从一道内心问题谈起1doc

探索园地【实践与探索】从一道内心问题谈起问题一如图3-41，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE=DB.A分析 欲证DE= DB，连接BE，可证∠DBE=∠DEB.注意到DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，而∠DBC=DAC=∠BAD，∠ABE=∠CBE，所以∠DBE=∠DEB.从而问题得证.EBC我们来看问题一的逆命题：D图3-41问题二在△中，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于ABC点D，E是AD上一点，如果DE=DB，则E是△ABC的内心.证明连接BE.DE=DB，∴∠DBE=∠DEB.∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，且∠DBC=∠DAC=∠BAD，∴∠ABE=∠CBE.即E在∠ABC的平分线上.又E在∠A的平分线上，∴E是△ABC的内心.将问题二进行变式，引出问题三：问题三 如图3-42，⊙O与⊙O’相交于B、C两点，O’在⊙O上，A是⊙O上的另一点，O’A交⊙O’于点E. 求证：点 E是△ABC的内心.证明连接O’B、O’C、BE.⌒⌒∵O’B=O’C，∴O'B=O'C.∴∠BAO’=∠CAO’.即点E在∠的平分线上.BAC在⊙O中，∠ABC=∠AO’C.

BE AO' OC图3-421在⊙O’中，∠EBC=2∠EO’C.1∴∠EBC=2∠ABC.即BE是∠ABC的平分线.∴点E是△ABC的内心.利用前面问题二的结论，我们可以很轻易地证明下面的问题四：问题四如图3-43，在△中，=，⊙O与△ABC的外接圆内切于点。ABCABACD且与边AB、AC分别相切于点 P、Q. 试证明：线段PQ的中点是△由于AB=AC，根据图形的对称性易知点A、外接圆圆心、线段PQ的中点E、点O、点D都在∠A的平分线上，且AD⌒ ⌒垂直平分PQ与BC.于是有PD=QD，连接AD、PD、BD，则∠BPD=∠EPD（想一想为什么？）.又∵ ∠PBD=∠PED=90°，PD= PD，∴△PBD≌△PED.∴DE= DB.

ABC的内切圆圆心.AP E QOB F CD图3-43∵点E在∠A的平分线AD上，A纠正错解∴线段PQ的中点E是△ABC的内心.下面我们再向同学们介绍该题的另一种证明方法.GEQP证明如图3-44，连接，设、相交于点.连接ADADBCFBOC1FBD、PO，易知∠EPO=∠DBF=∠BAD=2∠A，记作θ.D在Rt△和Rt△中，图3-44POEAOPOE=PO·sinθ，PO=OA·sinθ.∴OE=OA·sin2θ.类似地，在Rt△BDF和Rt△ADB中，有DF=AD·sin2θ.∴EF=OD–DF+OE=OD-AD·sin2θ·2θ=OD–(AD–)·sin2-·sin2θ=·(1–sin2θ)OD·cos2θ.ODODODE=.显然∠=θ.又过作⊥，垂足为EGABGPEG在Rt△EPG和Rt△POE中，EG=PE·cosθ，PE=PO·cosθ，∴EG=PO·cos2θ.∵OD=PO，∴EF=EG.故点E在∠ABC的平分线上.又点E在∠A的平分线上，AD∴线段PQ的中点E是△ABC的内心.同学们，问题四的证明方法很多，你们还能找到其他的证明方法吗？【阅读与欣赏】圆幂定理相交弦定理过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两条线段的积相等.课后点评如图3-45，⊙O中，弦、相交于点，求证：·=·.ABCDPPAPBPCPD证明 连接AC、BD，则∠ACD=∠ABD.又∠APC=∠BPD，∴△APC∽△DPB.∴PAPCPD.PBPA·PB=PC·PD.将AB绕点B顺时针旋转，CD绕点D逆时针旋转，使AB、CD交于圆外一点P，上述结论还成立吗？如图3-46，PAB、PCD是⊙O的两条割线，连接AD、CB则∠PBC=∠PDA.又∠BPC=∠APD，∴△PAD∽△PCB.∴PAPD.∴PA·PB=PC·PD.PCPBP就是说，从圆外一点引圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段的积，等于另一条割线上对应线段的积 .这条定理叫做 割线定理.

CO BA PD图3-45BOCD图3-46将割线PAB绕点P逆时针旋转，逐渐远离圆心O，同时A、B两点逐渐靠拢，当、B两点重合时，割线变成了切线（如图3-47），这时有PA=.于是，·22=PA.上述结论变为PA=PC·PD.(B)这就