建筑力学 第二章

第2章平面汇交力系[内容提要]本章主要介绍了用解析法推出的平面汇交力系平衡条件，以及平衡条件的应用。2.1平面汇交力系的概念和实例2.1.1概念实际工程中，作用在构件或结构上的力系是多种多样的。但是，按照力作用线的分布情况，主要分为两类力系：凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。在平面力系中，各力作用线交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系；各力作用线任意分布的力系，称为平面一般力系。、、2.1.2实际工程中的平面汇交力系问题平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多实例。例如，起重机起吊重物时(图2-1a))，作用于吊钩C的三根绳索的拉力都在同一平面内，且汇交于—点，就组成了平面汇交力系(图2-1b))。又如三角支架当不计杆的自重时(图2-2a))，作用于铰B上的三个力FN1、FN2、也组成平面汇交力系(图2-2b))。

图2-1图2-2又如图2-3a)所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。当以各个铰结点(或称节点)为研究对象时，与结点相连接的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力系。例如，图2-3b)就是结点C的受力图，它构成了一个平面汇交力系。图2-3研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。2.2平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。2.2.1合力投影定理我们在第一章已讨论了力在坐标轴上的投影规则和方法。现在我们来讨论汇交力系各力投影与汇交力系合力投影之间的关系。设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的点，如图2-4a)从任一点A作力多边形ABCD，如图2-4b)所示，

则矢量就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图所示，把各力都投影在x轴上，并令FX1、FX2、FX3和RX分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图2-4b)可见图2-4

而

因此可得

这一关系可推广到任意汇交力的情形，即由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。（2-2）2.2.3用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图2-4所示，我们可选直角坐标系，求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影RX、RY，从图2-5中的几何关系．可见合力R的大小和方向可由下式确定：

（2-3）

式中为合力R与x轴所夹的锐角，角在哪个象限由∑FX和∑。

图2-5图2-6例2-2如图2-7所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三个力F1、F2、F3的合力R沿铅垂向下，试求力F3和R的大小。号来确定，具体FY的正负详见图2-6所示。合力的作用线通过力系的汇交点得

