2020年浙江省杭州市拱墅区八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A.3，4，5 B.1，，2 C.6，8，10 D.1.5，2.5，4下列命题的逆命题是真命题的是（）A.对顶角相等 B.等角对等边

C.同角的余角相等 D.全等三角形对应角相等若△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A.3 B.4 C.1或3 D.3或5在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，CD⊥AB于D，则CD长为（）A.4 B. C. D.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，BC=BD，则∠ACD的度数是（）

A.64° B.42° C.32° D.26°如图，若要将一块不能弯曲的正方形（不考虑厚度）搬进室内，需要通过一扇高为2m，宽为1m的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门？（）A.2.8m

B.2.5m

C.2.2m

D.以上答案都不对

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（）

A.S△ABE=S△BCE B.∠AFG=∠AGF C.BH=CH D.∠FAG=2∠ACF如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A.α=β

B.α=2β

C.α+β=90°

D.α+β=180°

如图钢架中，∠A=15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，则所有钢条的总长为（）

A.16 B.15 C.12 D.10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=4：5：9，那么△ABC按角分类是______三角形．如图所示，在△ABC和△DE中，B，E，C，F在同一条直线上．已知AB=DE，AC=DP，使△ABC≌△DEF还需要添加一个适当的条件______．（只需添加一个即可）等腰△ABC周长为16cm，其中两边长的差为2cm，则腰长为______cm．在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，在△ABC的面积是______．

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，点D为BC边上一点，且BD=AD，∠ADC=60°，则△ABC的周长为______．（结果保留根号）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P，Q分别是边BC，AC上一点，PB=1，则PA=______，若BQ=AP，则AQ=______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）判断下列命题的真假，并给出证明

（1）两个锐角的和是钝角；

（2）若a＞b，则a2＞b2；

如图，已知D是△ABC内一点．

（1）求作△ADE，使得D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC；（2）在（1）的条件下，若AB=AC，连BD，EC，求证：BD=EC．

在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．

（1）在图中画△ABC．使AB=，BC=3，AC=；

（2）作出AC边上的高线BH，并求BH的长．

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线．

（1）求证：∠BAD=∠CAD；

（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系．并说明理由；

（3）当∠BAC=90°，BC=8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求△BCP的面积

如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．求证

（1）求证：BF=AC；

（2）求证：BE是AC的中垂线；

（3）若BD=2，求DF的长．

（1）在等腰三角形ABC，∠A=130°，求∠B的度数

（2）在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．

（3）根据（1）（2）问后发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时请你探索x的取值范围，并用含x的式子表示∠B的度数．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B′处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C′处，CD与BE交于点F．

（1）求AC′的长度；

（2）求CE的长度；

（3）比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小，并说明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】D

【解析】解：A，∵3+4＞5∴能构成三角形；

B，∵1+＞2∴能构成三角形；

C，∵8+6＞10∴能构成三角形；

D，∵1.5+2.5=4∴不能构成三角形．

故选：D．

根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．

此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

3.【答案】B

【解析】【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．

【解答】

解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，如位于不同平面上的两个相等的角就不是对顶角，是假命题；

B、逆命题为：等边对等角，成立，是真命题；

C、逆命题为：相等的角为同一个角的余角，不成立，因为钝角没有余角，是假命题；

D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，如形状相同的两个大小不一样的三角板，是假命题；

故选：B．

4.【答案】D

【解析】解：∵△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，

∴DE=AB=2，DF=AC=4，

∵△DEF的周长为奇数，

∴EF的长为奇数，

D、当EF=3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；

A、当EF=3时，由选项D知，此选项错误；

B、当EF=4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；

C、当EF=1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；

故选：D．

根据全等求出DE=AB=2，DF=AC=4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．

本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

5.【答案】B

【解析】解：

由勾股定理得：AB===13，

∵由三角形的面积公式得：S△ACB==，

即AC×BC=AB×CD，

∴5×12=13×CD，

解得：CD=，

故选：B．

根据勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式求出即可．

本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，能根据三角形的面积关系得出AC×BC=AB×CD是解此题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，

