线性代数重要公式

线 性 代 数 重 要 公 式ThefinaleditionwasrevisedonDecember14th,2020.】n n

1

n! 2n①和A aij ij

大小无关；②某（）乘以其它（）0；③某（）乘以该（）；A和关系：M (1)ijA A (1)ijM设n

：D

将 上下翻转或左右翻转所得则D D1D(1)1

n(n) ；2 D将 顺时针或逆时针旋转D 90

所得则D2D(1)2

n(n) ；2 D将 主对角翻转（转置）所得则D D3；DD3将主副角翻转所得则 ；D D DD4 4①主对角主对角乘积；②副对角副对角

(1)

n(n1)2③上下三角

）主对角乘◣◤◢

(1)

n(n1)；2A O A C 、C BO BABC A O AB OB

(1)mnABnAEAkk

nnk

(1)kSnkk

为SkS

A0

①AA②反③构造齐次程组Ax0

非零解；利用秩r(A)n02矩阵n可逆矩阵：nA A

（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）r(A)n（）向量组线性无关；A齐次程组

非零解；总唯一解；bRn bA与E等价；A可表示成若干个初等矩阵A全不0；AA TA RnA

Rn：

n A AA*A*AAE

A BA 1 AA 2

A sⅠ、 ；AA A A1 2 sA1 ；Ⅱ ；

A1 A1 2 ②A O

A1sO主角 O B

O B1③O A1 O B1副角 B O A1 O④A C

A1CB1拉普拉斯） O B

O B1 ⑤A O1 A1 O拉普拉斯） C B B1

B13初等变换与线性方程组

m

总经初等变换化标准形标A准形唯确E O ；F r 等价类所有与

O O等价m个集合称A个等价类标准形形状最简单同型

A B

；A B①、只能通过初等变换获得；②、每01；③、每00；初等变换的应用（初等列变换类似，或转置后采用初等变换）①、

，则r(A,E) (E,X)r

可逆，且A

1；②、对

(

做初等A E

时，就变成B1

，即： ；(,B)cE,A1B)③、求解线方程组n n

b，如果 (A,b)

，则可逆，且(E,x) A

；A1b初等和对角的概念：①、初等是变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等、右乘为初等列； ②、 1 2

，左乘，A

乘的各元素；右A i n n乘A的各列元素；i③、对调两或两列，符号

E(i,j)

E(i,j)

E(i,j)如 11

1

1 ；1 ； 1 1 ④、倍乘某或某列，符号

E(i(k))

，且E(i(k)1

1 ，例E(i( k1 1 1 如 1 ； k

(k0) 1

k 1

E(ij(k))

E(j(k)1

，E(ij(k))11

k1 1 1

k；(k0)； 1 1 0Amn

；)m,n)；r(AT)r(A)A B A)r(B)P

Q

A)AQ))

、 ※）max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)⑥、AB)⑦、

※）※）AB)⑧果 是A mn※）

是 B ns

Ⅰ列向量全部是齐次方程组B后结论Ⅱ、A)r(B)n

解转置运算⑨

A B

阶方n

；AB)r(B)n三种特殊方幂：1一定以分解为列向量）行向量形式再采用结合律；型1 a c利用二项展开式；0 1 b 0 0 1 二 项 展 开 式 ：(ab)n

C0anC1an1b1 Cmanmbm Cn1a1bn1Cnbn

；Cmambnmn n n n n nm0注Ⅰ(ab)n

n1项；CⅡ、mn(n1) (nm1) n!C

C0Cn1n 12

m m!(nm)! n nⅢ 、 组 合 的 性 质 ：CmCnm

Cm CmCm

nC

2n

；nCrn n n1

1 1n n n n n1r0③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：

n r(A)n；；r(*)100

r()n1r()n1②、伴随矩阵的特征值：A A ；A、③、*AAA、③、

An1

(

X,

A

*X

X)A关于矩阵秩的描述：A①、 ，中有阶子式不为0，r()n A n n0；（两句话）②、 ，中有 阶子式全部为0；r(A)n A n③、 ，中有 阶子式不为0；r(A)n A n

