二、法与例．构造函数解题。例已知,,∈(-1,，求：ab+bc+ca+1>0.【证】(x)=(b)++1x∈(-1,则x)是于x的一次函数。文档ii为所所所ii为所所所所以要证原不等式成立，只需证且（为-1<<1）因为b)+bcb)(1-)>0，f+++=(1+b)(1+)>0，所以a)>0即+bcca+1>0.例（柯不aa2…an是全为的数,b2…,∈）i

i≥

ii

)2，号当仅存使a=,i=1,2,…n时成立。ii【证】令f

（2）-2(i

ii

)+

i

=

()ii

i

i

i

i因为2>0对意∈R,f(≥0，ii以eq\o\ac(△,所)=4(i

ii

)-4（）(2iiii

)≤展开（）ii

)≥(

ii

)

。i

i

i等成立等价)=0根存使a=,i=1,2,…n。i1例设∈+,c为且∈(0,求u

最小。1解u==+

=+

1

≥++2

(c2令=t，则=≤4

1设ft)=+,0<t≤t

c

cc2因，≤，)在

上单调减以t=

c

)=

c

4c+，所以≥+c42当=

c2

c时，等成立以u的值为c2文档满12】ttacb证题c明设a所满12】ttacb证题c明设a所指和数算巧。q例设∈+且p=log(+q，求。p【解=(+)=t，则=9t,q=12t,+t，所以t+12t=16t，即

t

q12t15记=则xx2，解得.ptq5.又以p211例对整数b(≤b)和数,z,w若xy=70w且证a=c【证】bz=70w取常用对数得xlga=zlgcwlg70.

1w

求所以w

1x

1==lg70，wywz1相加得lgblgc)=wx

1，题设，w所以lgalgb+lgc=lg70所以=lg所以××若=1则因为xlga，所以w设矛盾，以>1.又≤b≤c且c为的正约数，所以有b=5,c所以=.例已x1,c1.且xlog=2logx，求证2=()logab.【由log=2x化以为对，得xa

aa

，因为ac

，b2所以ac)注：数对式化取数，元换公往是题桥梁。指与数的法。解此类方程的主思想是通过指对的运算换元等进化简求解得注意的是函数单性应用和未知范围的讨论。例解方：3+4x+5

=6

【解】=1。设则()在(文档试程a使种，般或,试程a使种，般或,a…，其做数。中{n理1S表=.定数对数有如n）理列：n；n）,，nm2∞,+∞上是减为，以程只一解=3.12例解组：（中y∈+）.xxy)lgxlg【解】则原方程组可化为.(xyglx把①代②得(x+lgx，所以x)2lgx=0.由得=1，(xy)2-36=0(,y∈R+得=6，代入得lgx=2即=，以2y-6=0.又>0，以=2,=4.

①②所以程组解为122

例已知求方(x2

(2

-a2

)有的取值范。)x【解由对性知，原方程解应满足

①②③

x

若①②同成，则③必成，)故只解x0

2

2

由①得k)，④a1当=0时无当0时，④的是=2

2

)

2，入②得若<0，则，所以<-1；若，则2，以0<k<1.综上当∈∞,-1)∪(0,1)时，原程解。第五章列一、基知识定义数列按顺给的一数，如2，…，，….数分数无数列两的一a3…，11的首a是关于n的体表达式，称为列的项。定{}前n项则1当>1时，n义，的-a（数{a}为数，叫做公差。数b,成即b=a则称为c的等差中项差为则-d,=b+d.定质通式a=a+(n-1)d；2）项公式：

na1n2

1

nn2

d

-a=(n其中为正4若+m=p+，则+=；数-q)(-a)若，B至有一个文档nnnnnn1mpqnnnnn00000nnnn12121n121nnnnnn1mpqnnnnn00000nnnn12121n1212解】n知1n1nnn】12223n明111+1为零则{是等数列的充要条件S=An+Bn.定3等数列，若对任意的正整n，有

