(3)空间向量与立体几何-2022届新高考数学解答题专练

(3)空间向量与立体几何1.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2込,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明：PO证明：PO丄平面ABC；若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值.2•如图1,正方形ABCD中，DM=证明：平面MNPQ丄平面ABPQ；若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥证明：平面MNPQ丄平面ABPQ；若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥F-QEB的体积.3.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB丄平面ABC，AB=6，BC=，AC=2^6，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD=2DB，CE=2EB，PD丄AC.22到四边形PQMN的位置，使得ZQMA=60。(如图2).◎脚2

◎脚2求证：PD丄平面ABC；若直线PA与平面ABC所成的角为-,求平面PAC与平面PDE所成的二面角的大小.44.已知几何体EFG-ABCD,如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上.求证：BM丄EF.是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45。？若存在，确定点M的位置;若不存在，请说明理由.5.如图是一个半圆柱与多面体ABBAC构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面,11且AC丄BC，P为BA上的动点(不与B，A重合).1111C

(1)证明：PA丄平面PBB.11(2)若四边形ABBA为正方形，且AC=BC,ZPBA=n，求二面角P-AB-C的余弦1111411值.

6•如图，EC丄平面ABC,BDHEC，AC=AB=BD=jEC=求证：平面ABC丄平面EMN.若AC=4，二面角E-BC-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值.，点F为线段DE上的动点.8.如图（1），已知圆O的直径AB的长为2,上半圆圆弧上有一点C,上COB=60。，点P是弧AC求证：平面ABC丄平面EMN.若AC=4，二面角E-BC-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值.D(1)试在BC上找一点O,使得AO丄CF,并证明.(2)在第(1D(1)试在BC上找一点O,使得AO丄CF,并证明.(2)在第(1)问的基础上,若AB丄AC，问平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小可否为彳?7•—副标准的三角板(如图)中，ZABC为直角，ZA=60。,ZDEF为直角，DE=EF,BC=DF.把BC与DF重合,拼成一个三棱锥(如图)，设M是AC的中点，N是BC的中占八、、•（1）（1）当AB//平面PCD时，求PC的长；（2）当三棱锥P-COD体积最大时，求二面角D-PC-O的余弦值.如图（1）,AD是MCD中BC边上的高，且AB=2AD=2AC，将MCD沿AD翻折,使得平面ACD丄平面ABD,如图（2）所示.（1）求证：AB丄CD.（2）在图（2）中，E是BD上一点，连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为1时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值.2如图，正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，且边长都是1,M,N,G分别为线段AC,BF,AB上的动点，且CM=BN,AF//平面MNG,记BG=a（0<a<1）.WWA证明：MG丄平面ABEF.当MN的长度最小时，求二面角A-MN-B的余弦值.答案以及解析1•答案：(1)证明过程见解析.(2)PC与平面PAM所成角的正弦值为亍•解析：(1)证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP丄AC，且OP=2頁.连接OB.因为AB=BC=2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB丄AC，OB=1AC=2.22由OP2+OB2=PB2知PO丄OB.由OP丄OB，OP丄AC，OBcAC=O知PO丄平面ABC.OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,-2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2,AP=(0,2,2©3).易得平面PAC的一个法向量为OB=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a<2)，则AM=(a,4一a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由AP-n=0，AM-n=0，得py+2<3z=0,Iax+(4-a)y=0,可取n=(\：3(a-4),\：3a,-a)，

