工程力学含摩擦的平衡问题

第三章静力平衡问题3.1平面力系的平衡问题3.2含摩擦的平衡问题3.3平面桁架3.4空间力系的平衡问题13.2含摩擦的平衡问题摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。

摩擦是二物体接触表面间有相对运动（或运动趋势）时的阻碍作用。接触表面间只有相对滑动趋势时的摩擦，是静滑动摩擦。一、静滑动摩擦AOmCP512DDdaABWPABFLFTAFLFTFNAFBFNAFFNBFF0FT静止滑动FmaxFTC2只要滑动未发生，物体仍静止，则F由平衡方程确定。

摩擦力F也是被动力，它阻碍物体的运动，但不能完全约束物体的运动。

F作用在沿接触面切向且指向与运动趋势相反。APTNFVf是静滑动摩擦系数，FN是法向反力。临界状态下接触面间的最大静（滑动）摩擦力与法向反力的大小成正比，即

Fmax=fFNF0FT静止滑动FmaxFTC

FT=0,静止，无运动趋势；F=00<FT<FTC

,静止，有运动趋势；F=FT

FT=FTc,临界状态；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,运动状态；一般有FT<Fmax3二、含摩擦的平衡问题的分析方法特点：5）有平衡方程和摩擦补充方程Fmax=f

FN。4）考虑可能发生滑动的临界情况(此时F=Fmax)，并由此判断摩擦力指向。3）二物体接触面间的摩擦力，也是相互作用的作用力与反作用力。1）问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面。AFLFTFNAFBFNAFFNBF2）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指向与运动趋势相反。4AOMCF1mineaL2）制动杆受力如图。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程Fmax=fFN;

FN=M/fr代入后求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L=M(a-fe)/frL1）取轮O研究，画受力图。有平衡方程MO(F)=M-Fmaxr=0

得到Fmax=M/r解：讨论F1最小而制动，摩擦力最大的临界状态。例3.5刹车装置如图。块C与轮间摩擦系数为f，求F1min。制动的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy5例3.6图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为f。为保证不卡住，试确定力F0的作用位置。解：1)F0向下，悬臂下滑。临界状态x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0及FA=fFNA,FD=fFND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.悬臂不卡住，应有xmax<h/2f而与F0无关。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA6例3.6图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为f。为保证不卡住，试确定力P的作用位置。解：2)F0向上，悬臂上滑。临界状态x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0及FB=fFNB,FC=fFNC

同样解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA悬臂不卡住，应有xmax<h/2f，而与F0无关；与上下滑无关。7含摩擦的平衡问题的分析方法：研究对象受力分析平衡方程求解先回忆静力平衡问题的一般方法：（此时F=Fmax）

可滑动的临界情况分析摩擦力沿滑动面切向，指向与运动趋势相反。加摩擦方程Fmax=fFN解有一个区间范围WaFTBA8讨论一：摩擦角及自锁现象设主动力之合力FA的作用线与法向夹角为a，若a<r，则无论FA多大，总有全反力FR与之平衡，物体保持静止；这种现象称为自锁。摩擦角：临界状态(F=Fmax)时，FR与法向间的夹角。显然有:tg=Fmax/FN=f即摩擦角的正切等于静摩擦系数f。可知，全反力FR的作用线只能在摩擦角(锥)之内。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自锁FAa滑动FAa>r若a>r,则无论FA多小，物体都不能保持平衡。9

2.夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直径

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

1.木楔打入墙内，摩擦角为，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？aa利用自锁条件，研究下述问题：101.木楔打入墙墙内，摩擦角为，试问a为多大时木楔打入后才不致致退出？aa不计重力，木楔受受全反力FR1、FR2二力作用而处于平平衡，则FR1、FR2必共线且沿铅垂方方向(对称性)。。临界状态有：a=r;自锁条件为：arFR1F1maxF2maxrFR2FN111问题：2.夹紧装置如如图。夹紧后OA水平，欲在P力力除去后工件不松，求偏偏心距e.自锁条件：atga=e/(d/2)tg=f得:efd/2aFROAFA