nn

，{称为比数列，q叫公比定3等数：1）=aqn2）n项S，当

时

a(1)11

；当=1时如果a,bc成数列即

acb

则叫c的比）若=p则a=a。义极，数{和实数，若对任意，存在M任的n∈),有-A|<称为→∞时列{的限，作

lim义无穷递等比数列，若等比数列{的公比满q，则称之为无穷递增等比列，前n和的极限（即其所有项的和）为

a1

（由限的定可得定第一学法给命题(n，若）)立）当p()时=成立能推p(n)对=+1成，由1可得命题()对一切自然n≥n成。竞赛常定定第二数学归纳法：题(n，p(n)成立当()对一切n≤k的然n成时≥n）可出p(+1)，由（1得题()对一切自数≥成立。定5对于次阶性归列x=ax+bx，它的特方2ax+的两个根αβ:(1)若α，xcan+βn其,由初始条件x,x确；(2)αβ则x=(cn+c)α其cc的由x,x的值确定。二、法与例．不完全归纳法这种法是特情况出发去结更般规律然结论未必都是正确的却是人类探索知界普遍方式通解方式：殊猜想→数归法明。例试给出以下几个数列的通项（不要求证明）38，24，15，19，，…3），，，8，15，。【；）an例已满a=

-2；3-2n1+…+a=n2,≥1，求项a.21【解,又+a·a,2所以=

，a=

a1232

1猜想a(n1).n(证n=1时a=

，猜想确。）设≤k时想。当n+1，由归纳假设及题设，a+++a=[(2-1]a,文档+1k+1以k+1k+1n设数足证+nn证明结1设，立通n例列足nnn+1k+1以k+1k+1n设数足证+nn证明结1设，立通n例列足nnn1nn+2nnnn+1222221+1：+n1所以2

13

1

=(即

11k

=(k,k1所,所以k(k)

1由数归纳可猜想成立，以n(n

例{a}满,a=a，求任有n【】证的a≤1+当=1时，1<，①式成立；假时成1<a≤1+a，当+1时，有a

k

1k

2

由数学归纳法可①式成立，所以命题得。．迭代。数的或前和中的通常是对任意∈立因可将中的换成+1或等这种法常称代或推。数满+qa=0,≥3，q0，求：存常数，得a

2

·a+

2

【证】

·a

2

a

(+a)+

qa

2n

=a·(-

qa

2n

=(a

2

)[a

2

+a((

a

2

pa

aqa

2

).若

a

22

21

=0，则对任意a

a

+

2n

，c即.若

a

22

21

则a

a

+qa}是项paan21

式的等比列。所以a2

a

+=n

a

22

paaqa221

·.取

c

22

a2121

·

可综上结论立。例已aa

an

，求证整，∈N.文档明所设1时以知a>由当由n+12为所和明①式程n-1定n由式当+n1n求9999明所设1时以知a>由当由n+12为所和明①式程n-1定n由式当+n1n求9999为n100-1992【证】为2=1，题≥又=5a+

a

移项、方得a

2n

an

n

2n

0.

①当≥时，把①式中的换成得an

n

2n

0

，即a

2n

an

n

2n

0.

②因<a，以式②说a是方+a两不根。韦达+=10(≥再③，时，是整数。．数列法。数求法要有倒写加裂求和、项消法等。例已知4

1

100

(n2,…，…【解】因=

4

1

100

+

100

=

100100100(

)100

，所以=

(a100

19999)22100

例求：S

2

++

1nn)

1k】，k)kk)

1k((kk)

，1以k(k)(k)k1112)()

(n(n)()

142()

文档n】公，nn-②nnn因nnn已足n+1n列nn方nn已足n列求n方n】公，nn-②nnn因nnn已足n+1n列nn方nn已足n列求n方1nn正列0n-10例已知列{n}满足=a2=1，an+2=an+an为列n前项和，求证：n<2。【证明知}几项为，，2，35，8，13。因为

23a2324522

nn

，①3a所以222325n

。②1由①22222

a2

nn

an2n

，11所以S222a又<S且>0,2

。所以

14

11所以，42所以<2，得。．特征法。例满aa=4-4求【解】征x-4得=故设=(+n)·2n其

，所α=3，，所以·2-1.例满=6,=2a+3，.【解】征x+3得=3,x所以=α·+β·(-1)，其中，33解得α=β，44所以[3

·。．构造或数。例…a,…足

aa

an且，求通。文档nnnn01n列nn+1+1n，n+1n+1n+nnnn01n列nn+1+1n，n+1n+1n+【解】由a

aa

a

得n

=1，即

.令=n

a，则}是首项为，比为的比数列，a所以=n，以-1）2，n所以=n·n

nn

…

a2a1

·

a1a0

·=

(2)2k注

i

CC·…·.i例

已数足xx=

nxn

n∈,求。x【解】f)=

2x

x2的不动，由x因为x=

nxn

可知x的项为正。又x

2n

≥

22x

所以≥

(≥。又X-2=

nxn

=

(x)2x

①X+

=

nxn

2

=

(x)2x

②x2得xn

xnxn

2

。③又

x1x1

，x2由③可知对任意n∈，xn

xx

xx

文档22增函数在区22增函数在区2所以lgn

2是首为lg为等比数。所以n

n

·lg

2

2，以n

2

，解

n

·

(2(2

22

))

