定积分的应用

第十章定积分的应用§1平面图形的面积1．求由抛物线yx2与y2x2所围图形的面积。解设所围图形面积为S。如图10-1。yx2解方程组y2x2，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为[-1，1]。图形面积为s1118.(2x2)dxx2dx[(2x2)x2]dx111312.求由曲线ylnx与直线x,x10,y0所围图形的面积。设所围图形总面积为S,10解110(xlnxx)11(xlnxx)110s1(lnx)dxlnxdx10110

(99ln1081).103.抛物线y22x把圆x2y28分成两部分,求这两部分面积之比.解设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,则:s1(8y2y284cos2d824,222433s28s1846423.3s124323.s2649234.求内摆线xacos3t,yasin3t(a0)所围图形的面积.解设所围图形的全部面积为S.取积分变量为t,当t由变到0时,就得到曲线2在第一象限的部分.s012a20sin3tcos2(sint)dt12a22sin4t(1sin2t)dt4y(t)x(t)dt22012a2(31531322)a42642285.求心形线ra(1cos)(a0)所围图形的面积.解设所围图形的面积为S.取积分变量为,当由0变到时,即得到曲线在x轴上方部分.由极坐标系下面积的积分表达式有:s21a2(1cos)2d21a2(12coscos2)d2020.a2[31sin2]032sina22426.求三叶形曲线rasin3(a0)所围图形的面积.解 设三叶玫瑰线围成的区域面积为 S,取积分变量为 ,当 由0变到 时,就得6到曲线在第一象限的部分的一半 .(如图10-6)s66a2sin23da26sin23da26sin2d2000a2a2sin2]06.6(1cos2)d[a220224§2 由平行截面面积求体积如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.解设垂直与x轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V.按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:x2y21.10016由相似三角形边长比的关系知hX1x,5,所以h102又A(x)=2yh24x21x4x1x211001002所以x2x21x2400x2310V=10110)2(1)24004xdx=-4(1d(1)5000100010010031003求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积.(1) y sinx,0 x ,绕x轴;sin2xdx1sin2x]2解v2(1cos2x)dx2[x0.0022(2)xa(tsint),ya(1cost)(a0),0t2,绕x轴;v2cost)2d[a(tsint)]a22a2(1cost)3dta2(10解0.a22cos3t)dt52a3(13cost3cos2t0（3）ra(1cos)(a0)，绕极轴；解ra(1cos)(a0)为心脏线方程，其极轴（x轴）之上部分的参数方程为xa(1cos)cos,ya(1cos)sin,2v3y2dx0a2(sin30（4）x2y2a2b2

0 .y2dx3.82sin3cos_sin3cos2)(12cos)da331.绕y轴。解x2y21.得yb1x2，a2b2a2aa2b2(1x2)dx4ab2vay2dx2.0a33.已知球半径为r,验证高为h的球缺体积vh2(rh).(hr)3解设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有vry2dxr(r2x2)dxr2x1x3rh2(rh)。rhrh3rh3§3 平面曲线的弧长与曲率求下列曲线的弧长。3（1）yx2,0x4;331解由于y(x2)x2,2由曲线的弧长公式有4141(3x2s)2dx020

19xdx8(138(10101)9x)204.427427（2）xy1;解令xu2，则y(1u2),0u1,由参数方程下弧长公式s1(2u)2[2(u1)]2du(令t2u1)0.22t111t2dt1t2ln(t21121[1t)]1ln(12)22222（3）xacos3t,ysin3t(a0,0t)：解x3acos2tsint,y3asin2tcost,s2sin2tcos2t(sin2tcos2t)dt3a26a.3asin2tdt020(4)xa(costtsint),ya(sinttcost)(a0,0t2);解xa(costtsint)atcost,y[a(sinttcost)]atsint,s2x2y2dt222a.0atdt0(5)rasin33(a0,03)s3r2r2()d3a2sin4a2sin4cos2d32d00asin解333033123a(1)d2cosa032（6）ra(a0)(02).解 r (a ) a；由极坐标下弧长公式2)2(a)2d2122s0(aa[1ln(1)]0aln(222.a[142142)]2求下列各曲线在指定点处的曲率:xy4,在点（2，2）；解因为y4,y4,y8,xx2x3所以yx21,yx21.由曲率公式,曲线在(2,2)的曲率为:kyx213.3341[1(y)2]2(11)2x2(2)ylnx在点(1,0);解 因为 yx1

1x x1 1 ,yx11x2x1

1

,k12所以3.(112)24(3)xa(tsint),ya(1cost)(a0)在t的点.2xta(1cost)ta22xy

asint2asint2

t a ,2ta;2y

t

acost

t

0 .2

2由曲率公式有ka223.(aa2)24a(4) x acos3t,y asin3t(a 0)在t 的点.4x(t) 3acos2tsintx(t) 3acost(cos2t 2sin2t)y(t) 3asin2tcosty(t) 3asint(cos2t sin2t)xt32a44xt324a4yt432a4yt32a44xyxy(32a)2(32a)2所以k442a.33(x2y2)2[(32a)2(32a)2]2344定积分在物理中的某些应用有一等腰梯形闸门,上下两条底边长为10cm和6cm,高为20cm计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.解如图,由B.C点的坐标(0,5)及(20,3)求出过BC的直线方程