【单元练】北京师范大学第三附属中学九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(培优提高)

一、选择题⊙OAB＝10DE⊥ABCOC：OB＝3：5DO，则DE的长为（ ）A．3解析：D【分析】

B．4 C．6 D．8DOCCD长度．【详解】∵AB＝10，∴OB=5OC：OB＝3：5，OD2OC25OD2OC252Rt△OCDCD∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．【点睛】

4本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．下列说法正确的是（）AB．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于这条弦D．90°的圆心角所对的弦是直径A解析：A【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．【详解】解：A、弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；D、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．⊙O，如图，⊙OAB；以点A⊙O于C，D两点；CDABEAC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CEDE；②BE3AE；BC．其中正确的推断的个数是（）A．0个解析：D【分析】

B．1个 C．2个 D．3个D①根据作图过程可得ACAD，根据垂径定理可判断；②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴ACAD，根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正确；②连接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC为直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正确；③∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正确，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．若圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm2，则该圆锥的高是（ ）3cm解析：B【分析】

2cm C．11cm D．10cmB先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等1于圆锥的母线长和扇形面积公式得到2理计算圆锥的高．【详解】

•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定1

•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的= 132故选：B．【点睛】

52 12．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．①是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到ACBD12cmCD两点之间的距离为，圆心角为60，则图中摆盘的面积是（）A．12cm2解析：C【分析】

B．cm2 C．cm2 D．cm2C阴影 扇形首先证△OCD是等边三角形，求出再根据阴影 扇形【详解】CD．∵O=60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CO=3cm，∴OA=OC+AC=15cm，∴OB=OA=15cm，∴S 601526032 2=S

= =

cm．阴影

扇形OAB

扇形OCD

360 360【点睛】

nr2本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质与判定等知识．扇形的面积=360．三点在O上，若120，则AOB的度数是（）A．解析：D【分析】

B．90 C．100 D．120DAB上取一点D、BD∠D圆周角定理即可求解．【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ACB=180°，∵ACB120∴∠D=60°∴∠AOB=120°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．已知O4P在OOP的长可能是（）A．2B．3C．4D．5D解析：D【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，∴OP＞4，【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．()弦是直径C解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】

半圆是弧D．三角形的外心一定在三角形的外部解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B、半圆是弧，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．如图，⊙O2ADBC⊙O∠D＝112.5°，则弦BC的长为（ ）A．2解析：C【分析】

B．2 C．22 D．23C、O∠∠∠【详解】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°∴∠C=180°-∠D＝180°-112.5°=67.5°∵AC=AB∴∠BAC=180°-2∠C=45°∴∠BOC=90°∴BC= OB2OC2 222222．故答案为C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的突破口．ABCD、OB、OD∠AOB＝110°，则∠COD的度数是（）0°解析：B【分析】

B．70° C．80° D．45°B设四个切点分别为、FGH，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．【详解】解：设四个切点分别为E、F、G、H，分别连接切点和圆心，则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，OE=OF=OG=OH，在Rt△BEO和△BFO中，OEOFOBOB，∴Rt△BEO≌△BFO（HL）∴∠1=∠2，同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，即∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=110°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．二、填空题3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径cm．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面Rcmrcm3πcm2120解析：1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm，∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，∴120R2360

＝3π，解得：R＝3，由题意可得：2πr＝解得：r＝1．故答案为：1．【点睛】

3180，此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆连结OB延长CO交弦AB于D，△OBD是直角三角形，则弦BC的长．或【分析】如图1当∠DOB=90°时推出△BOC是等腰直角三角形于是得到BC=；如图2当∠ODB=90°时推出△ABC是等边三角形解直角三角形得到BC=AB=【详解】如图1当∠DOB=90°时∴∠B52或53【分析】如图1，∠DOB=90°时，推△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC= 2OB52如图2，∠ODB=90°时，推△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=53．【详解】如图1，当∠DOB=90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴BC= 2OB5 2如图2，当∠ODB=90°时，即CDAB∴AD=BD∴AC=BC∵AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵OB=5∴ BD 3OB5 32 2∴BC=AB=5 3．综上所述：△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5 2或5 3故答案为：5 2或5 3．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．AB、CD相交于点O,AOC1cmP的圆心在直线AB上，且与点O8cmP2cm/sAB的方向运动，那么 P与直线CD相切.35【分析】分类讨论：当点PP在OA时⊙PCDPPE⊥CDEPE=1cm再利30°OP=2PE=2cm则⊙PAB上解析：3或5【分析】分类讨论：当点P在当点POA时⊙PCD相切，过PPE⊥CDE，根据切线的PE=1cm30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm⊙P的圆心AB上向右移动了（8-2）cmCD⊙P移动所用的时间；当点POB时⊙PCD相切，过PPE⊥CDF⊙P移动所用的时间．【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，∴⊙P822=3（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切，∴⊙P822=5（秒）．故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.BD是OAC在OAOB58BAC的中点，则∠BDC的度数．29°【分析】先由是弧的中点可得再根据圆周角定理可得结果【详解】解：连接OC∵是弧的中点∴∴∠BOC=∠AOB=58°∴∠BDC==29°故答案为29°【点睛】本题考查了圆周角定理掌握圆周角定理是解解析：29°【分析】BACABBC，再根据圆周角定理可得结果．【详解】解：连接OC，∵B是弧AC的中点，∴ABBC．∴∠BOC=∠AOB=58°∴∠BDC=1582故答案为29°．【点睛】