22

。注：本例解法是助于不动点，具普遍意。第六章三角数一、基知定角，一条射线着它的端点转得到的图叫做角。若转方向为逆针方向，则为正旋转方向顺时针方向角为负角若旋则为角的大小是任的。定度制，把周角360分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的心角叫做一弧度360度弧度。若圆心角的弧长为则其弧数的绝值α|=

r

其是圆的半径。定三角函在直坐标平面内α点原始边与的半轴合，在角的终边上任意取一个不同于原点的，设它的坐为（原的为则正弦数inα余函数cosα=正函数=余函数cotα正函数crrα=

r

余割数c=

r

11定同三数基本关系式数关系tanα=inα=α=；cotcscsec数关：=

coscossin

；乘关系αs=sinαcotα×sα=cosα；方关系in2αco2=1,tan2α+1=se2,α+1=2α定2诱公式（Ⅰin(+)=-sαcoα)=-sαtan+α)=α(+α)=α（sα)=-sinαcos(-)=αtanααcot(-)=α;（Ⅲs(-inαcoα)=-α=(-αα,cot-α)=-;Ⅳα,sα,α（奇不变号看。理3正弦函性质据图得=sinx（∈R）的质下。调区：在间

2

222

上为，

2k

32k2

为，周文档为数有且仅当+时取大值，当且仅当-时,2取最值-1。性：直线=k+

2

均其对称轴点（0）均其对中心值域为，1]这里∈.定理余函据象可得=co∈性质调间间[2k]上单调递减，在区间[2k-2k上单递。最小正周期为。奇偶：偶函数对称性：直线均为其对称点

2

对称中界性：当k，取最值；仅当=2-时取值。值为[-1，。里∈Z.定理正函数由图象数=tanx(

2

)在开间k-,k+)上增22函最正周期为，为（-+∞（，，）其中。2定理两角和差的基本关系：s(α)=sαcoβ

sαinβ,sin(α

β)=sαβ

sαinβ;(

β

1

理和化积与积化和差公式:sin+sβ=2s

inα-sβ=2sins22α+sβcocosαsβ=-2s21sinβ[s(αβinα-)],coαinβ=[s(αβ)-s(αβ)],2αs=

1[cos(αβs(α-β)],sαin=-[cos(αβα-β)].2定理倍公:s2α=2sαsαcoαs2tanα1tan

α-sin2

α=2s2

α,定理半公:sin

(cos2

1cos2

11cos

=

sin1cos

(1cos

文档2222定理10能公式:sin

tan

cos

tantan

22

tan

tan

定理辅角果是实数且+b2取边在轴正半轴边经点ab)的一角为，则β=a

asβa

，任意的角α.sin+sα

(a

2

2

)

(α+β).定理12正弦定理在有

bc2Rsinsin

，其bc分别是角，BC的对eq\o\ac(△,边)ABC外接圆半径定理13余弦定理：在中a=b2+2

-2s，中a分是角，，C的对。定理14图象之间的关：inx的图经上下平移得inx的象经左平移得(的（位变标变坐来的in(

)的图（期换坐不纵变来的倍，得到Ainx的（变换s(+)(>0)图象（周期变换坐标不变，纵标为来的倍，得到Ainx的象（振幅变=As(+)(,

A叫幅的图右移

个位得到=A的图。定函数=s2

的反函叫反正弦函数记arcinx(∈[-1,1])函数s∈)的叫余弦函数，记作=rccos∈[-1,1]).函数=tanx

,2

的反函叫反正切函数记作r∈[-∞s∈[0,的函数称为余切数，作=arccotx(∈∞∞]).定理15三角方程的解果∈(-1,1)sinx的解集{=n+(-1)rcsina,∈。方co=的集{|=2rcco∈如果∈R，程=的解集是{=r∈Z。式as+accos=