图2-9

解得

又由

得即解得即解取直角坐标系如图所示。因已知合力R沿y轴向下，故RX=0，RY=

-R。由式(2-2)知2.3平面汇交力系平衡条件从上面章节可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该力系的合力应等于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系的合力等于零。而根据式（2-3)的第一式可知上式与恒为正数，要使R=0，必须且只须所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(2-4)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。（2-4）2.4平平面汇汇交力系系平衡方方程的应应用例2-3平平面刚架架在C点点受水平平力P作用，如如图2-8a)图所示示。已知知P=30kN，刚架架自重不不计，求求支座A、B的的反力。。图2-8解取取刚架为为研究对对象，它它受到力力P、RA和RB的作作用。这这三力平平衡其作作用线必必汇交于于一点，，故可画画出刚架架的受力力图如图图2-10b)所示，，图中RA、RB的指指向是假假设的。。设直角坐标标系如图，，列平衡方方程解得得负号表示示RA的实实际方向与与假设的方方向相反。。再由由于列一起代入，，即将代入，于是是得得正号表示示RB假设设的方向正正确。为了形象地地表示支座座反力的方方向，可在在反力答数数后面加一一括号标出出反力的实实际方向。。时，RA仍按原假设设的方向求求其投影，，故应将上上面求得的的数值连同负号例2-4一一结构构受水平P作用如图图2-11a)所示示。不计各各杆自重，，求三根杆杆AB、BC、CA所受的力力。解杆AB、BC、CA两两端铰接，，中间不受受力，故三三根杆都是是二力杆。。先取铰链C为研究对对象，假定定杆CA、、BC都受受拉，画出出铰C的受受力图如图图2-11b)所示示。设直角坐标标系如图，，列平衡方方程图2-11(a)由式(a)、(b)解得FNCB的结果为负负值，表示示其指向与与假设的相相反，杆BC应是受受压；FNCA得正号，表表示杆CA受拉。再取铰链B为研究对对象，假定定杆BC、、AB受拉拉，画出铰铰B的受力力图如图2-11c)所示。。杆BC是是二力杆，，故它对两两端铰链的的作用力，，应当是大大小相等，，方向相反反，用FNBC表示，FNBC=FNCB。设直角坐标标系如图，，列平衡方方程原假设杆BC受拉，，得，将其代入入式(c)，于是得得正号表示杆杆AB受拉拉。通过以上各各例的分析析，可知用用解析法求求解平面汇汇交力系平平衡问题的的步骤一般般如下:1．选取研研究对象。。2．画受力力图约约束反力指指向未定者者应先假设设。3．选坐标标轴最最好使某一一坐标轴与与一个未知知力垂直，，以便简化化计算。4．列平衡衡方程求解解未知量列列方程程时注意各各力的投影影的正负号号。当求出出的未知力力为负数时时，就表示示该力的实实际指向与与假设的指指向相反。。(b)(c)小结结平面汇交力力系是最简简单的力系系，也是基基本力系之之一，它解解决问题的的方法在其其他力系中中仍要采用用，一定要要掌握好。。1．平面汇汇交力系的的合成合合成方法法有两种，，一是几何何法，二是是解析法。。几何法直直观、明了了，但不太太实用。实实际工程中中多采用解解析法，因因此应重点点掌握。2．合力投投影定理合合力在在某轴上的的投影等于于力系中各各力在同一一轴上投影影的代数和和。3．平面汇汇交力系的的平衡条件件(1)平衡衡的几何条条件是力多多边形自行行封闭。(2)平衡衡的解析条条件是力系系中各力在在两坐标轴轴上投影的的代数和分分别等于零零。平衡方方程为：这两个方程程式相互独独立，可根根据计算需需要任意选选择。选择择依据是一一个方程解解出一个未未知数，尽尽量避免联联立方程求求解。4．解题步步骤(1)首先先进行受力力分析，根根据解决问问题的需要要确定研究究对象，画画出受力图图；(2)画出出坐标系，，列出平衡衡方程式，，在列平衡衡方程式时时要注意力力投影的正正负号。思考题1.分力力与投影有有什么不同同?2.如果果平面汇交交力系的各各力在任意意两个互不不平行的坐坐标轴上投投影的代数数和等于零零，该力系系是否平衡衡?习题2-1如如题2-1图，某桁桁架接头，，由四根角角钢焊接在在连接扳上上而成。已已知作用在在杆件A和和C上的力力为FA＝2kN，，FC＝4kN，，并知作用用在杆B和和D上的FB、FD力作用的方方向，该力力系汇交于于O点。求求在平衡状状态下力FB、FD的值。(答答：FB＝2.83kN,FD＝3.46kN)。。题2-1图图题题2-2图2-2如如题2-2图所示，，一个固定定在墙壁上上的圆环受受三条绳的的拉力作用用。F1沿水平方向向，F2与水平线成成400角，F3沿铅垂方向向。三力大大小分别为为：F1＝200kN，F2＝250kN，F3＝150kN。求这三力力的合力。。(答：F＝500kN，∠(F，F1)＝38027′，∠∠(F，F3)＝51033′)题2-4图图题图2-32-3如如题2-3图，一均均质球重W＝100kN，放放在两个相相交的光滑滑面之间。。斜面AB的倾角为为＝450，斜面BC的倾角为为2-4如如题2-4图，用两两根绳子AC和BC悬挂一个个重W＝1kN的物物体。绳AC长0.8m，绳绳BC长1.6m，，A、B两两点在同一一水平线上上，相距2m。求这这两根绳子子所受的拉拉力。(答答：FA＝0.974kN，FB＝0.684kN)2-5梁梁AB的支支座如题2-5图所所示。在梁梁的中点作作用一力F＝2kN，力和梁的的轴线成450角。若梁的的重量略去去不计，试试分别求a)和b)两种情形形下的支座座反力。(答：a)FA＝1.58kN，FB＝0.71kNb)FA＝2.16kN，FB＝0.82kN)题2-5图图＝-600，求两斜面面的反力FD和FE的大小。2-6如如题2-6图，压路路机滚子重重W＝20kN，，半径R＝40cm，今用水水平力F拉拉滚子而欲欲越过高h＝8cm的石坎，，问F力应应至少多大大?又若此此拉力可取取任意方向向，问要使使拉力为最最小时，它它与水平线线的夹角应应为多大?并求此拉拉力的最小小值。(答答：F＝15kN，＝arctan，，Fmin＝12kN)2-7求求题2-7图所示三三铰钢架在在水平力F作用下所所引起的A、B两支支做的反力力。(答：：FA＝FK＝F)题2-6图图题题2-7图题题2-8图2-8相相同的两根根钢管C和和D搁放在在斜坡上．．并在两端端各用一铅铅垂立柱挡挡