所以cos所以cos〈OB,n二2肓(a-4)2\：3(a-4)2+由已知可得Icos〈ob,nI二所以2朽丨a-4I所以2\3(a—4)2+3a2+a2解得a=-4(舍去)或a二-3所以n二——r，—T，-3-I333丿又PC=(0,2,-2込)，所以cos〈PC,n〉=4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为上3.42.答案：(1)见解析⑵空4解析：(1)：在正方形ABCD中，dm二丄MA二1，CN二-NB=1，22QM丄QP，QM二1,AM二2，又•・•ZAMQ二60。，•.在△AMQ中，由余弦定理得，AQ2二AM2+QM2-2AM-QM-cosZAMQ二4+1-2x1x2x-二3,2二AQ2+QM2二AM2，AQ丄QM，又•・•AQ^QP二Q，AQ,QPu平面ABPQ，QM丄平面ABPQ,又•・•QMu平面MNPQ，平面MNPQ丄平面ABPQ；(2)由(1)知AQ丄QM，QM丄QP，t在正方形ABCD中，dm二1MA二1，CN二1NB=1，22.四边形CDMN为矩形，MN丄AM，MN丄DM，MN丄MQ,MN丄MA，•••MQPIMA二M，MQ、MAu平面AMQ，・.MN丄平面AMQ，MNu平面ABNM,平面ABNM丄平面AMQ,过Q作QH丄AM于H则QH丄平面ABNM,即QH丄平面BEF,QH-QMsin6宀亨，Q•••V=VQ•••V=V=1-S-QH=1x-x3x1xF-QEB3△BEF3B12丿则A（0,-4,0），C（2<2,0,0），B（0,2,0），P（0,0,4）,所以CB=（-^'2,2,0），AC=（2<2,4,0），PA=（0,-4,-4），因为AD=2DB，CE=2EB，所以DE//AC，由（1）知AC丄BC，所以DE丄BC，又PD丄平面ABC，BCu面ABC,所以PD丄BC,因为PDdDE=D，所以CB丄平面PDE,所以CB=2,2,0）为平面PDE的一个法向量,n-AC=2\2x+4y=0n-AC=2\2x+4y=0[n-PA=-4y-4z=0，令Z=1，得J一，x='H，所以n=（込-1,1）为平面PAC的一个法向量.所以cos：；所以cos：；n，CBn-CB-4-2v3|n||CB|2x2*3所以平面PAC所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为乜,2故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为n6A4•答案：A4•答案：（1）证明过程见解析.（2）（2）存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.解析：（1）：四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形,:.GD丄DA，GD丄DC.又DAcDC=D,GD丄平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，JJ£则B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1).点M在棱DG上，故可设M(0,0,t)(0<t<1).:MB=(1,1,-1),EF=(-1,1,0),MB-EF=0,BM丄EF.(2)假设存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的法向量为n二(x,y,x)，•/BE=(0,-1,1)，BF=(-1,0,1)，n-BE二0—y+z=0n-BF二0[-x+z=0令z=1，得x二y二1.n二(1,1,0为平面BEF的一个法向量，cos〈cos〈n,MB〉=n-MBInIIMBI直线MB与平面BEF所成的角为45。，sin45°=sin45°=Icos〈n,MB〉I,.2-1<3x2+12解得t=-4土3^2.又0<t<1.存在点M(0,0,3「2-4)..当点M位于棱DG上，且DM=3囂2-4时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.5.答案：(1)见解析（2）-亘5解析：（1）在半圆柱中，BB丄平面PAB,PAu平面PAB,111111所以BB丄PA.11因为AB是上底面对应圆的直径，11所以PA丄PB.11因为PBCBB=B，PBu平面PBB，BBu平面PBB，1111111所以PA丄平面PBB.11（2）根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示.设CB=1，则C(0,0,0)，A(0,1^2)，B(1,0,<2),11所以CA=(0,1八，CB=(1,0八还).11易知n=(0,0,1)为平面PAB的一个法向量.111设平面CAB的法向量为n=(x,y,z)，则<"27^112n-CB=0,J21即p+妊=0,x+逅z=0,令z=1，则x一込，y=S，所以n=—^2,1）为平面CAB的一个法向量.211

所以cos：n,n•:二=■.12,1xV55由图可知二面角P-AB-C为钝角，所以所求二面角的余弦值为-上5.1156.答案：(1)BC的中点即为所找的点O.理由见解析.(2)当F为DE的中点时，平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为-4解析：(1)BC的中点即为所找的点O.•••AB二AC，AO丄BC，又EC丄平面ABC，AOu平面ABC，:.EC丄AO.•.•BCnEC=C，BCu平面BDEC，ECu平面BDEC，:.AO丄平面BDEC.又CFu平面BDEC，:.AO丄CF.(2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴、y轴，过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,-2,4),D(-2,0,2),O(-1,-1,0)，AO=(-1,-1,0)，ED=(-2,2,-2).设EF=九ED（0<X<1），则可得F（—2九,2九一2,4-2九）,则AF=（-2九,2九—2,4-2九）.设平面AOF的法向量为m二（x,y,z），则尸•二0,Im-AF二0,-x-y=0,-2九x+（2九—2）y+（4—2九）z—0,令x令x-1，则y--1，z-吩则m=(IkJ为平面AOF的一个法向量.解得“1.易得平面ACE的一个法向量为n—(1,0,0)解得“1.令lcos〈m,nI—；-1|m||n|故当F为DE的中点时，平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为4.7•答案：（1）见解析⑵卫4解析：（1）M是AC的中点，N是BC的中点，MN//AB,•••AB丄BC,MN丄BC••.•BE=EC,N是BC的中点，EN丄BC•又MNdEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,:.BC丄平面EMN.又BCu平面ABC,:.平面ABC丄平面EMN.（2）由（1）可知，EN丄BC,MN丄BC,.••ZENM为二面角E-BC-A的平面角，又二面角E-BC-A为直二面角，:.ZENM=90。，即EN丄MN•以点N为坐标原点，NM,NC,NE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系N-xyz,•.•AC=4,AB=2,BC=2^3,/.NE八3,MN=1,则N（0,0,0）,E（0,0,朽），M（1,0,0）,B（0,—爲,0）,A（2,-占,0）,EM=（1,0,-间，BE=（0^-'3^3）,BA=（2,0,0）.