2

；ar+accota=2定理若

则inx<文档】x求已β，α）α锐（，角2x0x0sin】x求已β，α）α锐（，角2x0x0sin二、法与例题．结合图象解题。例求程=lg的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数=sinx与=lgx的（见图图象可两者有个交点，故程有个。．三角性应。例设∈(0,π),试较s(sinx与insx)大小。【解

则cox≤1且，以sx02

，所以in(co)≤又0<sinx所以coinx，所以inxin(s).若2

，则为sinx+co=

2x2

x

(scosx)=44

s(x+)≤4

<，2所以<-cox，2所以s(sinx)>s(

2

-co(sx).综上当∈π)时，有s(sinx)<sin(cox).例知为且β，

x

【证】则，α>-β>0得coαs(-inβ222所以

cos<1，又in>sin(-β)=β,所以<1，2所以

x

0

2.若αβ<，则，由α<-β<得coαcos(β)=sβ>0,2222所以in(-β)=β，以，所以

x

0

2

，得。文档若周则最期000minin若周则最期000minin注以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。．最小周期确定。例求数in)的正周。【解】是数的周期（为s(-x)=，所以x次，当且当

2

时y（因为2sx≤）,所以正为，∈N，又ins0)=sin2(2co，所以。．三角最值问题。例已知数+2

，求函数的最值与最值。解法】=cos1cos

x

2sin

4

有=2cossinsin().3为4

以，4以

≤，3所以当即=2-4

2

(∈Z时，，当，即k+4

2

(∈Z)时y=2.解法】=sinx1cos

x

2

xcos

x

=2（为ab≤2(a2b2)，且sinx|1≤2

，以≤+2x

≤2，所以当2

，即k(∈Z)时=2，2当2

=-s即-

2

(∈Z时,。例设，求incos

最大。【】因为，所以02

2

，以in>0,s2

2

>0.所以（1+cosin·co=22

2

2

2

2

2

2

2

≤

2

=

164327

文档，m2，m2当且当in2=2即=时(1+s22

)取大值。例若，eq\o\ac(△,为)三内角，试求inB+s的值。【】inA+sin

2

s

ABsin2

①s

sin

C

cos

C

C

②又为sin

C

2

B

B

2

，③由，②，③得inAinB+sinC+sin

3

≤4sin3所以sinC≤in

3

=,当B==

3

时inA+s+sinC）.注：三函数的有界性、inx≤、s≤、和差积与积和差公、均值不等式、柯西不式函的调等解三最的用段。．换元法的使用。cos例求cos

的值。22【解】inxs=2sin

).因为sin(

所

2又为inx所sinx=

t

，以1

t2

，所

22

22

t因为-1，所2

，以文档.已0+n证题令nnnnnnn010,.已0+n证题令nnnnnnn010,2所以数值域为

例

(∈求证：>.2n【由，,∈则2

1tan

a

a1cosaatantansinn

2

tan.因为以=a，以a2又为=tana，所以，所以·。44又因当0<

2

时tanx>，以tann2注换法关键是保换前变量值围一致性另当∈有tanx>s这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后证2明是容易的．图象变换inx(∈R)与=Ain+,>0).由=s的象向左平单位，然保持横标变，纵标为原来倍然再持坐不变，横标为来的

，到=Asin(的象也可由inx的图象先保持坐标不，坐标变原的倍再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

，后向左平

个单位得A(

)的象例10例已知()=sin(>0,0≤)是上的函数，其图象关于0，区4

上是调函，求的。【】(是函，以(-)=(，所以in(

in

+

)，所以sinx=0，对意∈成立又≤，得

2

，因为图关于M,0，以()f)4文档

。取=0，得(

=0所以

2

.3所以

2(k∈，k+1)(k∈3又

，取时，时fxsin)[0，；22取=1，=2，此时fxsinx+)[，；210取=2，此时f(x)=(x+32综上，=或。3．三角的。

2

)在[0，函数，2例已知(α-β)=的值。

(-α-∈,,2【解】

因为α-β∈以(α-β)=

又为∈,以α+122

(

所以α=sinα+αβ)]=α+(α-β)+β)sinα-β)=2β=[(β)α-β)]=cosα+β)cos-β)+sinα+sin(--1.