=29°．本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．已知，O的弦AB与O的半径相等，则弦AB所对的圆周角的度数．或【分析】由的半径为厘米弦的长为厘米可得等边三角形因此再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求出弦所对的圆周角注意所对的圆周角有两种情形【详解】解：如图为等边三角形则设弦所对的圆周角为当点在弦所对的优30或【分析】由O的半径为rAB的长为r厘米，可得OAB等边三角形，因此AOB60，再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求出弦AB所对的圆周角．注意AB所对的圆周角有两种情形．【详解】OAOBABr，ABO为等边三角形，则AB所对的圆周角为ACB，当点CAB所对的优弧上，则ACB60230；当点C在弦AB所对的劣弧上，则ACB18030150．所以弦AB所对的圆周角为30或150，故答案为：30或150．【点睛】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了圆内接四边形的对角互补和等边三角形的性质．如图，正五边形ABCDE内接点F在DE上，∠CFD＝ 度．36【分析】连接OCOD求出∠COD的度数再根据圆周角定理即可解决问题【详解】如图连接OCOD∵五边形ABCDE是正五边形∴∠COD==72°∴∠CFD=∠COD=36°故答案为：36【点睛】本题考解析：36．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605∴∠CFD=1∠COD=36°，2故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．如图，半径为10的扇形AOB中，∠为AB上一点垂足分别为DE．∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积．10πOC易得△ODE≌△ECOOBC的面积就OBC的面积即可【详解】解：如下图连接OC∵∠AOB=90°CD⊥OACE⊥OB∴四边形ODCE为矩解析：10π【分析】连接OC，易得△ODE≌△ECO，所以扇形OBC的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC的面积即可．【详解】连接OC，∵∠AOB=90°、CD⊥OA、CE⊥OB∴四边形ODCE为矩形∴OD=CE，OE为公共边∴△ODE≌△ECO∴△ODE的面积=△ECO的面积∴图中阴影部分的面积=S故答案为：10π．【点睛】

O

36 36 OB2 102 360 360本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE的面积=△ECO的面积．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm10cm，则该圆锥的侧面积为π）50π积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查解析：50π【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，1则圆锥的侧面积是：250．【点睛】

×10π150cm）．19．O中，弦ACBD相交于点，且ABBCCD∠BEC=130，则∠ACD的度数为105∠BCA＝∠CBD＝∠CDB然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED再在△CDE用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA＝∠CBD＝∠解析：105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED，再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵AB BC CD，∴∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，∵BEC＝130，∴BCA＝∠CBD＝25CED50，∴CDB25，∴ACD1805025105．105．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键20．如图，AB是O的直径，CD AB于E，CD 24，BE8，则AB ．ODrOE=r-8再根据勾rrOE=r-8AB⊥CDECD=24DE=CD=12Rt△ODE解析：26【分析】

O的半径为r，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r，最后根据直径和半径的关系即可解答．【详解】解：如图：设

O的半径为r，则OE=r-8，∵AB⊥CD于E，且CD=24，2∴DE=1CD=12，2在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-8，DE=12，∴OE2+DE2=OD2，∴（r-8）2+122=r2，解得r=13∴AB=2r=26．故答案为26．【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．三、解答题ABCD⊙OAC是⊙OEAB上一点，BD．DEDEABOA2BC的长．27解析：（1）7.【分析】借助同圆中，同弧上的圆周角相等，利用AAS证明全等；过O作OHAB.【详解】解：（1）证明：∵AC是∴ADC．∵30，∴AC．∵AC2OA，∴OACD．∵BCBC，CDCD