∴∠B=64°，

∵BC=BD，

∴∠BCD=（180°-64°）÷2=58°，

∴∠ACD=90°-58°=32°．

故选：C．

根据直角三角形的性质可求∠B的度数，再根据等腰三角形的性质可求∠BCD的度数，根据角的和差关系可求∠ACD的度数．

考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求出∠BCD的度数．

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出长方形门框对角线的长度是解题的关键．先利用勾股定理求出门框对角线的长度，然后看哪个边长小于门框的对角线的长，哪个就能通过．

【解答】

解：如图，连接AB，

由勾股定理得：AB2=22+12=5，

∵2.82=7.84，2.52=6.25，2.22=4.84＜5，

故选C．

8.【答案】C

【解析】解：∵BE是中线得到AE=CE，

∴S△ABE=S△BCE，所以A选项的说法正确；

∵∠BAC=90°，AD是高，

∴∠ABC=∠DAC，

∵CF是角平分线，

∴∠ACF=∠BCF，

∵∠AFG=∠FBC+∠BCF，∠AGF=∠GAC+∠ACF，

∴∠AFG=∠AGF，所以B选项的说法正确；

∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

而∠ACB=2∠ACF，

∴∠FAG=2∠ACF，所以D选项的说法正确．

故选：C．

根据三角形中线定义和三角形面积公式可对A选项进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对B选项进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对D选项进行判断．

本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

9.【答案】B

【解析】解：∵△AOB≌△ADC，

∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，

∴∠BAC=∠OAD=α，

在△ABC中，∠ABC=（180°-α），

∵BC∥OA，

∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，

∴β+（180°-α）=90°，

整理得，α=2β．

故选：B．

根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．

本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：∵添加的钢管长度都与AP1相等，∠A=15°，

∴∠AP2P1=∠A=15°，…，

∴从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是15°，第二个是30°，第三个是45°，第四个是60°，第五个是75°，第六个就不存在了，

∴一共有5根．

设AP1=a，作P2D⊥AB于点D，

∵∠A=15°，AP=P1P2，

∴∠P2P1D=30°，

∴P1D=a，

∴P1P3=a，

同理可得，P3P5=a，

∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，

∴a+a+a=4+2，

解得，a=2，

∴所有钢条的总长为2×5=10，

故选：D．

根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，可以求得每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．

本题考查了三角形的内角和是180度、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，发现并利用规律是正确解答本题的关键．

11.【答案】直角

【解析】【分析】

根据三角形的内角和等于180°求出最大的角∠C，然后作出判断即可．

本题考查了三角形的内角和定理，求出最大的角的度数是解题的关键．

【解答】

解：∵∠C=180°×=90°，

∴此三角形是直角三角形．

故答案为：直角．

12.【答案】∠A=∠D

【解析】解：添加的条件是：∠A=∠D，

理由是：∵在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），

故答案为：∠A=∠D．

此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合全等三角形的判定定理即可．

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键．

13.【答案】或6

【解析】解：设等腰△ABC的腰为xcm，底边为（x+2）cm，

∴2x+x+2=16，

∴x=，x+2=，且能构成三角形，

∴腰长为cm，

设等腰△ABC的腰为xcm，底边为（x-2）cm，

∴2x+x-2=16，

∴x=6，x-2=4，且6，6，4能构成三角形，

∴腰长为6cm，

综合以上可得腰长为6cm或cm．

故答案为：或6．

设等腰△ABC的腰为xcm，底边为（x+2）cm或（x-2）cm，根据三角形的周长列出方程，解方程即可得到结论．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解答本题的关键是掌握三角形的性质．

14.【答案】5

【解析】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，

∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，

∴BE=3，CF=1，

∵∠BAC=90°，BE⊥AF

∴∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠ABE=90°

∴∠CAF=∠BAE，且AB=AC，∠AEB=∠AFC=90°

∴△ABE≌△CAF（AAS）

∴AE=CF=1，

∴在Rt△ABE中，AB==，

∵∠BAC=90°，AB=AC=

∴S△ABC=•AB•AC=5

故答案为：5．

过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由余角的性质可得∠CAF=∠BAE，由“AAS”可证△ABE≌△CAF，可得AE=CF=1，由勾股定理可求AB的长即可解决问题．