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

二力平衡必共线。临界状态:tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直径aFRa12讨论二：皮带传动的摩擦力力皮带在轮O上，包包角。紧边FT2，松边FT1，轮O逆时针转动动。研究皮带微段。法向压力dFN，摩擦力dF，二端拉力为FT+dFT和FT。在临界状态下，dF=fdFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮带受力。接触面法向分布压力FN、摩擦力F都是的函数。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：

Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d/2)-(FT+dFT)sin(d/2)=013注意d是小量，有sin(d/2)=d/2,cos(d/2)=1；略去去二阶小量dFTd；得到：fdFN=dFT和dFN=FTd;再消去dFN，即得：dFT/FT=fd积分,注意=0时，FT=FT1；=时，FT=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：

Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d/2)-(FT+dFT)sin(d/2)=0可见：1)若f=0，即光滑接触，有FT1=FT2，轮O不能传递扭矩。2)摩擦存在时，有扭矩M作用在轮上，且

M=[FT2-FT1]r=FT2r[1-exp(-f)].3)摩擦系数f越大，皮带包角越大，轮径r越大，可传递的扭矩M越大。143.3平面桁架架桥梁结构节点：杆件间的结合点。。桁架：杆组成的几何形状不不变的框架。平面桁架:杆轴线和外力在同同一平面内。15平面桁架的基本假设:2)载荷都在桁架平面面内，且作用于桁架的节点处，或可作为集中载荷荷分配到节点处。。故：力系是平面力系；杆都是在二端节点处受力力的二力杆。杆内力是沿杆的拉/压力。1)杆均为无重直杆，节点均为铰接点。3)桁架只在节点处受到约约束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB16无余杆桁架：除掉任一根杆便不不能保持其形状的的桁架。n个节点均为汇交力力系，有2n个平平衡方程；未知量量有m根杆的内力力和三个约束，m+3=2n，是是静定问题。基本三角形有三根根杆和三个节点，，其余(n-3)个节点各对应二根根杆，故无余杆桁架中杆数数m和节点数n应当满满足：m=3+2(n-3),即即m=2n-3显然，无余杆桁架是静定定桁架。有余杆桁架（m>2n-3）则是是静不定的。AB123C45D67保证桁架形状的必必要条件：以基本三角形框架架为基础，每增加加一个节点就增加加二根杆件。17F讨论下列桁桁架及问题题的静定性性杆数m=7节点点数n=5m=2n-3静定桁架约束力3静静定定问题静定桁架，，反力4一次静不定问题题杆数m=6节点点数n=4m-(2n-3)=1静不定桁架架约束力3一一次静不定定m-(2n-3)=2静不定桁架架，约束力4三次静不定定问题F183.3.1节节点法用节点法求求平面桁架架中杆内力力的步骤为为：1)研究整体，求约束反力力。求反力FAx、FAy由A节点平平衡求F1、F2由D节点求求F3、F4由C节点点求F5、F63)从含已已知力且只只有二杆受受力未知的的节点开始始，逐一列平衡衡方程求解解。若求得的结结果为负，，则是压力力。2)选取节点，画受力图。假假定杆内力力为拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF2F3F4CFCF1F3F6F5193.3.2截截面法2)任取一一截面，截截取部分桁桁架作为研研究对象，，画受力图。杆内内力假定为为拉力。截面法求解解桁架问题题时，不需需逐个节点点分析，其分析方法可归纳为：：3)列平衡衡方程求解解。因为作作用在研究究对象上的的是平面一般力系系，可以求求解三个未未知量。1)研究整整体，求约约束反力。。20例3.11求图示桁架架中各杆内内力。解：1)由整整体求得：：FAx=0;FAy=FE/3;FB=2FE/32)截取上上部研究，，受力如图图。有Fx=0F2=0MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0F