O的直径，∴EAOCBD．∵AEO∴AEO∴△OAE≌△CDB；（2）DE，过O作OHABH，∴AHHB．∵AOOC，∴BC2OH．设OHx，∵OEA30，∴HE 3x．由（1）知△OAE≌△CDB，∴AEDB．∵ADAD，∴ABDACD60．∵DEAB，∴BDE30．∴DB2BE，AEDB．∴AE2BE．设AHHBy，则AEy 3x，BEy 3x． ∴y 3x2 y 3x ．∴y33x．在Rt OAH中，OA2，AH33x，OHx， OH2AH2 x233x 22．解得x1

，x （舍去）．777 2 7777∴OH ．772 77∴BC 2 77【点睛】本题考查了圆周角的性质，垂径定理，勾股定理，方程思想，熟练运用圆周角定理，作辅助线，构造垂径定理是解题的关键.RtABCACB90．请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心ОACAB,所在直线相切（);在AC9,BC12，求

O的半径．解析：（1）见解析；（2）【分析】

O的半径为4∠ABCAC，然后过OABABE，以O为圆心，OE为半径作圆即可；先利用勾股定理求出AB，然后由S S S 即可求出OBC ABO ABC【详解】解:（1）如图所示：

O的半径．（2）设直线AB与O切于点D，连接OD，则ODAB,ACB90,AB2AC2BC292122152．AB15,设O的半径为r,由得S S SOBC ABO ABC12r15r912,r4,即O的半径为4【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．△ABCAB⊙OACMN∥BCAB于点E，且ME＝NE＝3．是⊙O的切线；AE＝4⊙OAB的长度．25解析：（1）4．【分析】先由垂径定理得AB⊥MN，再由平行线的性质得BC⊥AB，然后由切线的判定定理即BC⊙O的切线；OM⊙O的半径是rRt△OEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解⊙O的半径，即可得出答案．【详解】ME＝NE＝3，∴AB⊥MN，又∵MN∥BC，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线；OM设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝32+（4﹣r）2，25解得：r＝8，∴AB＝2r＝25．4【点睛】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．AB在y∠C=90°ACx轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．求证：BC是⊙F的切线；、DA(0,−1)，D(2,0)⊙F的半径；请直接写出线段、CD三者之间满足的数量关系．5解析：（1）2；（3）AG=AD+2CD．【分析】EF∠∠AC∠FEB=∠C=90°，证明结论；FD⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；FR⊥AD于RRCEFEF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠∴∠∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；FD，∵A(0,−1)，D(2,0)，∴OA=1,OD=2.在Rt△FOD中，∵OF2OD2DF2设⊙F的半径为r，∴r2=（r-1）2+22，5 5解得，r=2⊙F2；FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∵BC是⊙F的切线；∴∠FEC=∠C=∠FRC=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，AF=FD,∴AR=RD，2∴EF=RD+CD=1AD+CD，2∴AG=2FE=AD+2CD．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．Rt△OAB中，∠OAB=90°B的坐标为11 △OABO180°△OAB11 1点A旋转到点A所经过的路径长（结果保留π）．11解析：（1）作图见解析，B（-4，-2）；（2）4π．1【分析】将点A和点B分别绕点O后所得对应点，再顺次连接即可得；根据弧长公式计算可得．【详解】11解：（1）∴△OAB11

即为所求作三角形，1如图，点B（-4，-2）．1（2）∵OA＝4，∠AOA

＝180°，∴点A旋转到点A14

1所经过的路径长为180

=4π．【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，及弧长公式．如图，AB、CD 是O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AECE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE1,BE3,OE 2．求证：CEB；FGAD；求O的半径．解析：（1）5【分析】∠A=∠CASA得出CEB；1由直角三角形斜边上的中线性质得EF=2BC=BF，由等腰三角形的性质得∠FEB=∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG=90°，进而得出结论；1OH⊥ABHOBAH=BH=2AB=2EH=AH-AE=1，由勾股定理求出OH=1，OB= 5，而OB的长即为【详解】∠A=∠在△AED△CEB中， AC

O的半径． AECE ，AEDCEB∴△AED≌△CEB（ASA）．AB⊥CD，∴∠AED=∠CEB=90°，∴∠C+∠B=90°，∵点F是BC的中点，2∴EF=1BC=BF，2∴∠FEB=∠B，∵∠A=∠C，∠AEG=∠FEB=∠B，∴∠A+∠