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

15.【答案】3+3

【解析】解：在Rt△ADC中，

∵sin∠ADC=，

∴AD===2．

∴BD=AD=2，

∵tan∠ADC=，DC===1，

∴BC=BD+DC=3．

在Rt△ABC中，AB==2，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+3+=3+3．

故答案为：3+3．

要求△ABC的周长，只要求得BC及AB的长度即可．根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以求得AD的长度，也可求得CD的长度；再根据已知条件求得BD的长度，继而求得BC的长度；运用勾股定理可以求得AB的长度，求得△ABC的周长．

本题考查了勾股定理，解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

16.【答案】

3

【解析】解：连接AP，过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴BD=CD=BC=4=2，∠BAD=30°，

∴AD=AB=2，

∵PB=1，

∴PD=1，

∴PA===；

连接BQ，过B作BH⊥AC于H，

∴AH=AC=2，

∴BH=AD=2，

∴HQ===1，

∴AQ=AH+HQ=3，

故答案为：，3．

连接AP，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD=CD=BC=4=2，∠BAD=30°，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了电脑数据线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，

例如，一个角是30°，另一个是40°，

则这两个角的和是70°，70°不是钝角，

∴两个锐角的和是钝角，是假命题；

（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，

例如：a=-1，b=-2，

a2=1，b2=4，

则a2＜b2，

∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．

【解析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可；

（2）根据有理数的乘方法则证明；

本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

18.【答案】解：（1）如图所示，△ADE即为所求；

（2）如图所示，连BD，EC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=EC．

【解析】（1）根据D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC，即可作出△ADE；

（2）根据∠DAE=∠BAC，得出∠BAD=∠CAE，再判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得到BD=EC．

本题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

19.【答案】解：（1）如图所示：△ABC即为所求．

（2）S△ABC=BC•AD=AC•BH，

∴×3×2=×BH，

∴BH=．

【解析】（1）根据勾股定理即可作出长是，3，的线段，即可作出三角形；

（2）利用△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式求解．

本题考查作图-应用与设计、勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是学会用面积法求高，属于中考常考题型．

20.【答案】解：（1）∵AB=AC，AD是中线，

∴∠BAD=∠CAD；

（2）连接EC．结论：BD=CE．

理由：∵AD是中线，

∴BD=CD，

∵AD，AE关于AC对称，

∴CD=CE，

∴BD=CE；

（3）连接BE交AD于点P，此时PE+PC的值最小．

∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC=4，

∴AD=AE=4，

由题意AE∥BD，AE=AD=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴PA=PD=2，

∵PD⊥BC，

∴S△BCP=×8×2=8．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论．

（2）利用轴对称的性质即可证明．

（3）连接BE交AD于点P，此时PE+PC的值最小．证明四边形ABDE是平行四边形，求出PD即可解决问题．

本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，

∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，

∴∠DBF=∠DCA，

∵BD=CD，

∴△BDF≌△CDA（SAS），

∴BF=AC．

（2）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵∠BEA=∠BEC=90°，

∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，

∴∠A=∠BCA，

∴BC=BA，

∵BE⊥AC，

∴CE=EA，

∴BE是AC的中垂线．

（3）解：连接AF．

∵△BDF≌△CDA，

∴AD=DF，设DF=AD=x，

∵BE垂直平分AC，BD=CD=2，

∴CF=AF=2-x，

在Rt△ADF中，∵AF2=DF2+AD2，

∴（2-x）2=x2+x2，

解得x=-2+2或-2-2（舍弃），

∴DF=-2+2．

【解析】（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可．

（2）只要证明BC=BA即可解决问题．

（3）连接AF，只要证明DF=AD，AF=CF，设DF=AD=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】解：（1）根据三角形内角和定理，∵∠A=130°＞90°，∠B=∠C=25°；

（2）若∠A为顶角，则∠B=（180°-∠A）÷2=70°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×40°=100°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=40°；

故∠B=70°或100°或40°；

（3）分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能