2009年九年级数学奥林匹克竞赛题(五)

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..(25分)如图4,在圆外切凸六边形ABCDEF中,AB〃DE,BC〃EF,CD〃FA.求证：凸六边形ABCDEF是中心对称图形.三.(25分)试求出所有这样的正整数a使得关于x的二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除--------完整版学习资料分享----资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除---完整版学习资料分享--参考答案第一试因为#叶,所以,当『二2，即1~/时，+心孑最小，且最小丹- x4y值为L2.®.因为―色」 Q-1)(小十@+1)_a-1(Q+l)3+「(a+2)(1”T)，E，故原式=与_013二1)…(99- -1)_!x2x3*(10tf-1) 33g7门皿rC23+1)x99xlOOxiOl^5050^06661'3AA).连结加,由内心性质知/却也=好+_!_/月4又NECD=90"J/月，则/BPD:NRCD.从而.3、D、C、P四点共圆，易知/8宝疗,所以，/蹙乜=［盼.3个=145,4.3 .(1)若口、6、e、d均不等于1,又则(以-U(b-1)争2,即ab>a+bfl)(d-1)N2,即>c+d.但&+〃=〃〉c+*r+d=^>a+幻矛盾此时无解.(2)若6Ac、d中有一个数为1,不妨设口=i,则,1+b-cdt1ti=威=c+J+1<b=c+d=(e-1)(J-1)«2Jc-1=1.Jc-1=2,"L一1=2或3-1=1.即或此时6=工Ld=dld=2+同理，当6=l,e=l,d=1时,又可得6组解，因此，共有如下8组解：(1,5.2,35(1,532),⑸123)<5,1*3,2),(2,3.1,53(2,3,5,1)13,2,1'),(3,2,5,1).5.⑹,因为a+bc+b+t:ti~(a+b)(「+1)=24'=12x2=8x3=6x4,所以，当△ABC为等腰三角形时,底边只能是3<?=1或2或3,此时腰口=6=6或4或3.TOC\o"1-5"\h\z6(D). ©如图5,设=L由已知令4€1--/at,Ibx则BC=V~bx. / \因为乂C2-双=AaDbHhM-加，于是， 图5ax--a"=bx-b1y即(a-6)[ac-(a+6)]=0.当n=b时做得△ADC£2AUIXl^AC=RC;当*=a+8时，AC2+BC2=ax+bx—(ab)2-AR1,二J.e>3或1<t<3.(1)当x<1fl'f♦x=5.,由<1,得r>3;(2)当1W4w2时，e=3,有无数个解：⑶当2<*<3时，>宁，由2W号<3,得l<c^3i(4)当工N3时=5 .由M3,得(?NLt£r 金故当。＞3时,原方程恰有两解?，号；当】＜。＜3时,椒方程恰有两解彳£,竽.昭+2).因为BP平分NAB&DP平分//IZ即，△ABE5区0a4,所以，APABDQPQPEBE~AI)AP'即CDB=ACD^AC-BD。的=AC^h.即CDB=ACD^AC-BD。的=AC^h.化时,0。的半程J?PIa-4,C*K=0,£1=3；x=工,a=L.从而卜加2uPE-PQ-AQ-PQ.故P为月。的黄金分射点.显然AP>段.令世=1,则AP=QE，以?hvtF=L+2K甚。=/5+2.所以，国:+3.-j-t£（a1+ir）.4辅助线如图6所示，易知浏），所郎@口的面积5彦勺4一工=1爪若住在4处，即使是最经济地选择床位，平均每人的住宿仍也要超过10元（因为8x11+14x6=172（元）,172+17-】。元））一若住在B处,合理选择球位，就能满足茴鼻，这个最经脐的数值是5x6+«x4+14x7-IttXjL）,160-因为9.41-#VID.12,且就为整数,所以"=10.第二试一海然，乙车的就重比是甲车的2倍.设这批货物总剪址为Mt,甲、丙车合适了九次运完这批贷物，乙.两车合运了。次运完这批货物一则由西在与甲及乙合运中的栽建员不变应有黑一1阅W-2TO m又显然有2TO解得5=:,*=刈一据题设，乙、丙合运时“乙车共运/270L故丙车也运了Z7OL即乙、的2车载重量相等一队而，甲.乙、丙3车截重量之比为卜>2.于是,3车合通相同次数把这班货物运完善运了K）8U2161.2161,3个车主应羯运馋分别为2ISO元V孙元、4320元一二，如图L因为CD//AFrAB与7F相交国提性福.DC后必相交，交点为Qi类似地得交点九工令7\匕£为3个切点,易知AFWF</>ABQCC0/\EDJS八侬.W它们的周氏依次记为G、哂、如,易证Jrt।+gj■+仃的=（F；J叨+（侬7QF）+（SF+SZ）二国+QS#■印二小此时」三辞十詈喏=霖十票啮视mmmyo（/jgAF]QCfDS.OS-CDCO了一8=l'Q5=砥“故4F=CP.又加力曲,明必、CF必互.相平分.同理可得AD、配互相平分，电、互相¥*可知也ME、CF三嫂找点.令僚点为。，品墩点0是圆心r且是凸六边形d双g"的对称中心，三、用方程可化为（m+2）2a=2x+12.曷