2008-2009线性代数课程考试试卷A答案及评分标准

2008—2009学年第一学期《线性代数》考试试卷（A卷）参考答案一、填空题（每空5分，共20分）5203、1、2、n1二、选择题（每小题5分，共15分）1、C2、C3、D三、计算题（共42分）1、解：11111248D（1）(41)(31)(21)(42)(32)(43)12……8分139271416641aaa23nn1xaaa23(a)1（2）Dxaaxa3a…分4nn1n21aaxa32n100001x0(xaa)100x(xaa)…8分n11nx1n100x2、解：由AX2XB，得(A2E)XB…………2分1004510045(A2E,B)01112~01112012230013510045……6分~010470013545X47.………8分所以35x(2)x(2k)x(32)0313、解：设1122233(x2x)(2x2x)(kx3x)0………………2分131122233,,因为线性无关123第1页/共2页2x0x110232x2x0有非零解，即2200…6分12kx3x00k323所以k3.……………8分2三、简答题（每题15分，共30分）31211(1)(2)A11、解：…3分111当1且2时，方程组有唯一解．……………6分2当时，112111210003B1111~00121112知R(A)2，R(B)3，故方程组无解．……………9分1当时，21211011B1011~010311120000知R(A)R(B)2，故方程组有无穷多解,……………12分……………15分………3分通解为11x1xc03，．(cR)2x103120x12、解：（1）fx,x,x222x1232023x3120（2）由AE222(1)(2)(5)023得A的特征值为1,2,5………6分123(AE)x0，由1对应，解方程组1220102221p231AE232~012，得，……8分2000024111(A2E)x0，由2对应，解方程组2第2页/共2页12010112111A2E202~01，得，p1…10分2230212220001，由5对应，解方程组(A5E)x0311210420121A5E232~011，得1，p2…12分32302200012y2211x11x212y于是正交变换为………13分………15分32122y2x33且有fy22y25y2．123四、证明题（共8分）证：由A3O，得AEE，………2分3(AE)(A2AE)E，………6分即(AE)(A2AE)．………8分所以12009—2010学年第一学期《线性代数》考试试卷（A卷）答案一、填空题（每小题5分，共15分）dbcaadbc。32ac(aa)或ac(aa)1、；2、；3、3112212二、选择题（每小题5分，共15分）1、B；2、D；3、B。三、解答题（每小题12分，共60分）1、解：215107513751321277123530107721306130633（1）D021202120771227；721476n(n1)rn(n1)rn(n1)r1r11222222r2r2rr2（2）Dn1nnrnnnrnn第3页/共2页111211r1022rr]0[n(n1)r][n(n1)22nnnr00r[n(n1)r](r)n1。（12分）22、解：由A1知，A可逆。由已知A2EAX，XAA1；（4分）100112112(A,E)010011A1011，所以，（8分）001001001021故XAA1000。（12分）0003、解：对增广矩阵B施以初等行变换，得1161077759211111435232134075950005011435200，（8分）77000700116x75775，（，为任意实数）。（12分）19x所以，原方程的通解为c2c1cc122777x3100x40104、解：12141214121410012103032503250101A（8分）00110011001100111111030300000000所以，A的列向量组的秩为3，a，a，a为一个最大无关组，且aaaa。（12分）12341232205、解：（1）二次型f的矩阵A212；（2分）020220AE212(2)(1)(，得4)A的特征值为（2）由02第4页/共2页11432，，；（4分）24202012对应于，解方程组，由AE232022000011(A2E)x02，111p212得基础解系，将其单位化，得；（6分）23112120120021，0001对应于，解方程组，由AE202(AE)x0202122p111得基础解系，将其单位化，得；2（8分）（10分）32222201020124对应于，解方程组，由AE232(A4E)x04，300002422得基础解系，将其单位化，得p2132；1331122xy111于是，正交变换为xPy，即212y，且有f2yy24y2。21x32221223xy33（3）由于A的特征值不全为正，故f不是正定二次型。（12分）四、证明题（每小题5分，共10分）1、证明：因为mR(AB)R(B)m，得R(B)m，所以B的列向量组线性无关。（5分）AO，故A中的元素不全为零。不妨设，a0kl2、证明：因为AaAaAaAaAa2a2a2a20，所以R(A)n。k1k1k2k2klklknknk1k2klkn（5分）2009—2010学年第一学期《线性代数》考试试卷（B卷）参考答案一、选择题（每小题5分，共15分）1、D2、D3、A二、填空题（每小题5分，共15分）1、13(A2E)3、2t22、E第5页/共2页三、计算下列行列式（每小题8分，共16分）21410323312107751、解：123212325062010983233207753200109810928分xmxxxnxnx123x12、解：x1xmx2x3xm23nx1x2xxm3n1xxxnxnx231xmx2x3(nxm)1xmi23ni11x2xxm3n100001m0n(nxm)10m0(1)nmn1(mx)8分iii110mi10四、解答题（每小题12分，共48分）1、解：B(EA)1(EA)两端同时左乘EA，得ABBAE，即A(BE)(BE)2E，6分10001200故(BE)11(AE)0030。12分200343213113442071197705182、解：因为A21313，6分00001所以矩阵A的秩的秩为，39分321213为一个最高阶的非零子式。12分7083、解：设xxx，得线性方程组112233第6页/共2页111110x11x，21121x31其系数行列式11111121(3)，3分112303（1）当且时，方程组有惟一解，可由，，线性表示，且表达式惟一；6分1230（2）当时，方程组有无穷多解，可由，，线性表示，且表达式不惟一；9分3（3）当时，方程组的增广矩阵21101129，12130331211290006方程组无解，不能由，，线性表示。1