120169

1例12已eq\o\ac(△,知)ABC的三个角A，B，C成差，ACcos

试cos

2

的【因A=120

-，所以2

=0

-C，又由

cosC

1120)120)CcosC1200)=

60060)0120C)]

60)cos(0)

，所以cos

cos2

=0文档所所A2A32解得或cos222

。又2

A2>0，所以。22例求证tan2070【解】

sin20

+4sin20

sin20

sin20cos20

cos

sinsincos

sin

4020

sin40

2

cos20

40

80sincos20

260coscos20

3第七章形一、基知识在章中约定用A，，分别的三角，分表示它们所对的a边，为半。2a．正弦定理：sinsinBC

=2R（Req\o\ac(△,为)ABC外接圆半径。推eq\o\ac(△,：)ABC的面为

ABC

=

1sin2

casin推论2在eq\o\ac(△,：)ABC中有bcosC+ccosB=a.论3在eq\o\ac(△,：)ABC中解满

abasin()

，正定可在外接圆中由定义证明到这不给，下证推论。先推论1由正弦数定义BC边上的高以

absin

推B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA即sinBcosC+cosBsinC=sinA，边以得bcosC+ccosB=a；再证推论3弦定理sin

sinB

sina以-a)sinA，sinsin(等价于

-A-a)]=-a-A)]，价于cos(-A+a)=cos(因为-A+a以有-A+a=所以，文档2ABC2ABC得证。弦理a2+c2

cos

b

2

22bc

2

下用弦理明个常的结。（1）特瓦特定中D是边任意点，，DC=q，则AD

=

bqp

.

（1）【证】=AD2+BD2

-2AD·BDcos

，所以c2=AD2+p2

-2AD·pcos

.

①理2=AD2+q2

-2AD·qcos，因为

，以cos

ADB+cos

ADC=0，所q×得qc+pb+pq(p+q)，即AD=

b

2

pp

2

q

注：（中若，则中长公（）】

2bc2

.：因为

14

b

c

sinA=

14

b

c

(1-cosA)=

14

b

c

(

2

422

2

)

2

16

-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).这

所eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)二、法与例

()()(．面积。例1（线关系的角公式）图所示，O点出的条射线满足POQ

另外OPOR的分别为里β∈(0,)，则，R的线充条是sin

【证】，Q，R共S

S

文档12所12所1uvsin2

11α+β)=uwsinvwsinβ22sin(w

，得。．正弦的。例如图所示ABC内有一点，使得

BAC=

CBA=

APB-

ACB。求证：··CA=CP·AB。【证】过点作，AC，垂别D，，，，，C，；，，，；，，，三组四点圆，所EDF=PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。题设及CPA+APB=360可得CBA+0。以BPC-BAC=

CPA-

CBA=

APB-

ACB=600

。所，理0所以eq\o\ac(△,，)是正三角形。所DE=EF=DF，正弦定理，ACB=APsin

边同时乘ABC的圆径2R，得·BA=AP··，证：例如图所，eq\o\ac(△,的)ABC各边分与两⊙O，⊙O相切，直GFDE交于P求证：。【证】延PA交GD于M，因为G

GMOAFBC，ODBC所以只证2

.APPAAE正弦理,sin(sinsin(sin

，AE所AF

sinsin

GM一方，

PMMDsinsin

，GM所以

sinsinsinsin

，GM以MD

AFAE

，G，即PA

得证。换在ABC中记点AB到圆线别y,则eq\o\ac(△,例)ABC中，求证22(c+a-b)+c2c)【证】令，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)xyzx

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)文档maxmax=a2(b+c-a)+b

(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.以(b+c-a)+b22(a+b-．三角换元。23例设b,∈R，且abc+a+c=b，试求P2c

的大值。【】

，令α,γ,β,则β=tan(α+2≤

103

133

，2当且当β=，，即b2

2c

24

时，=3在ABC中，若，求:a+b2+4abc<

.【证】22β,αcosβ,c=sinβ,

,

1因为b,为三，以,c>|，2从而以β>|cos2·cos24因为2+b+c2

以+b+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又=sin2αcos2·cos·1=2β+(1-cos2α)cos4411=+-cos2αcos4cos2β)44>