m-BA=0f2x=0,设m=(x,y,z)为平面ABE的法向量，则｛一’即屮厂厂m-BE=0,W3y+U3z=0得x=0，令y=1，贝9z=—1,平面ABE的一个法向量为m=(0,1,—1).设直线EM与平面ABE所成的角为9,则sin9=|cos〈则sin9=|cos〈m,EM〉1=m-EMImIIEMIY即直线EM与平面ABE所成角的正弦值为乎.⑵亘3解析：(1)因为AB//平面PCD，ABu平面OCP，平面OCPD平面PCD=PC，所以AB//PC.又ZCOB=60。，所以ZOCP=60。.又OC=OP，所以AOCP为正三角形，所以PC=1.(2)由题意知DO丄平面COP,而V=V，S=--OC-OP-sinZCOP,P—CODD—COP△COP2所以当OC丄OP时，三棱锥P—COD的体积最大.解法一易知OP，OD，OC两两垂直，以O为坐标原点，OP，OD，OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则P(1,0,0)，D(0,1,0)，C(0,0,1)，PC=(-1,0,1)，DP=(1,—1,0).设平面DPC的法向量为n=(x,y,z)，1

PC.n—0[—x+z二0则｛一i，即]0取x—1，得平面DPC的一个法向量为n—(1,1,1)•易知平面PCODP-n—0,Ix—y=°，1I1的一个法向量为n2—(0,1,0),设二面角D—PC—O的平面角为a，由题图知，二面角D—PC—O的平面角为锐角，贝93所以二面角D—PC—O的余弦值为上3.3解法二如图所示，取PC的中点H,连接OH,DH.因为OC—OP,DC—DP，所以OH,DH都与PC垂直,即ZOHD为所求二面角的平面角.在Rt在RtAOPC中,可得OH七,在Rt^在Rt^OHD中,DH—12+所以cosZOHDBJ3所以二面角DBJ3所以二面角D-PC-O的余弦值为「9•答案：(1)见解析224：52)'0,1,-',AE-'0,1,-',BE-:0,4：52)'0,1,-',AE-'0,1,-',BE-:0,-1丄JI2J(2JI2丿设平面BCE的法向量为n二(x,y,z),则＜则E讥2X)2+(1—X)2=乎，解得x=2,n-BC=即Jn-BE-0,x—2y-0,—y+2z-0,令y二1,得x二2,z=2,贝卩n-(2,1,2)是平面BCE的一个法向量,设直线AE与平面BCE所成的角是9,贝卩sin9=|cos〈AE,n〉I="¥"1-2IAEIInIV54^5

-「百3故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为詈.15解析：(1)由题图(1)知，在题图(2)中，AC丄AD,AB丄AD.:平面ACD丄平面ABD,平面ACDPI平面ABD=AD,ABu平面ABD,:.AB丄平面ACD,又CDu平面ACD,:.AB丄CD.(2)以A为坐标原点,AC,AB,AD所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC二1，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),AD=(0,0,1),BC=(1,—2,0),DB=(0,2,—1).设E(x,y,z)，由DE=XDB(0<X<1)，得(x,y,z-1)二(0,2九,—九)，得E(0,2九,1—九),AE=(0,2X,1—X),又平面ABC的一个法向量为AD=((W),AE与底面ABC所成角的正切值为2,所以Itan〈AD,AE〉1=2,于是Icos〈AD,AE〉1^—!==^5"，⑵一3⑵一3解析：(1)因为AF//平面MNG,且AFu平面ABEF,平面ABEF^\平面MNG=NG，所以AF//NG,所以CM=BN=^2a,所以AM八2(1-a)，所以鴛=帯=F'所以MGIIBC，所以MG丄AB.又平面ABCD丄平面ABEF,且MGu平面ABCD，平面ABCD^\平面ABEF=AB,所以MG丄平面ABEF.(2)由(1)知，MG丄NG,MG=1-a,NG=a,所以