阶子式全部为线性方程组：

b

为A m为

矩阵，则：m①、与方程的个数相同，即方程组m

b有

个方程；n n

为元方b n线性方程组 b的求解：B①、对增广矩阵B换）；

进行初等行变换（只能使用初等行变②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：axa x a x b11 1 12 2 1n n 1①、a xa x a x b ；21 1 22 2 2n n 2a xa x a x bm1 1

m2

nm n na a a

b 11 12 1n

1 1②、a a

x

b

（向量方程，mm21 22 2

2

Axb为矩为矩

A na a

x

b m1 m

mn

m mmn阵，个方程，个未知数）mnx bx1

1③、a

2

（全部按列分块，其中

b）；21 2 n 2x b n n④、axa④、

a

（线性表出）1 1 2 2 nn⑤、有解的充要条件：rAr)n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A,； 1

, , 构成nm矩阵mmA,, , )mm B1 2 m B

：T,T, ,

构成 矩阵mnT

1 2 m 1T；B 2 m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出（线性方程组）

Ax0Axb

③、向量组的相互线性表示方程）

B是否有解；（矩阵A与B矩阵 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方A与B程组mnAx0

和ln

同解；(

P101

14)4.r(r(

P 15)101nn①、②、,行）；③、,

0； （,共面；与无两套定理：若,

, ,，则,

, ,

必1 2 s 1 2 s s1若

, ,无，则,

,

必无（1 2 s 1 2 sn个数加加减减，二者为对偶）n组每个上添上r A n组：B

个分维若无，则也无反之若，A B BA则也（组数加加减减）A简言之无组延长后仍无，反之，不确定；A r 组（个数为）能由组（A r 示，且

无

s(二版P 定理7)；rA74rA组A能由组B表示，则r()r(B)（P 定理863）组表示A B

B有解；rArB（P 2）85组A能由组B等价r(A)r(B)r(B)（P 定理2推85论）A方阵可逆A

存在有限个初等矩阵

lP,P, ,l

，使 ；APP P①、矩阵行等价：

（左1

可逆）

12 l 与Ar

BPAB

P 0Bx0

AcB

AQB

Q

： A~BB P Q：A B①

mn行lnA B

的行秩相A B

行A B

Bx0

的任A B何应的向量组具有相的线性相关性；的初变换不改变的秩；④若

的行秩秩；A则：A B C①s mnC数

量组能由A

的向量组线性表示为系B的行向量组能由C

的行向量组线性表示为系AT数转置）齐次方程组

的

ABx0

的考试中以直接作为定理使用而无需证明；①只有零只有零0 0有非零解一定存在非零0 0设向量组B

:b,

, ,b

由向量组A

:a,

, ,a

线性表示为

P110

题1r1 2 r

ns 1 2 s）(b,b

, ,

)(a,

, ,a)K

BAK其中为K

12 sr A

1

s则B

组线性无关

；r(K)r的向量组具有相线性相关性）B K必要性：rr(B)r()r(Kr(K)r,

r(K)

充分性反证法）注当

rs

时为方当作定理使用；K①

存在 ，

的向量A Q E r(A)m Q线性无关

mn nm mP87

Amn

Pnm

，PAEn

r(A)

的行向量P

,

, ,1

s0

k,

, ,

k

k

k0成

1 2 s

11 2 2 s sxx1

,, ,) 20

Ax01 2 s xsr(,1 2

, ,s

)smn

A

n

的Ax0S

；r(S)nr* b

,

, ,

Ax0

*,,

, ,

1

nrP

331 2 nr 111

5A

A1AT列向量都是单位向量且两两即AaTai

100

ii

；(i,j1,2, n)②

A

A1AT

也

；A1③

A B

也是注意求千万要忘记施密特化和单位化；施密特化：；ba

(a,a, ,a)1 2 r1 1,a] ,

] ,a] ;ba 1 r b 2 r b rr br r ,b]1 ,b]

,

]r1对普1 122

同

值对应特征向量对实对称同特征值对应特征向量