111+-sin4-cos2444所以2+b2+c2

.第章平向一、基知定既有大小又有向的量，称向量。画图用有向线段表示，线段长度表示向量模向量的符号用两个大写字母上面加箭头一个写母上面加箭表示书中黑体表示向量如a.表示向的模模为零的向量为零向量定量向任意的。零向量和零不同，模为的向量为单位向量。定2向同相的量为行量或线向量零向与任一非零向平行和结合律。文档理面坐若量运221212211211理面坐若量运2212122112112212定若直线21坐意量2121221定个推广。量1n22112n定理向量的算，加满平行四形法规，减法满足三角形法则。法和减都满交换律和结合律。定理非零量b共线的充要件存实数使得f理平向量基定理若平内的量共，对同平面任意是c，在唯一x,y得其中b称为组基底。定义向量的在直角，取与轴y轴方向相同的两个单位向量j作为基，任取一个向量，理可知在唯一，得（x,y）做坐标。定义向的数量积，若非零向量b的夹角为则的数量积记作a·b|cosa|·b|b>，也积中cos做在的投影注：投可能为值。定平向的算),b=(x,y)，．,y+y),a-b=(xy-y)，．λx,λy),a···，．·x+yy,

x1

xxy1212x21

2

22

(a,

0),y=xyax1x2+yy=0.义点是一点唯数P，12λ叫分PP1

所成的，若为平面内任意一点，则OP

OP1

。由可得若xx11，，的(x,y(x,(x,y)，则.yy1

xyy1xyy2

定义设F是坐平面内一图形，上的点向量a=(h,k)方向，平移=

h

个位得到图形'，一过程叫做平移。设是上意一点，移到

上对应点为(x')

，则称移公式。'y定理向),,y),·，并|【证】因为2=|·≥0，

x2yy212

-(x+yy)=(xyy)2所a|··.由量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本两可向…)，b=(yy…y)，同有··，为不等式：(x2xxyyy)12n(xy+xy…+x)

20又ab|≥0,·≥0，文档1n1n112n121n2n1n22222221n1n112n121n2n1n2222222同

所以·|a·.由量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b||a|+|b|.注：定理两结论均可推。）n维量,x…),b=(y,y…y，样有a·b||a|·b|，化简即为柯西不等式：(x21

x

22

2n

)(y1

y

22

y

2n

)

(xy+xy…y)

2

。）对于意个量a,…，|,a,…||+|+…+|。二、向与例．向量定义和运法则的运用。例设正n边AA…A的中求：

OAOA.【证】记

SOAOA12

O

将正边形绕中转

n后与正n边形，以不变这不可能，所以O例给eq\o\ac(△,定)ABC求证：Geq\o\ac(△,是)ABC重的充要条是

GBGCO则

证要图设点为D，EF长至P，使DP=GD，AGGD.又为BC与互相平分所以BPCG为平行边形，所以BG//，以GB.所以GAGBGCGCO充分

GAGC

AG交BC于

GA.因为

，则

，以//，所以平BC同理平CA所以为重心。例在凸四边形ABCD中，P和分别为角线BD和AC的中点，证：AB+BC+CD=AC+BD+4PQ2【证】如图所结BQ，QD。因为

BQ,DPPQ

，所以BQBP)PQ2=

PQBP

·

PQDP=

BPDP(BPDP)BPDPPQ

①又因为

,BQQABAQAO文档222222222222222222222222同理QAQCBQ

2

，②CDDAQD，③由①②，可得BAQA(QD)AC(PQ)PQ．证利用定理证明共线。

2

。得。eq\o\ac(△,例)ABC外心为垂心为重为求证H为共线且OG：。【证】OAOAAM=

OA

AB)

AOOBOC)

(OAOB).其设BO交接圆于另点，则连结后得CEBC又AH，所以。又EAABCHAB，以为行四边形。所以EC,以AHOAOAEO以OHOG，所以与OH共线，所以，GH共线。所以OGGH=1：2。．利用积垂。例给定非零向量证：=|的要件是b.

，【证】a+b|=|a-b|=(a-b)2

a2

+2a·

=a2

-2a·2

a·例已eq\o\ac(△,知)ABC内接于O为AB中为eq\o\ac(△,点)ACD重心CD。【证】,OBOC

，则OD

，

11ac32

(a

1136

b.又()，所以OEac2

b

文档

123

13

·（为

=|2

=|OH|2

）又为AB=AC，所OA为BC的垂线。所·(b-c)=0.所。．向量标。例已知四边形ABCD正方形BE//AC的线BA的长线于点F，求证。【证】如示，以CD所在线x，C点建角坐，设方形边为，则AB坐标别（，1（0点的坐标为（x,BE=(x,y-1),

AC

，为BEAC，以x-(y-1)=0.又因为

|CEAC|，所+y2由①，解

x

11