空间几何体的外接球与内切球九大模型(解析版)

空间几何体的外接球与内切球九大模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．模型一墙角模型【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外a2＋b2＋c2则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝4．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：DCDCDCDC11111111ABABABAB11111111DCDCDCDCABABABAB类型Ⅰ类型Ⅱ类型Ⅲ例外型【例题选讲】且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为()答案A解析由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的球球O的表面积等于()．球三棱锥S－ABC外接球的表面积是________．SMACNBFO2338PPEExDACACDFBF3B(解法一)(解法二)1解法二：设PA=PB=PC=2x，E,F分别为PA,AB的中点，：EF∥PB，且EF=PB=x，△ABC2166xx22根根根根AD1AD1PA2xx2432x22==8ππ的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________PAπππ．棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．D1BAB1CDBAB【例题选讲】[例](1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．答案3几解析这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=3，R=3，22382为________．222222(3)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长答案解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长6方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则〈b2＋c2＝52，得a2＋b2＋|lc2＋a2＝52，c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R=，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接26该正四面体的外接球的体积是()4224232552222三棱锥A-BCD的外接球表面积为，24444【方法总结】个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方2424CCO2B1ORh2CrO1BAA【例题选讲】[例](1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()．D215答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝2BC＝2，32+42+12213半径r＝=．故选C．2(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．33743123则此球的表面积等于()．答案B解析如图，先由余弦定理求出BC＝23，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()16π32π答案D解析由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝OA2＋AB2＝12＋(3)2＝2．故这个球的表面积S＝4πr2＝16π．故选D．r外接球的半径为R，则R2=r2+外接球的半径为R，则R2=r2+()2=r2+(r)2=r2+32r23=353，当且仅当24r4r24r24r25模型四垂面模型【方法总结】2424AAOD22hhB2ROROhhCr2DCr2DOO11BB【例题选讲】三棱锥的外接球的体积为()88答案D解析∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接AC圆半径r＝2＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接13413131341313BB4OAO1P(2)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()23641答案D解析如图1，设O为三棱锥外接球的球心，O1为正△PAC的中心，则OO1＝2AB＝2．2AO12432341664＝π＝3，AO1＝3，R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝3＋4＝3，故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝3π．sin3223231416＝3PH＝3×2×2＝3，OO′＝DH＝2AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝3＋4＝3．故几何体外接球的表64SRπ．CABBCABCSA的外接球的表面积为()643325633436332048377＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝AC771sin∠ABC＝3，∴r＝3，又∵侧棱SA⊥底面ABC，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离h＝2SA2都在同一个球面上，则该球的表面积为()55答案C解析如图1，先由余弦定理求出BC＝23，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直SSP25RAr1823BABh1另解如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P－ABC，PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝42＋22＝25⇒R＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π．线PD与平面ABC所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．5321BC721BC727半径为r，由正弦定理得2r===2ABBC12+(7)2一22271727==，又D为BC中点，在编ABD中，BD=BC=，AB=1，cos三ABD=．由2272274552的外接球半径为R，所以R=(的外接球半径为R，所以R=()2+r2=()2+()2=，三棱锥P一ABC外接球表面积为223123模型五切瓜模型【方法总结】BCdAππdAππ形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1l2R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－4(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)BBAOD类型ⅠROmO1CdrAOBOB1D类型Ⅱ DAO2ODBCBD类型Ⅲ类型Ⅳ【例题选讲】44332π3答案解析如图，取PC的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，3ππ111143432πAPCOB3π3π答案27答案2723外接球的球心必在线段AM上，又△ABD为正三角形，∴球心是△ABD的中心，则外接球的半径为3×2×223423323π∴四面体ABCD外接球的体积为3×π×(3)3＝27．BDC则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为()10π20πABCDM3231520πAABDBPMPMCMCABCllABCl球心O一定在平面PBC2PBC2122PBBC21由正弦定理得：=2R，解得R=sin三PBC2二面角(如图)，则四棱锥A－DECB的外接球的表面积为________．AADEBCBDAEC为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接圆的圆心是点M，四棱锥A－DECB的外接球的球心在直梯形DECB的外接圆的圆心．连接BE，易知△BEC是钝角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圆的圆心在等腰梯形DECB的外部．设四棱锥A－DECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，则5解得R2＝2，故四棱锥A－DECB的外接球的表面积S＝4πR2＝10π．ADEMDEBNBO模型六斗笠模型【方法总结】：的底面半径或底面外接圆的圆心)PPhOOArh2＋r2R＝2h(其中h为几何体的高，r为几何体PhORCABr1AB【例题选讲】积为________．答案答案2x2x1x32342AB223面积为________．11111BCAOPO心为O，半径为R，则O必在PO上，OO=4-R，2(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()81π27πABCD．4AB9BCDABCDEFABCD2cosPEF若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．知正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高知正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，则AO1＝PO＝AO＝R，PO122OOO44π＋(2－R)2，解得R＝3，所以球的体积为V＝3πR3＝3×33＝36π．CABACBC()D333BC22球心．由PHO∽PGA，可得PH=PG，则PO=PHPA=2=1．可知O与G重合，即该棱锥外POPAPG13模型七已知球心或球半径模型【例题选讲】5CBO的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R．的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R．∴VS­ABC＝VA­SBC＝3×S△SBC×AO＝3×2×SC×OB×AO，即9＝3(1BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90˚，则球O的体积为________．32π3答案解析设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD3DEOEO的体积为3π．SCOSC)226336223222ASABCOABCABCOSC棱33(326331362－ABC＝2VO－ABC＝2×3×4×3＝6．故选A．答案解析为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．2(5)三棱锥S－ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S－ABC的体积最大时，点SABCD．2答案C解析如图，设三棱锥S－ABC底面三角形ABC的外心为G，三棱锥外接球的球心为O，3要使三棱锥S－ABC的体积最大，则O在SG上，由底面三角形的边长为3，可得AG＝2sin60°＝3．连模型八最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】13答案3＋22解析依题意，边长是3的等边△ABC的外接圆半径r＝2·sin60°＝1.∵球O的表面42π31642π3162π3322π3到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋22．(2)在四面体ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝3，AC＝2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为()答案C解析∵AB＝1，BC＝3，AC＝2，由勾股定理可得AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC＝3，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R＝BC2＋CD2＝6，因此，四面体ABCD的外接球的表面积(3)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O的体积等于()6642π3答案D解析由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的464246422，所以球O的体积是3πR3＝3(4)三棱锥A－BCD内接于半径为5的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为()343A．383116EF＝2，所以Vmax＝3×2×4×2×4＝3，故选C．(5)(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．答案8解析设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2模型九内切球模型【方法总结】方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；P－ABCO－ABCO－PABO－PACO－PBCP第二步：设内切球的半径为r，球心为P－ABCO－ABCO－PABO－PACO－PBCP11111－ABC＝3S△ABC·r＋3S△PAB·r＋3S△PAC·r＋3S△PBC·r＝3(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；3V3VS＋S＋S＋SS第三步：解出S＋S＋S＋SSO－ABCO－PABO－PACO－PBC表S3VS秒杀公式(万能公式)：r＝表【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．3626231